北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题2.7配方法的应用【八大题型】专题特训（学生版+教师版）

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专题2.7 配方法的应用【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc6296" 【题型1 利用配方法求字母的值】  PAGEREF _Toc6296 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc11878" 【题型2 利用配方法求代数式的值】  PAGEREF _Toc11878 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc14605" 【题型3 利用配方法比较大小】  PAGEREF _Toc14605 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26641" 【题型4 利用配方法进行证明】  PAGEREF _Toc26641 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5264" 【题型5 利用配方法求最值】  PAGEREF _Toc5264 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc12065" 【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】  PAGEREF _Toc12065 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22836" 【题型7 利用配方法确定三角形形状】  PAGEREF _Toc22836 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc8151" 【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】  PAGEREF _Toc8151 \h 6知识点：配方法等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。【题型1 利用配方法求字母的值】【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式x2−2x+3配方成x−12+2，发现当x−1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2−2x+3的值是相等的．例如：当x−1=±2时，即x=3或−1时，x2−2x+3的值均为6；当x−1=±3时，即x=4或−2时，x2−2x+3的值均为11．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x−t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对偶，例如x2−2x+3关于x=1对偶．请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式x2−8x+10关于 对偶；(2)当x=m或9−m时，关于x的多项式x2+2bx+c的值相等，求b的值；(3)若整式x2+8x+16x2−4x+4关于x=n对偶，求n的值．【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式−x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能为（   ）A．1 B．2 C．4 D．5【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于x的一元二次方程x2−10x+m=0可以通过配方写成(x−n)2=0的形式，那么下列关于m,n的值正确的是（    ）A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100,n=10 D．m=20,n=−5【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣12x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　）A．m＜﹣9 B．m＜﹣92 C．m＜9 D．m＜92【题型2 利用配方法求代数式的值】【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于x的多项式ax2−2bx+ca≠0，当x=a时，该多项式的值为c−a，则多项式a2+b2+3的值可以是（    ）A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为 ．【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2−8x+17=x2−8x+16+1=x−42+1，∵x−42≥0∴x−42+1≥1∴x2−8x+17≥1试利用“配方法”解决下列问题：(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2+6b+1=c+a4c2+6c+1=a+b,，那么a+b+c的值为 ．(2)已知x2+8x+y2+2y+17=0，求x+y的值；【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+9=0，我们可以求出m，n的值．解法是：∵m2−2mn+2n2−6n+9=0，∴m2−2mn+n2+n2−6n+9=0，即m−n2+n−32=0，∴m−n=0，n−3=0，∴m=n=3．根据这样的解法，完成：(1)若x2+y2+8x−2y+17=0，求x+3y的值；(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11” “0，∴b>12，∴a2+b2+3=b2+2b−1+3=b+12+1>3.25，四个选项中，只有A符合，故选：A．【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若a，b满足2a2+b2+2ab−4a+4=0，则a+3b的值为 ．【答案】−4【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：已知等式变形得：a2+2ab+b2+a2−4a+4=0，即a+b2+a−22=0，∵a+b2≥0，a−22≥0，∴a+b=0，a−2=0，解得：a=2，b=−2，则a+3b=2−6=−4．故答案为：−4．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2−8x+17=x2−8x+16+1=x−42+1，∵x−42≥0∴x−42+1≥1∴x2−8x+17≥1试利用“配方法”解决下列问题：(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2+6b+1=c+a4c2+6c+1=a+b,，那么a+b+c的值为 ．(2)已知x2+8x+y2+2y+17=0，求x+y的值；【答案】(1)−32(2)−5【分析】（1）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再根据非负数的性质求值即可；【详解】（1）4a2+6a+1=b+c①4b2+6b+1=c+a②4c2+6c+1=a+b③,①+②+③，得：4a2+4b2+4c2+6a+6b+6c+3=2a+2b+2c,∴4a2+4a+1+4b2+4b+1+4c2+4c+1=0,∴2a+12+2b+12+2c+12=0,∴2a+12=0,2b+12=0,2c+12=0,∴2a+1=0,2b+1=0,2c+1=0,∴a=−12,b=−12,c=−12,∴a+b+c=−12−12−12=−32，故答案为：−32；【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+9=0，我们可以求出m，n的值．解法是：∵m2−2mn+2n2−6n+9=0，∴m2−2mn+n2+n2−6n+9=0，即m−n2+n−32=0，∴m−n=0，n−3=0，∴m=n=3．根据这样的解法，完成：(1)若x2+y2+8x−2y+17=0，求x+3y的值；(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11