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江苏省启东中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】
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这是一份江苏省启东中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一次函数与的图象如图所示，则下列结论①k<0;②a>0;③不等式x+aA．3个B．2个C．1个D．4个
2、（4分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x3+2＝0B．x2+2x+2＝0
C．＝x﹣1D．＝0
3、（4分）某商品的价格为元，连续两次降后的价格是元，则为（ ）
A．9B．10C．19D．8
4、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A．B．且C．且D．
5、（4分）若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）已知a＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．a+2＜b+2B．2a＜2bC．D．﹣2a＞﹣2b
7、（4分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，表格记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）：
若要选出一个成绩好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8、（4分）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx﹣k的图象大致是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）计算．
10、（4分）如图，点是的对称中心， ，是边上的点，且是边上的点，且，若分别表示和的面积则.
11、（4分）如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为______________________________.
12、（4分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.
13、（4分）如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜0时，x的取值范围是_________________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个,篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂的批发价和商场的零售价如下表. 设该商场采购个篮球.
（1）求该商场采购费用(单位:元)与(单位:个)的函数关系式,并写出自变最的取值范围：
（2）该商场把这个球全都以零售价售出,求商场能获得的最大利润；
（3）受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，低球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个.该体有用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元,求的值.
15、（8分）如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形.
16、（8分）直线过点，直线过点，求不等式的解集.
17、（10分）阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝．
（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2+4）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4m，∠A＝60°，求该块草地的面积．
18、（10分）（1）已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣1．①求y与x之间的函数关系式；②当y＜3时，求x的取值范围．
（2）已知经过点（﹣2，﹣2）的直线l1：y1＝mx+n与直线l2：y2＝﹣2x+1相交于点M（1，p）
①关于x，y的二元一次方程组的解为 ；②求直线l1的表达式．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某学生会倡导的“爱心捐款”活动结束后，学生会干部对捐款情况作了抽样调查，并绘制了统计图，图中从左到右各长方形高度之比为，又知此次调查中捐15元和20元的人数共26人．
（1）他们一共抽查了______人；
（2）抽查的这些学生，总共捐款______元．
20、（4分）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为_______．
21、（4分）若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
22、（4分）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
23、（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，点D是BC边上一点，∠DAC＝30°，点E是AD边上一点，CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DF，DF的最小值是___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：
（1）
（2）已知a＝+2，b＝﹣2，求a2﹣b2的值．
25、（10分）如图，在▱ABCD中，，P，O分别为AD，BD的中点，延长PO交BC于点Q，连结BP，DQ，求证：四边形PBQD是菱形．
26、（12分）某超市销售一种水果，迸价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用两函数图象的位置对③④进行判断，联立方程解答即可．
【详解】
∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴k<0，所以①正确；
∵一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴a<0，所以②错误；
∵x3时,一次函数=kx+b的图象都在函数=x+a的图象上方，
∴不等式kx+bx+a的解集为x3，所以③正确；
∵y=3+a，y=3k+b
a=y−3，b=y−3k，
∴a−b=3k−3，故④正确；
故选：A
此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于利用一次函数的性质
2、B
【解析】
根据立方根的定义即可判断A；根据根的判别式即可判断B；求出方程x2-3=（x-1）2的解，即可判断C；求出x-2=0的解，即可判断D．
【详解】
A、x3+2＝0，
x3＝﹣2，
x＝﹣，即此方程有实数根，故本选项不符合题意；
B、x2+2x+2＝0，
△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
所以此方程无实数根，故本选项符合题意；
C、＝x﹣1，
两边平方得：x2﹣3＝（x﹣1）2，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项不符合题意；
D、＝0，
去分母得：x﹣2＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项不符合题意；
故选B．
本题考查了解无理方程、解分式方程、解一元二次方程、根的判别式等知识点，能求出每个方程的解是解此题的关键．
3、B
【解析】
第一次降价后的价格为100(1-x%)，第二次降价后的价格为100(1-x%)(1-x%).
【详解】
由题意列出方程：100(1-x%)2=81
(1-x%)2=0.81
1-x%=±0.9
x=10或190
根据题意，舍弃x=190，则x=10，
故选择B.
要理解本题中“连续两次降价”的含义是，第二次降价前的基础价格是第一次降价后的价格.
4、B
【解析】
直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案．
【详解】
∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥1且x≠1．
故选B．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键．
5、A
【解析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】
∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x−50，
解得x5.
故选：A.
考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题的关键.
6、C
【解析】
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、将a＜b两边都加上2可得a+2＜b+2，此不等式成立；
B、将a＜b两边都乘以2可得2a＜2b，此不等式成立；
C、将a＜b两边都除以2可得，此选项不等式不成立；
D、将a＜b两边都乘以-2可得-2a＞-2b，此不等式成立；
故选C．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
7、C
【解析】
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】
因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8、D
【解析】
先根据正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.
【详解】
解：正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，一k>0，
∴一次函数y=kx-k的图像经过一、二、四象限
故选D.
本题考查的是一次函数的图像与系数的关系，解题时注意：一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b>0时，函数的图像经过一、二、四象限.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
首先化成同指数，然后根据积的乘方法则进行计算．
【详解】
解：原式=×（－1）=×（－1）=1×（－1）=－1．
考点：幂的简便计算．
10、
【解析】
根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC= ，从而得出S1与S2之间的等量关系．
【详解】
解：由题意可得
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴S△AOB=S△BOC= ，
故答案为:
本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出是解题的关键．
11、 (3,4)或(1,-2)或(-1,2)
【解析】
由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况．
【详解】
如图所示：
∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），
∴三种情况：
①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；
②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，-2）；
③当OA为对角线时，点C的坐标为（-1，2）；
故答案是：（3，4）或（1，-2）或（-1，2）．
考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
12、（-2，-2）
【解析】
先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
【详解】
“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案是：（﹣2，﹣2）．
考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．
13、
【解析】
根据函数图象与x轴的交点坐标，当y＜0即图象在x轴下侧，求出即可．
【详解】
当y<0时，图象在x轴下方，
∵与x交于(1，0)，
∴y<0时，自变量x的取值范围是x<1，
故答案为：x<1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是运用观察法求自变量取值范围通常是从交点观察两边得解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）商场能获得的最大利润为元；（3）的值为.
【解析】
（1）设该商场采购个篮球，（100-x）个排球，根据表格写出函数关系式即可，根据题意列出关于x的不等式组，进一步确定自变量x的取值范围；
（2）设该商场获得利润元，先求出一个篮球及排球各自所获利润，再乘以数量即可，根据函数的变化情况即可确定最大利润；
（3）先列出利润W关于m的表达式，分情况讨论一次性系数的取值，根据最低利润确定m的值.
【详解】
解：
设该商场获得利润元
随的增大而增大
当时，
即商场能获得的最大利润为元
①当时，即时，随的增大而增大
当时，
解得
不符合题意，舍去；
②当时，即，舍去
③当时，即，随的增大而减小
当时，
解得：，符合题意
即的值为.
本题综合考查了一次函数解析式及不等式在实际问题中的应用，正确理解题意，把握题中数量关系是解题的关键.
15、证明见解析.
【解析】
首先根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF，进而得出AD∥EF，AD＝EF，即可判定.
【详解】
解：∵四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF．
∴AD∥EF，AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
此题主要考查利用平行四边形的性质进行平行四边形的判定，熟练掌握，即可解题.
16、
【解析】
将代入，可解得k的值，将代入，可解得m的值，再将k和m的值代入不等式，解不等式即可
【详解】
解：将代入得：，解得：k=1；
将代入得：，解得：；
∴，
则可得
解得
故答案为：
本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及不等式的解法，，比较简单，应熟练掌握
17、（1）（1）（11+14+5）m1
【解析】
（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．
【详解】
（1）解：△ABC的面积为S＝＝ ＝4
故答案是：4；
（1）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）
在Rt△ADE中，
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝1
∴BE＝AB﹣AE＝1+4﹣1＝4
DE＝
∴BD＝
∴S△BCD＝
∵S△ABD＝
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝
答：该块草地的面积为（）m1．
本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.
18、（1）①y＝﹣4x+2；②x>-；（2）①；②y1＝2x+2．
【解析】
（1）根据正比例函数的定义即可求解，再列出不等式即可求解；
（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解，把两点代入即可求解.
【详解】
解：（1）①∵y﹣2与x成正比例，设y﹣2＝kx，把x＝2，y＝﹣1代入可得；
﹣1﹣2＝2k，
解得：k＝﹣4，
∴y＝﹣4x+2，
②当y＜3时，则﹣4x+2＜3，
解得：x>-；
（2）①把点M（1，p）代入y2＝﹣2x+1＝4，
∴关于x、y的二元一次方程组组的解即为直线l1：y1＝mx+n与直线l2：y2＝﹣2x+1相交的交点M（1，4）的坐标．
故答案为：；
②b把点M（1，4）和点（﹣2，﹣2）代入直线l1：y1＝mx+n，可得：，
解得：，
所以直线l1的解析式为：y1＝2x+2．
此题主要考查二元一次方程组与一次函数的性质，解题的关键是熟知他们的关系.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1， 2.
【解析】
（1）设捐款5元，10元，15元，20元，30元的人数分别为3x人，4x人，5x人，8x人，2x人．构建方程即可解决问题．
（2）根据捐款人数以及捐款金额，求出总金额即可．
【详解】
解：（1）设捐款5元，10元，15元，20元，30元的人数分别为3x人，4x人，5x人，8x人，2x人．
由题意：5x+8x=26，
解得x=2，
∴一共有：6+8+10+16+4=1人，
故答案为1．
（2）总共捐款额=6×5+8×10+10×15+16×20+4×30=2（元）．
故答案为：2．
本题考查频数分布直方图，抽样调查等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20、50
【解析】
根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，
S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=
=50
故答案为：50.
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
21、14
【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
22、2.1
【解析】
根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值．
【详解】
连结AP，
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB，
∴AP：AC=AB：BC，
∴AP：8=6：10，
∴AP最短时，AP=1.8，
∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.1．
故答案为2.1
解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．
23、.
【解析】
先依据条件判定△ACE≌△BCF，可得∠CBF＝∠CAE＝30°，即可得到点F在射线BF上，由此可得当DF⊥BF时，DF最小，依据∠DBF＝30°，即可得到DF＝BD＝
【详解】
由旋转可得，FC＝EC，∠ECF＝90°，
又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，
∴∠CAE＝∠CBF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE＝30°，
∴点F在射线BF上，
如图，当DF⊥BF时，DF最小，
又∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3＝BC，
∴CD＝ ，
∴BD＝3﹣，
又∵∠DBF＝30°，
∴DF＝ BD＝，
故答案为 ．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，得到点F的运动轨迹是本题的难点.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）原式＝5；（2）原式＝8
【解析】
（1）根据完全平方公式、二次根式的乘法和加法可以解答本题；
（2）根据a、b的值可以求得a+b、a-b的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）
=
=5
（2）∵，
∴，
∴
=
=
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
25、证明见解析.
【解析】
根据四边相等的四边形是菱形即可判断
【详解】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
四边形PBQD是菱形．
本题考查菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
【解析】
（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值.
【详解】
解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；
（2）设每月销售水果的利润为w，
则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500
＝﹣5x2+100x+1420
＝﹣5（x﹣10）2+1920，
当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，
答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
平均数
92
98
98
91
方差
1
1.2
0.9
1.8
品名
厂家批发价/元/个
商场零售价/元/个
篮球
排球
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一次函数与的图象如图所示，则下列结论①k<0;②a>0;③不等式x+a
2、（4分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x3+2＝0B．x2+2x+2＝0
C．＝x﹣1D．＝0
3、（4分）某商品的价格为元，连续两次降后的价格是元，则为（ ）
A．9B．10C．19D．8
4、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是
A．B．且C．且D．
5、（4分）若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）已知a＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．a+2＜b+2B．2a＜2bC．D．﹣2a＞﹣2b
7、（4分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加区中小学科技创新竞赛，表格记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）：
若要选出一个成绩好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8、（4分）已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx﹣k的图象大致是( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）计算．
10、（4分）如图，点是的对称中心， ，是边上的点，且是边上的点，且，若分别表示和的面积则.
11、（4分）如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为______________________________.
12、（4分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.
13、（4分）如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜0时，x的取值范围是_________________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个,篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂的批发价和商场的零售价如下表. 设该商场采购个篮球.
（1）求该商场采购费用(单位:元)与(单位:个)的函数关系式,并写出自变最的取值范围：
（2）该商场把这个球全都以零售价售出,求商场能获得的最大利润；
（3）受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，低球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个.该体有用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元,求的值.
15、（8分）如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形.
16、（8分）直线过点，直线过点，求不等式的解集.
17、（10分）阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝．
（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2+4）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4m，∠A＝60°，求该块草地的面积．
18、（10分）（1）已知y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣1．①求y与x之间的函数关系式；②当y＜3时，求x的取值范围．
（2）已知经过点（﹣2，﹣2）的直线l1：y1＝mx+n与直线l2：y2＝﹣2x+1相交于点M（1，p）
①关于x，y的二元一次方程组的解为 ；②求直线l1的表达式．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某学生会倡导的“爱心捐款”活动结束后，学生会干部对捐款情况作了抽样调查，并绘制了统计图，图中从左到右各长方形高度之比为，又知此次调查中捐15元和20元的人数共26人．
（1）他们一共抽查了______人；
（2）抽查的这些学生，总共捐款______元．
20、（4分）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为_______．
21、（4分）若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
22、（4分）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
23、（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，点D是BC边上一点，∠DAC＝30°，点E是AD边上一点，CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接DF，DF的最小值是___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：
（1）
（2）已知a＝+2，b＝﹣2，求a2﹣b2的值．
25、（10分）如图，在▱ABCD中，，P，O分别为AD，BD的中点，延长PO交BC于点Q，连结BP，DQ，求证：四边形PBQD是菱形．
26、（12分）某超市销售一种水果，迸价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用两函数图象的位置对③④进行判断，联立方程解答即可．
【详解】
∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴k<0，所以①正确；
∵一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，
∴a<0，所以②错误；
∵x3时,一次函数=kx+b的图象都在函数=x+a的图象上方，
∴不等式kx+bx+a的解集为x3，所以③正确；
∵y=3+a，y=3k+b
a=y−3，b=y−3k，
∴a−b=3k−3，故④正确；
故选：A
此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于利用一次函数的性质
2、B
【解析】
根据立方根的定义即可判断A；根据根的判别式即可判断B；求出方程x2-3=（x-1）2的解，即可判断C；求出x-2=0的解，即可判断D．
【详解】
A、x3+2＝0，
x3＝﹣2，
x＝﹣，即此方程有实数根，故本选项不符合题意；
B、x2+2x+2＝0，
△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
所以此方程无实数根，故本选项符合题意；
C、＝x﹣1，
两边平方得：x2﹣3＝（x﹣1）2，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项不符合题意；
D、＝0，
去分母得：x﹣2＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项不符合题意；
故选B．
本题考查了解无理方程、解分式方程、解一元二次方程、根的判别式等知识点，能求出每个方程的解是解此题的关键．
3、B
【解析】
第一次降价后的价格为100(1-x%)，第二次降价后的价格为100(1-x%)(1-x%).
【详解】
由题意列出方程：100(1-x%)2=81
(1-x%)2=0.81
1-x%=±0.9
x=10或190
根据题意，舍弃x=190，则x=10，
故选择B.
要理解本题中“连续两次降价”的含义是，第二次降价前的基础价格是第一次降价后的价格.
4、B
【解析】
直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案．
【详解】
∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥1且x≠1．
故选B．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键．
5、A
【解析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】
∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x−50，
解得x5.
故选：A.
考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数大于等于0是解题的关键.
6、C
【解析】
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、将a＜b两边都加上2可得a+2＜b+2，此不等式成立；
B、将a＜b两边都乘以2可得2a＜2b，此不等式成立；
C、将a＜b两边都除以2可得，此选项不等式不成立；
D、将a＜b两边都乘以-2可得-2a＞-2b，此不等式成立；
故选C．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
7、C
【解析】
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】
因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，
而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故选：C．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8、D
【解析】
先根据正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论.
【详解】
解：正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，一k>0，
∴一次函数y=kx-k的图像经过一、二、四象限
故选D.
本题考查的是一次函数的图像与系数的关系，解题时注意：一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b>0时，函数的图像经过一、二、四象限.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
首先化成同指数，然后根据积的乘方法则进行计算．
【详解】
解：原式=×（－1）=×（－1）=1×（－1）=－1．
考点：幂的简便计算．
10、
【解析】
根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出再由点O是▱ABCD的对称中心，根据平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC= ，从而得出S1与S2之间的等量关系．
【详解】
解：由题意可得
∵点O是▱ABCD的对称中心，
∴S△AOB=S△BOC= ，
故答案为:
本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出是解题的关键．
11、 (3,4)或(1,-2)或(-1,2)
【解析】
由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况．
【详解】
如图所示：
∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），
∴三种情况：
①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；
②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，-2）；
③当OA为对角线时，点C的坐标为（-1，2）；
故答案是：（3，4）或（1，-2）或（-1，2）．
考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
12、（-2，-2）
【解析】
先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．
【详解】
“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），
故答案是：（﹣2，﹣2）．
考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．
13、
【解析】
根据函数图象与x轴的交点坐标，当y＜0即图象在x轴下侧，求出即可．
【详解】
当y<0时，图象在x轴下方，
∵与x交于(1，0)，
∴y<0时，自变量x的取值范围是x<1，
故答案为：x<1．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是运用观察法求自变量取值范围通常是从交点观察两边得解．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）商场能获得的最大利润为元；（3）的值为.
【解析】
（1）设该商场采购个篮球，（100-x）个排球，根据表格写出函数关系式即可，根据题意列出关于x的不等式组，进一步确定自变量x的取值范围；
（2）设该商场获得利润元，先求出一个篮球及排球各自所获利润，再乘以数量即可，根据函数的变化情况即可确定最大利润；
（3）先列出利润W关于m的表达式，分情况讨论一次性系数的取值，根据最低利润确定m的值.
【详解】
解：
设该商场获得利润元
随的增大而增大
当时，
即商场能获得的最大利润为元
①当时，即时，随的增大而增大
当时，
解得
不符合题意，舍去；
②当时，即，舍去
③当时，即，随的增大而减小
当时，
解得：，符合题意
即的值为.
本题综合考查了一次函数解析式及不等式在实际问题中的应用，正确理解题意，把握题中数量关系是解题的关键.
15、证明见解析.
【解析】
首先根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF，进而得出AD∥EF，AD＝EF，即可判定.
【详解】
解：∵四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF．
∴AD∥EF，AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
此题主要考查利用平行四边形的性质进行平行四边形的判定，熟练掌握，即可解题.
16、
【解析】
将代入，可解得k的值，将代入，可解得m的值，再将k和m的值代入不等式，解不等式即可
【详解】
解：将代入得：，解得：k=1；
将代入得：，解得：；
∴，
则可得
解得
故答案为：
本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及不等式的解法，，比较简单，应熟练掌握
17、（1）（1）（11+14+5）m1
【解析】
（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．
【详解】
（1）解：△ABC的面积为S＝＝ ＝4
故答案是：4；
（1）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）
在Rt△ADE中，
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝1
∴BE＝AB﹣AE＝1+4﹣1＝4
DE＝
∴BD＝
∴S△BCD＝
∵S△ABD＝
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝
答：该块草地的面积为（）m1．
本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.
18、（1）①y＝﹣4x+2；②x>-；（2）①；②y1＝2x+2．
【解析】
（1）根据正比例函数的定义即可求解，再列出不等式即可求解；
（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系即可求解，把两点代入即可求解.
【详解】
解：（1）①∵y﹣2与x成正比例，设y﹣2＝kx，把x＝2，y＝﹣1代入可得；
﹣1﹣2＝2k，
解得：k＝﹣4，
∴y＝﹣4x+2，
②当y＜3时，则﹣4x+2＜3，
解得：x>-；
（2）①把点M（1，p）代入y2＝﹣2x+1＝4，
∴关于x、y的二元一次方程组组的解即为直线l1：y1＝mx+n与直线l2：y2＝﹣2x+1相交的交点M（1，4）的坐标．
故答案为：；
②b把点M（1，4）和点（﹣2，﹣2）代入直线l1：y1＝mx+n，可得：，
解得：，
所以直线l1的解析式为：y1＝2x+2．
此题主要考查二元一次方程组与一次函数的性质，解题的关键是熟知他们的关系.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1， 2.
【解析】
（1）设捐款5元，10元，15元，20元，30元的人数分别为3x人，4x人，5x人，8x人，2x人．构建方程即可解决问题．
（2）根据捐款人数以及捐款金额，求出总金额即可．
【详解】
解：（1）设捐款5元，10元，15元，20元，30元的人数分别为3x人，4x人，5x人，8x人，2x人．
由题意：5x+8x=26，
解得x=2，
∴一共有：6+8+10+16+4=1人，
故答案为1．
（2）总共捐款额=6×5+8×10+10×15+16×20+4×30=2（元）．
故答案为：2．
本题考查频数分布直方图，抽样调查等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20、50
【解析】
根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=5，
S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=
=50
故答案为：50.
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
21、14
【解析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
22、2.1
【解析】
根据已知得当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值．
【详解】
连结AP，
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CAB，
∴AP：AC=AB：BC，
∴AP：8=6：10，
∴AP最短时，AP=1.8，
∴当AM最短时，AM=AP÷2=2.1．
故答案为2.1
解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似求解．
23、.
【解析】
先依据条件判定△ACE≌△BCF，可得∠CBF＝∠CAE＝30°，即可得到点F在射线BF上，由此可得当DF⊥BF时，DF最小，依据∠DBF＝30°，即可得到DF＝BD＝
【详解】
由旋转可得，FC＝EC，∠ECF＝90°，
又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝3，
∴∠CAE＝∠CBF，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE＝30°，
∴点F在射线BF上，
如图，当DF⊥BF时，DF最小，
又∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝3＝BC，
∴CD＝ ，
∴BD＝3﹣，
又∵∠DBF＝30°，
∴DF＝ BD＝，
故答案为 ．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，得到点F的运动轨迹是本题的难点.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）原式＝5；（2）原式＝8
【解析】
（1）根据完全平方公式、二次根式的乘法和加法可以解答本题；
（2）根据a、b的值可以求得a+b、a-b的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）
=
=5
（2）∵，
∴，
∴
=
=
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
25、证明见解析.
【解析】
根据四边相等的四边形是菱形即可判断
【详解】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
四边形PBQD是菱形．
本题考查菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
【解析】
（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值.
【详解】
解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；
（2）设每月销售水果的利润为w，
则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500
＝﹣5x2+100x+1420
＝﹣5（x﹣10）2+1920，
当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，
答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
平均数
92
98
98
91
方差
1
1.2
0.9
1.8
品名
厂家批发价/元/个
商场零售价/元/个
篮球
排球
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