2024-2025学年山西省大同市浑源县大联考高一上学期10月月考数学试题（含答案）

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这是一份2024-2025学年山西省大同市浑源县大联考高一上学期10月月考数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=1,2,4,5，B=2,4,6，则A∪B=( )
A. 2B. 2,4C. 2,4,5,6D. 1,2,4,5,6
2.若a，b，c∈R，aA. 1a<1bB. a2C. ac2+13.已知集合A=1,3a+1,2a2+a−3，若−2∈A，则a=( )
A. −1B. 12C. 1D. −1或12
4.设x、y∈R，“x=6且y=6”是“x+y=12”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.已知集合A=xx≤−2或 x>1，B=xax+2≤0，且B⊆A，则a的取值范围是( )
A. a0C. a−2≤a≤1D. a−26.若−3≤2a+b≤4，−1≤a−b≤2，则a+5b的取值范围是( )
A. a+5b−253≤a+5b≤8B. a+5b−13≤a+5b≤12
C. a+5b−12≤a+5b≤11D. a+5b−9≤a+5b≤5
7.为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
8.已知a>0，b>0，且不等式2a+b≤m2−4m+8对任意m∈R恒成立，则a+1b的最大值为( )
A. 4 2B. 4C. 92D. 9 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系中正确的是( )
A. 5∉QB. ⌀Ü0
C. 0,1⊆0,1D. 2,4=4,2
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为xx<−3或 x>2，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 9a+c>3b
C. 关于x的不等式cx2−bx+a<0的解集为xx<−12或x>13
D. 若aa′=bb′=cc′，则关于x的不等式a′x2+b′x+c′>0的解集为xx<−3或 x>2
11.已知m>0，n>0，且m2+n2=1+mn，则下列不等式恒成立的是( )
A. m2+n2≥2B. 1m+1n≥2C. m≤2 33D. m3+n3≤2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x>2，x3−4x>0”的否定是
13.已知集合M=xm−1x2+4x+1=0有且只有两个子集，则m的值为．
14.已知m>0，n>0，且m+n=1，则mn8m2+1的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=xx2+4x−a=0
(1)若a=5，请写出集合A的所有子集；
(2)若集合B=xx2+2x=0，且A⊆B，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知集合A=x2x−1≤5，B=xx2−3a−1x+a2a−1<0．
(1)若a=−1，求∁RA∪B；
(2)若A∩B=B，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知命题p:∀x∈x−1≤x≤1，不等式3x+1≥m2−3m恒成立；命题q:∃x∈x1≤x≤4，使得x2−mx+2<0成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若q为真命题，求m的取值范围；
(3)若命题p、q有且只有一个是真命题，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为x米6≤x≤18，该工程队的总报价为y元
(1)请用x表示y；
(2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时x的值．
19.(本小题12分)
问题：已知a、b、c均为正实数，且1a+1b+1c=1，求证：a+b+c≥9．
证明：a+b+c=a+b+c1a+1b+1c=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当a=b=c=3时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求1a+4b+9c的最小值；
(2)已知a、b、x、y均为正实数，且x2a2−y2b2=1，求证：a2−b2≤x−y2；
(3)求T= 5t−9− t−2的最小值，并求出使得T取得最小值时t的值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.B
6.C
7.B
8.C
9.AB
10.AC
11.BCD
12.∃x>2，x3−4x≤0
13.1或5
14.18或0.125
15.解：(1)当a=5时，A=xx2+4x−5=0=−5,1，
所以，集合A的所有子集有：⌀、−5、1、−5,1．
(2)因为B=xx2+2x=0=−2,0，分以下几种情况讨论：
①当A=⌀时，对于方程x2+4x−a=0，Δ=16+4a<0，解得a<−4；
②当集合A只有一个元素时，对于方程x2+4x−a=0，Δ=16+4a=0，可得a=−4，
此时，A=xx2+4x+4=0=−2，此时，A⊆B；
③当集合A有两个元素时，因为A⊆B，则A=B，即A=−2,0，
即关于x的方程x2+4x−a=0的两根分别为−2、0，
所以，4−8−a=0−a=0，无解．
综上所述，实数a的取值范围是aa≤−4．

16.解：(1)不等式2x−1≤5，解得−2≤x≤3，则A=−2,3，
当a=−1时，不等式x2+4x+3<0解得−3求∁RA=−∞,−2∪3,+∞，∁RA∪B=−∞,−1∪3,+∞．
(2)若A∩B=B，则B⊆A，
方程x2−3a−1x+a2a−1=0的根为x=a和x=2a−1，
当a=2a−1，即a=1时，不等式x2−3a−1x+a2a−1<0无解，B=⌀，满足B⊆A；
当a>2a−1时，不等式x2−3a−1x+a2a−1<0解得2a−1由B⊆A，有−2≤2a−1当a<2a−1时，不等式x2−3a−1x+a2a−1<0解得a由B⊆A，有−2≤a<2a−1≤3，解得1综上可知，a的取值范围为−12,2

17.解：(1)当−1≤x≤1时，−2≤3x+1≤4，
对于命题p:∀x∈x−1≤x≤1，不等式3x+1≥m2−3m恒成立，则m2−3m≤−2，
即m2−3m+2≤0，解得1≤m≤2，
所以，若p为真命题，则实数m的取值范围是m1≤m≤2．
(2)当1≤x≤4时，由基本不等式可得x+2x≥2 x⋅2x=2 2，
当且仅当x=2x1≤x≤4时，即当x= 2时，等号成立，
所以，当1≤x≤4时，x+2x的最小值为2 2，
若命题q为真命题，则∃x∈x1≤x≤4，使得x2−mx+2<0成立，
可得mx>x2+2，可得m>x2+2x=x+2x，所以，m>2 2，
所以，若q为真命题，则实数m的取值范围是mm>2 2．
(3)因为命题p、q有且只有一个是真命题，分以下两种情况讨论：
若p真q假，则1≤m≤2m≤2 2，可得1≤m≤2；
若p假q真，则m<1或m>2m>2 2，可得m>2 2．
综上所述，若命题p、q有且只有一个是真命题，
实数m的取值范围是m1≤m≤2或 m>2 2．

18.解：(1)前面墙的长度为108x米，
总报价y=1000×2x×4+1500×108x×4+36000=8000x+648000x+36000，其中6≤x≤18．
(2)y=8000x+648000x+36000=8000x+81x+36000≥8000×2 81+36000=180000，
当且仅当x=81x，即x=9时等号成立，
所以总报价的最小值为180000元，并求出此时x的值为9米．

19.解：(1)因为a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，
则1a+4b+9c=a+b+c1a+4b+9c=1+4ab+9ac+ba+4+9bc+ca+4cb+9
=14+4ab+ba+9ac+ca+9bc+4cb≥14+2 4ab⋅ba+2 9ac⋅ca+2 9bc⋅4cb
=14+4+6+12=36，
当且仅当4ab=ab9ac=ca9bc=4cba+b+c=1a>0,b>0,c>0时，即当a=16b=13c=12时，等号成立，
所以，1a+4b+9c的最小值为36．
(2)证明：因为a、b、x、y均为正实数，且x2a2−y2b2=1，
则a2−b2=a2−b2x2a2−y2b2=x2+y2−b2a2x2+a2b2y2
≤x2+y2−2 b2a2x2⋅a2b2=x2+y2−2xy=x−y2，
当且仅当b2a2x2=a2b2y2时，即当xy=a2b2时，等号成立，故a2−b2≤x−y2．
(3)对于代数式T= 5t−9− t−2，有5t−9≥0t−2≥0，可得t≥2，
此时，(5t−9)−(t−2)=4t−7>0，则5t−9>t−2，
所以，T= 5t−9− t−2>0，
由(2)中的结论可得T2= 5t−9− t−22≥5t−95−t−215−1=45，可得T≥2 55，
当且仅当 5t−9 t−1=5时，即当t=4120时，T取最小值2 55．