2024-—2025学年江苏省九年级（上）期中数学模拟测试

这是一份2024-—2025学年江苏省九年级（上）期中数学模拟测试，共72页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点P满足，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（ ）

A．290B．272C．252D．244
3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为的内心，于N，下列结论：
①；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（ ）
A．B．4C．D．
5．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，以相同的速度分别沿向终点移动，当点到达点时，运动停止，过点作直线的垂线，垂足为点，在这个移动过程中点经过的路径长是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为4的与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点，点Q是上一动点，连接，点M为的中点，连接，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）正方形的边长为，点在边上运动，连接，过点作，为垂足，以为边作正方形，当点与点重合时，点与点重合，则长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦DE的中点，则的取值范围是 ．
9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知中，，，，点是边上的动点，以CE为直径作，连接交于点，则AD的最小值 ．
10．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是 ．
11．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ．
12．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为2的正方形中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是 ．
13．（23-24九年级上·江苏常州·期中）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，点，在边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的值是 ．
三、解答题
15．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，的圆心在格点上，点、、均在圆上，是和网格线的交点．
(1)在图1中，在格点上找一点，使得为的切线（画出一个点即可）
(2)在图2中，在优弧上画点，使得
(3)在图3中，在优弧上画点，使得
16．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，内接于，为的直径，点为上的一动点，且在上方（点不与点A，重合），．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)连接，求证：；
(3)若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间的等量关系，并证明你的结论．
17．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）【学习心得】
小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到________．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形中，，，求的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是_________．
18．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【学习心得】
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则．
(1)如图2，在四边形中，，，则 ；
(2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）；
(3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ；
②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长．
19．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】
如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线分别交圆O于点A，B，则是点P到圆O上的点的最短距离，是点P到圆O上的点的最长距离．

【问题解决】
(1)请就图①中为何最长进行证明．
(2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______．
(3)如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的圆E上，则的最小值是______．
(4)如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______．
(5)如图⑤，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为______．
20．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，形如三角板的中，厘米，形如量角器的半圆的直径在直线上，且厘米，点在三角形的左侧，厘米．若半圆沿方向以每秒2厘米的速度向右运动，设运动时间为t秒．
(1)当______时，半圆与直线相切；
(2)当时，试判断直线与半圆的位置关系并说明理由；
(3)当时，求半圆与三角形重合部分的面积．
21．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动（点P可以与点A重合），同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动（点Q可以与点B重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)如图1，几秒后，的面积等于？
(2)如图2，在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切，求t值；
(3)若以Q为圆心，为半径作⊙Q．如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为 ．（直接写出结果，不需说理）
22．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）问题提出
如图①，、是的两条弦，，是的中点，，垂足为，求证：．
小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：
如图②，延长至，使，连接、、、、．
（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是 ．
拓展研究
如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．
23．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在上，点B落在上，当与半相切时，就将三等分了；
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M、N，则点A、M、D、N将四等分．
(1)请你说明三分角仪的正确性；
(2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点．
24．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．

(1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________；
(2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长．
25．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，是的直径；与相切于点，点在上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，交于点，若，
①图中阴影部分面积是______；
②连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______．
26．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解：
（1）【学习心得】
学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．

①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °．
②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
解：∵，
∴，∵，∴，
∴ ，（定角）
∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程．
（2）【问题解决】
如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ．
（3）【问题拓展】
如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．
①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，边与轴交于点．
(1)直接写出点的坐标；
(2)在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．
①当时，求直线的函数表达式；
②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．
28．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】
（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ．
【类比迁移】
（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
29．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．
【构造模型】
（1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（简要说明作图方法，并保留作图痕迹）
【应用模型】
已知是的内接三角形．
（2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由．
（3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹）
30．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．
【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是．
（1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出最大射门角的度数．
【理解应用】
（1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（ ）
A．点 B．点或点 C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点
（2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度．
31．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】

（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为 ，点D到直线的距离为 ；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．
32．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．

(1)求的长．
(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．
33．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图1，P是内的一点，直线分别交于点A，B，易得是点P到上的点的距离的最大值．如图2，在平面直角坐标系中，点，以为半径在x轴的上方作半圆O，交x正半轴于点B，点C是该半圆上一动点，连接、，并延长至点D，使．
(1)连接，直接写出的最大值为_____；
(2)如图3，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足．
①若点C的横坐标为4，求线段的长；
②若将点C从点B运动到点A，则线段（包含起点处）扫过的区域的面积为___．
34．（23-24九年级上·江苏南通·期中）（1）如图1，在足球比赛场上，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到A点时，同伴乙已冲到B点，甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
对上面这个问题，小明结合图1判断甲的视角小于乙的视角，根据“仅从射门角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进”的经验，认为甲应该将球传给乙．请结合图1给出小明得到的理由；
（2）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，并得到这样的结论：如图2，点A，B是平面内两个定点，C是直线l上的一个动点，当且仅当的外接圆与l相切于点C时，最大．
如图3，，点A，B是边上两点，，点C是边上一动点．
①若最大为，请求出当时，的长；
②若最大不超过，直接写出的取值范围．

35．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”，一些问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单．
【初步运用】
（1）如图1，四边形中，，求的度数．
请完成思路分析：如图2 ，由知在以为圆心以为半径的圆上，由∠BAC=80° ，可得 ；（本题直接填写答案，不用写出解答过程）
【方法迁移】
（2）如图，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（3）①如图，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为 ．
②如图，在中，，AD是BC边上的高，且，，求的长．
参考答案：
1．A
【详解】解：如图，作等腰直角三角形，

，，
，，
E在y轴上，
当E在上方时，以E为圆心，为半径作圆，此时上存在点满足，
设直线与相切，切点为P，此时m的值最大，
设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，
连接，则，直线，
，是等腰直角三角形，
， ，
，
由直线可知，
，
，
，
当E在下方时，同理得，

m的取值范围是，
故选：A．
2．B
【详解】解：过点C作于点N，连接，
点为的中点，，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，
在中，
，
当最大时，最大，
的半径为5，
弦最长等于直径是10，
，
．
故选：B．
3．C
【详解】解：如图，连接，，，，
∵点M为半圆的中点，
∴，
∴，故①符合题意；
∵点M为半圆的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，，
∴，，
设，点I为的内心，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∴，
当时，
，
解得：，
∴，
∵为圆上一个动点，
∴不一定为，
∴错误，故③不符合题意；
过作于，作于，而为内心，
∴，，，，四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
由，把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴三点共线，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．故④符合题意；
故选C
4．C
【详解】解：连接与交于点O，连接
∵四边形是矩形，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴点O为的中点，
连接则与交于点O，
由折叠得，
又
∴，
∴
又，
∴
∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合，
∴G的运动轨迹为，
∴连接并延长，交于时，最大，
当共线时，即G与重合时，最大，
∴，
∵P为的中点，O为的中点，
∵，
∴,
即的最大值为，
故选：C
5．D
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
在中，，则，
的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧，则
当与重合时，；当与重合时，与重合；
走过的路程为，
故选：D．
6．B
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的上运动，
当M点为与的交点时，点M到
的距离最短为，
∴ △BCM面积的最小值为∶
，
故选：B．
7．C
【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，，
∵正方形，正方形，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心，2为半径的上，
当时，最大，
∵
∴,
∴的最大值为．
故选C．
8．
【详解】解：如图，连接，，
∵分别是的中点，
∴，，
∴，，
∵AB是直径，
∴，
即，
∴，
∵直径，
∴，
∴，
∵是DE的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．
【详解】解：连接，
∵CE为直径作，
∴，
∴，
∵，
∴动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
当在一直线上时，AD的值最小，
∵，，，
∴，
∴，
即AD的最小值为，
故答案为：．
10．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
为的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小，
在等腰直角三角形中，，
，
，
，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
11．
【详解】如图，连接，作于H，于K，
，
，
，
，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，
在中，，，
，
，
，
当C、O、H共线，且与重合时，的值最小，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
12．
【详解】解：如图：延长交⊙O于M，N，连接，过点O作于H．
在中，,
∵，
∴
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为．
13．/
【详解】解：如图所示：
∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，
∴圆心O就是三角形的内心，
∴当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，
过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M，
∵，
∴，
∵，，
∴,
∵，
∴
设，则，
∴，解得，即，
在中， ．
故答案为：．
14．或或
【详解】如图1中，当是等边三角形时满足条件，作于．
在中，．
∵，
∴．
∴．
如图2中，当与相切于，时，，此时满足条件．
如图中，当经过点时，，此时满足条件．
如图4中，当与相切于时，．
观察图3和图4可知：当时，满足条件．
综上所述，满足条件的的值为：或或．
故答案为：或或．
15．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点，
如图，连接、，

∵
∴，
∴AD是的切线；
（2）解：如图，点即为所求，

连接、、BM，交BM于点，
∵，，
∴，
∴，
∴；

（3）解：点F为所求，

连接BM、、CF，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．

16．(1)为等腰直角三角形
(2)证明见解析
(3)，证明见解
【详解】（1）解：，
∴
又，
，
又是该外接圆的直径
，
为等腰直角三角形
（2）解：如图：作，并延长交于点，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理可知，
，
由（1）可知为等腰直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
（3）解：，证明如下：
如图，延长交于点，连接，
，
为等腰直角三角形
由勾股定理可求得：，
又，
又，
，即，
为直径，
，
在Rt中，有，
．
17．（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）如图1，
，，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案是：；
（2）如图2，取BD的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
，
（3）如图3，在正方形中，，，，
在和中，
，
（），
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
取AB的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，＞，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值-2．
故答案为：．
18．(1)25
(2)图见解析
(3)①②
【详解】（1）解：如图，取的中点，连接、．
，
，，
，
点、、、共圆，
，
，
．
故答案为：25；
（2）作图如下：
由图知，；同理．
（3）①．理由如下：
在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示：
，
，
的半径为，即，
∵，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形，
∴．
，
．
在中，，
．
，为圆心，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
19．(1)见解析
(2)2或5
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）证明：如图，点C为上任意一点（不与点B重合），连接，，

当点C与点B不重合时，
∵在中，，
又∵，
∴，即，
∴的长是点P到上的点的最长距离．
（2）解：若点P在外，如图①，

则，，
∴，
∴的半径为2；
若点P在内，如图②，
则，，
∴，
∴的半径为5；
综上所述，的半径为2或5．
故答案为：2或5；
（3）解：连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离，
∴的最小值是的长，

∵在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值是；
（4）解：取点，连接，
∵，，
∴点A是线段的中点，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值，

连接，并延长交于点，
∴当点B位于点时，线段有最大值，
∵，，
∴，
∵的半径为，即，
∴，
∴线段有最大值为，
∴线段的最大值为．
故答案为：
（5）解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的圆上运动；
如图所示，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．

20．(1)或
(2)相切，见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，当点刚到点时，，
如图，当点刚到点时，，
故答案为：或；
（2）相切，理由如下：
解：当时，点与点重合，
如图，过点作的垂线段，交于点，
，
，
，，
当时，直线与半圆相切；
（3）解：当时，点运动到的中点，点和点重合，
如图，过点作的垂线段，交于点，连接，
，
，，
扇形的面积为，
根据勾股定理，可得，
，
，
半圆与三角形重合部分的面积为．
21．(1)2秒或4秒
(2)
(3)
【详解】（1）解：由题意知，，，则，
∵
∴，
解得或，
故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为；
（2）解：如图1，设切点为，连接．
∵，
∴与相切，
∴分别与，相切，
∴．
∵与相切，
∴，
在中，依据勾股定理可得．
∴．
∵，
∴，．
在中，依据勾股定理可得，，
解得；
（3）解：（Ⅰ）当时，如图4所示：
与四边形有两个公共点；
（Ⅱ）如图5所示：
当经过点D时，与四边形有两个公共点，则，
得方程，
解得： （舍），，
∴当，与四边形有三个公共点．
故答案为：．
22．问题提出：见解析；推广运用：；拓展研究：不成立，、、三者之间的关系为：，见解析
【详解】问题提出：证明：如图2，延长至，使，连接、、、、，
是的中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
，
；
推广运用：解：如图3，截取，连接，，，
由题意可得：，，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
则的周长是，
故答案为：；
拓展研究：不成立，、、三者之间的关系：，
证明：延长交于点，连接，，，交于，
是的中点，
，
在和中，，
，，
，，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，，即垂直平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵与半相切，
∴平分，
∴，
即就将三等分；
（2）解：如图（2），连接，设的半径为，
∵点A、B、C、D、E、F是六等分，
∴弧为半圆，，
∴为直径，
∴，
∴，
由作法得，，
∴，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴M点为弧的中点，
同理可得N点为弧的中点，
∴点A、M、D、N是⊙O四等分点．
24．(1)、
(2)
【详解】（1）解：如图1，连接，则，

∴，
∵于点D，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30，45；
（2）解：如图2，连接，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴PE的长是
25．(1)见解析
(2)①；②
【详解】（1）证明：连接､，
点在上，
为半径．
与相切于点，
．
．
在和中，
，
．
．
．
是的切线．
（2）①作于点，
，
，．
四边形是矩形．
．
．
．
，
是等边三角形．
．
．
．
．
在中，,则，
∴
∵
∴，
．
②如图所示
是等边三角形，

又为正的内心，则
26．（1）① 28度；②见解析；（2）4；（3）①相等且垂直，见解析；②
本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键．
【详解】（1）①∵，，
∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，

如图1，．
（2），，
，，，
点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小，

点是的中点，，
在中，，，，
，．
最小值为4．
（2）如图3，连接，

点，点关于直线对称，
，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段上时，有最小值，
，，，
∴的最小值为．
（3）①结论：，
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，，
，，，
，．
②如图4，连接，交于点O，
∵点P在运动中保持，

∴点P的运动路径是以为直径的圆的，
∴点P的运动路径长为．
27．(1)
(2)①或；②或
【详解】（1）解：点B的坐标为，
．
∵矩形中，
．
；
（2）解：①∵点，
．
，
．
．
，
或．
或．
或．
∴或．
解得：或
∴直线的函数表达式为：或；
②设的中点为G，过点G作于点H，延长交于点N，则，如图，
由题意：以线段EM为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．
∴以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切，
Ⅰ、以线段为直径的圆与矩形的边所在直线可能相切时，
则．
设，则，
．
，
．
，
∴为梯形的中位线．
．
∴．
解得：．
经检验，是原方程的根，
；
Ⅱ、以线段为直径的圆与矩形的边所在直线可能相切时，
则．
，
．
，
∴为梯形的中位线．
．
∴．
解得：．
经检验，是原方程的根，
．
综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点M的坐标为或．
28．（1）3，；（2），理由见解析；（3）
【详解】解；（1）作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：3，；
（2）如图，结论：．
理由：作于，连接，．
平分，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
∴，
，
．
（3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．
，
正方形的边长为，
由（2）可知：，
，
由切线长定理可知：，
，
设内切圆的半径为，
则
解得，
即，
在中，．
故答案为：．
29．（1）见解析；（2）；（3）见解析
【详解】解：如图，当点在的延长线上时，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；当点在的延长线上时，以点为圆心， 长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；

（2），
如图，连接并延长至，使得，连接，
，
为定角，
为定角，
当最长时，即时，最长，
，
，
，
最长为
（3）如图，第步：作AB的垂直平分线交于点；
第步：以点为圆心，为半径作；
第步：以为圆心，的长为半径画弧交于点；
第步：连接交于点．
则．
30．[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2）
【详解】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下：
如图2，记与过两点的圆的交点为，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴甲自己射门好；
[经验感知]（1）如图4，即为所求；

（2）如图4，连接，于，
∵是的切点，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
∴最大射门角的度数为；
[理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，

由勾股定理得，，
∴，
∴四点共圆，如图5，
∴，
∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，
故选：C；
（2）解：∵，，，
∴，
如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
由题意知，，，
∴均为等腰直角三角形，
∴，，
设的半径为，则，，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴射门角（）最大，此时的长度为米．
31．（1）；；（2），详见解析；（3）．
【详解】（1）∵平分，
∴，
∴，
∵AB为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点D作于点E，则，，
则有，
∴，即点D到直线的距离为，

故答案为：；；
（2），理由如下：
如图②，连接，作交的延长线于点N，

∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
（3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，

∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得， (不符合题意，舍去)，
∴，
∴线段的长为．
32．(1)8
(2)的长度不发生变化；
(3)
【详解】（1）如图，连接，
∵，，
∴，
∴圆的半径为5，

∵，
∴，
∴．
（2）的长度不发生变化；．理由如下：
如图，连接，

∵直径，，，弦，，
∴，
∴，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故的长度不发生变化；．
（3）如图，连接，
∵，

∴点H的运动轨迹是以为直径的上的，
当D、H、N三点共线时，取得最小值，
连接，交于点M，
故当H与M重合时，取得最小值，
∵，，，
∴，
∴，
过点N作于点F，
则，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
故最小值为．
33．(1)
(2)①；②
【详解】（1）解：如图1，连接AD，
∵点，
∴， ，，
∵，点C是该半圆周上一动点，
∴当点C与点A重合时，，如图，
此时取得最大值；
（2）解：①如图，连接，过点C作轴于点G，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C的横坐标为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
即线段的长为；
②依题意，如图3：
因为为直径，
所以，
因为，
所以是的垂直平分线，
则，
故点D在以点A为圆心，为半径的半圆上，点C在以点O为圆心，为半径的半圆上，
所以点C从点B运动到点A，线段（包含起点处）扫过的区域的面积为半圆的面积减去半圆的面积，
即，
故答案为：．
34．（1）见解析（2）①②
【详解】解：（1）连接，

则：，
∵是的外角，
∴，
∴；
（2）①当时，的外接圆的圆心在斜边的中点上，设圆心为，连接，则：，

∵的外接圆与l相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，如图：

连接， 则：，，过点作，则：，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意，可知越大，越短，
∴．
35．（1）；（2）见解析；（3）①；②
【详解】解：（1），
三点都在以为圆心，以长为半径的圆上，
，
，
故答案为：；
（2）如图所示，点即为所求，
；
（3）①如图所示，在上截取一点使得，连接，以为直径作圆，过点作交于，过点作交于，延长交于，当与圆相切时，
∵四边形是矩形，
，
，，
四边形是正方形，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图所示，作的外接圆，过圆心作于，于，连接，，则四边形是矩形，
，
，
，
在直角中，
∴，
，为圆心，
∴，
，，
∴，
∴．