江苏省无锡市江阴实验中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】

这是一份江苏省无锡市江阴实验中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（ ）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
2、（4分）如果，那么代数式的值为
A．B．C．D．
3、（4分）随机抽取10名八年级同学调查每天使用零花钱的情况，结果如下表，则这10名同学每天使用零花钱的中位数是（ ）
A．2元B．3元C．4元D．5元
4、（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）一元二次方程x2﹣8x+20=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
6、（4分）如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时点P的坐标是( )
A．(2016，0)B．(2017，1)C．(2017，－1)D．(2018，0)
8、（4分）用配方法解方程x2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝6B．（x﹣3）2＝3C．（x﹣3）2＝0D．（x﹣3）2＝1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__．
10、（4分）某种药品原价75元盒，经过连续两次降价后售价为45元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_____．
11、（4分）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则的取值范围为__________．
12、（4分）如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，…，如此反复下去，那么第n个正方形的对角线长为_____．
13、（4分）已知m是一元二次方程的一个根 ， 则代数式的值是_____
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）随着新能源汽车推广力度加大，产业快速发展，越来越多的消费者接受并购买新能源汽车。我市某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆.
（1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌新能源汽车的进价为52000元，售价为58000元，则该经销商1月至3月份共盈利多少元？
15、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数与一次函数的图像交于点A，
（1）求点A的坐标；
（2）设x轴上一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图像于点B、C，连接OC，若BC=OA，求△OBC的面积.
16、（8分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并根据统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）“乘车”所对应的扇形圆心角为 °；
（4）若该学校共有2000名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．
17、（10分）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如这样的式子，我们还可以将其进一步化简：以上这种化简过程叫做分母有理化.还可以尝试用以下方法化简：
（1）请用两种不同的方法化简；
（2）请任选一种方法化简：
18、（10分）如图1，直线l1：y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y=x交于点C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△BOC的面积；
（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．
①当OA=3MN时，求t的值；
②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若八个数据x1， x2， x3， ……x8， 的平均数为8，方差为1，增加一个数据8后所得的九个数据x1， x2， x3， …x8；8的平均数________8，方差为S2 ________1．(填“>”、“=”、“<”)
20、（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A5的坐标是___．
21、（4分）一次函数的图像经过点，且的值随值的増大而增大，请你写出一个符合所有条件的点的坐标__________．
22、（4分）如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为_____．
23、（4分）分解因式：__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）
25、（10分）定义：对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x⩾0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数。例如：一次函数y=x−1,它们的相关函数为y= .
(1)已知点A(−5,8)在一次函数y=ax−3的相关函数的图象上，求a的值；
(2)已知二次函数y=−x+4x− .
①当点B(m, )在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当−3⩽x⩽3时,求函数y=−x+4x−的相关函数的最大值和最小值.
26、（12分）如图，是边长为的等边三角形.
（1）求边上的高与之间的函数关系式。是的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的与的值.
（2）当时，求的值.
（3）求的面积与之间的函数关系式.是的一次函数吗？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
由中位数、众数、平均数及方差的意义逐一判断可得．
【详解】
解：A．前一组数据的中位数是200，正确，此选项不符合题意；
B．前一组数据的众数是200，正确，此选项不符合题意；
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200，正确，此选项不符合题意；
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差，此选项符合题意；
故选D．
本题考查方差、中位数、众数、平均数，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的意义．
2、A
【解析】
分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可.
详解：原式，
∵，
∴原式．
故选A.
点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
3、B
【解析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：共10名同学，中位数是第5和第6的平均数，故中位数为3，
故选B．
本题考查中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．
4、D
【解析】
先想一下分式的基本性质的内容，根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】
解：（A）原式=，故A错误；
（B）原式=，故B错误；
（C）原式=，故C错误；
故选：D．
本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和判断能力，题目比较典型，比较容易出错.
5、A
【解析】
先计算出△，然后根据判别式的意义求解．
【详解】
∵△=（-8）2-4×20×1=-16＜0，
∴方程没有实数根．
故选A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6、A
【解析】
根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案：
∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2的交点P的坐标是（﹣2，3），
∴方程组的解是．故选A．
7、B
【解析】
试题解析：以时间为点P的下标．
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，-1），P4（4，0），P5（5，1），…，
∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，-1）．
∵2017=504×4+1，
∴第2017秒时，点P的坐标为（2017，1）．
故选B.
8、A
【解析】
把常数项3移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．
【详解】
解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
∴x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6，
故选：A．
本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4.1
【解析】
首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和1，可求得OA＝OD＝5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF求得答案．
【详解】
解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和1，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝41，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12，
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝×5×PE＋×5×PF＝（PE＋PF）＝12，
解得：PE＋PF＝4.1．
故答案为：4.1．
此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10、
【解析】
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降低的百分率）=1，把相应数值代入即可求解．
【详解】
解：第一次降价后的价格为75×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为：
75×（1-x）×（1-x），
则列出的方程是75（1-x）2=1．
故答案为75（1-x）2=1．
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
11、
【解析】
要使直线与线段AB交点，则首先当直线过A是求得k的最大值，当直线过B点时，k取得最小值.因此代入计算即可.
【详解】
解：当直线过A点时， 解得
当直线过B点时， 解得
所以要使直线与线段AB有交点，则
故答案为：
本题主要考查正比例函数的与直线相交求解参数的问题，这类题型是考试的热点，应当熟练掌握.
12、（）n．
【解析】
第1个正方形的边长是1，对角线长为；第二个正方形的边长为，对角线长为（）2=2，第3个正方形的对角线长为（）3；得出规律，即可得出结果．
【详解】
第1个正方形的边长是1，对角线长为；
第二个正方形的边长为，对角线长为（）2＝2
第3个正方形的边长是2，对角线长为2＝（）3；…，
∴第n个正方形的对角线长为（）n；
故答案为（）n．
本题主要考查了正方形的性质、勾股定理；求出第一个、第二个、第三个正方形的对角线长，得出规律是解决问题的关键．
13、.
【解析】
把代入方程，得出关于的一元二次方程，再整体代入.
【详解】
当时，方程为，
即，
所以，.
故答案为：.
本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为；（2）盈利3276000元.
【解析】
（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
【详解】
（1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率x，根据题意列方程
解得，（舍去）
（2）
答：（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为；（2）共盈利3276000元.
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程.
15、（1）A(4，3)；（2）28.
【解析】
（1）点A是正比例函数与一次函数图像的交点坐标，把与联立组成方程组，方程组的解就是点A的横纵坐标；（2）过点A作x轴的垂线，在Rt△OAD中，由勾股定理求得OA的长，再由BC=OA求得OB的长，用点P的横坐标a表示出点B、C的坐标，利用BC的长求得a值，根据即可求得△OBC的面积.
【详解】
解：（1）由题意得: ，解得，
∴点A的坐标为（4,3）.
（2）过点A作x轴的垂线，垂足为D，

在Rt△OAD中，由勾股定理得，

∴.
∵P（a，0），∴B（a,）,C（a,-a+7），∴BC=，
∴，解得a=8.
∴.
16、（1）50；（2）图略；（3） ；（4）600.
【解析】
（1）用此次调查的乘车的学生数除以其占比即可得到样本容量；
（2）用调查的总人数减去各组人数即可得到步行的人数，即可补全统计图；
（3）用360°×40%即可得到“乘车”所对应的扇形圆心角度数；
（4）用2000乘以“步行”方式的占比即可.
【详解】
（1）样本容量为20÷40%=50
（2）步行的人数为50-20-10-5=15（人）
补全统计图如下：
（3）“乘车”所对应的扇形圆心角为40%×360°=144°
（4）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为2000×=600（人）
此题主要考查统计调查，解题的关键是根据统计图求出样本容量.
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用分母有理化计算或把分子因式分解后约分；
（2）先分母有理化，然后合并即可.
【详解】
（1）方法一：
方法二：
（2）原式，
，
，
.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
18、（1）A（6，0）B（0，3）；（2）S△OBC=3；（3）①t=或；②t=（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建方程组确定点C坐标即可解决问题；
（3）根据绝对值方程即可解决问题；
（4）分两种情形讨论：当OC为菱形的边时，可得Q1 Q2Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0）；
【详解】
（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，
A（6，0）B（0，3）．
（2）由解得 ，
∴C（2，2），
∴
（3）①∵
∴
∵OA=3MN，
∴
解得t=或
②如图3中，由题意
当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；
当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），
∴t=（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．
本题考查一次函数综合题、三角形的面积、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、= <
【解析】
根据八个数据x1 ， x2 ， x3 ， ……x8 ， 的平均数为8，方差为1 ，利用平均数和方差的计算方法，可求出， ， 再分别求出9个数的平均数和方差，然后比较大小就可得出结果
【详解】
解：∵ 八个数据x1 ， x2 ， x3 ， ……x8 ， 的平均数为8，
∴
∴，
∵增加一个数8后，九个数据x1 ， x2 ， x3 ， 8…x8的平均数为：
；
∵ 八个数据x1 ， x2 ， x3 ， ……x8 ， 的方差为1，
∴
∴
∵增加一个数8后，九个数据x1 ， x2 ， x3 ， 8…x8的方差为：
；
故答案为：=，＜
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是熟练掌握算术平均数与方差的求法，属于中考常考题型．
20、（15，16）．
【解析】
根据一次函数图象上点的特征及正方形的性质求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可解答．
【详解】
∵直线y＝x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1＝1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1＝OA1＝1，
把x＝1代入y＝x+1得：y＝2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
∴An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1），
∴A5的坐标是（25﹣1﹣1，25﹣1），即（15，16），
故答案为：（15，16）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
21、（1，2）（答案不唯一）．
【解析】
由于y的值随x值的增大而增大，根据一次函数的增减性得出k＞0，可令k=1，那么y=x+1，然后写出点P的坐标即可．
【详解】
解：由题意可知，k＞0即可，
可令k=1，那么一次函数y=kx+1即为y=x+1，
当x=1时，y=2，
所以点P的坐标可以是（1，2）．
故答案为（1，2）（答案不唯一）．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，得出k＞0是解题的关键．
22、2．
【解析】
利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵△ABC∽△ADB，
∴,
∴AB2＝AD•AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为：2．
此题考查相似三角形的性质定理，相似三角形的对应边成比例.
23、
【解析】
先提取a，再根据平方差公式即可因式分解.
【详解】
故填：.
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与提取公因式法因式分解.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析．
【解析】
先根据题意画出图形，写出已知，求证，然后通过平行线的性质得出∠1=∠2，再利用SAS证明△ABC≌△CDA，则有∠3=∠4，进一步得出AD∥BC，最后利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可证明．
【详解】
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠3=∠4，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，掌握全等三角形和平行线的判定及性质是解题的关键．
25、（1）1；（2）①m=2− 或m=2+或m=2− ；②最大值为 ,最小值为−.
【解析】
（1）写出y=ax-3的相关函数，代入计算；
（2）①写出二次函数y=−x+4x−的相关函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【详解】
(1)y=ax−3的相关函数y= ，
将A(−5,8)代入y=−ax+3得：5a+3=8，
解得a=1；
(2)二次函数y=−x+4x−的相关函数为y= ，
①当m<0时,将B(m, )代入y=x-4x+
得m-4m+，
解得：m=2+ (舍去),或m=2−，
当m⩾0时,将B(m, )代入y=−x+4x−得：
−m +4m− ，
解得：m=2+或m=2−.
综上所述：m=2− 或m=2+或m=2− ；
②当−3⩽x<0时, y=−x+4x−，抛物线的对称轴为x=2，
此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为，
当0⩽x⩽3时,函数y=−x+4x−，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值,最小值为−,当x=2时,有最大值,最大值y= ，
综上所述,当−3⩽x⩽3时,函数y=−x+4x−的相关函数的最大值为 ,最小值为−.
此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于将已知点代入解析式.
26、（1），是的一次函数，，b=0；（2）x=2；（3），不是的一次函数.
【解析】
（1）根据勾股定理计算h的长，可得结论；
（2）直接将h的值代入可得结论；
（3）根据三角形面积公式计算可得结论．
【详解】
解：（1）因为边上的高也是边上的中线，所以，.在中，由勾股定理得，
即，
所以是的一次函数，且，b=0；
（2）h=时，；x=2；
（3）因为，所以不是的一次函数.
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，一次函数的性质，能灵活应用这些性质是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
每天使用零花钱的情况
单位（元）
2
3
4
5
人数
1
5
2
2