2024-2025学年重庆市荣昌中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
展开这是一份2024-2025学年重庆市荣昌中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.命题“∃x0>0,x02−5x0+6>0”的否定是( )
A. ∀x≤0,x2−5x+6≤0B. ∀x>0,x2−5x+6≤0
C. ∃x0≤0,x02−5x0+6≤0D. ∃x0>0,x02−5x0+6≤0
2.函数f(x)=ex−e−xx2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下,第二次摸到正品的概率是( )
A. 35B. 25C. 59D. 23
4.设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A. y=−2xB. y=−xC. y=2xD. y=x
5.已知函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A. [−1,0)B. [0,+∞)C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
6.一元二次方程ax2+2x+1=0,(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A. a<0B. a>0C. a<−1D. a>1
7.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为:( )
A. 110B. 120C. 140D. 1120
8.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )
A. −50B. 0C. 2D. 50
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 若a>b,则ac2>bc2B. 若a>−b,则−a>b
C. 若ac>bc,则a>bD. 若a>b,则a−c>b−c
10.下列命题中的真命题有( )
A. 当x>1时,x+1x−1的最小值是3
B. x2+5 x2+4的最小值是2
C. 当0
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的对称轴为x=1,其图像如图所示,则下列选项正确的有( )
A. |abc|+abc=0
B. 当a≤x≤1−a时,函数的最大值为c−a2
C. 关于x的不等式ax4+bx2>a(x2−2)2+b(x2−2)的解为x> 2或x<− 2
D. 若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则|b−1|≥ 5
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.从5名男生和6名女生中,选出3名代表,要求3名代表中既有男生又有女生的选法有______种.
13.(2x+y)(x−3y)4的展开式中x2y3项的系数为______.
14.若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称,则f(x)的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lg(x+4)−lg(4−x).
(1)求函数f(x)的定义域,判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)求不等式f(x)<0的解集.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=alnx+bx2−7x+12在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y+3=0.
(1)求a,b;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
17.(本小题15分)
某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付,某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),绘制了如图所示的散点图:
(1)根据散点图判断在推广期内,y=a+bx与y=c⋅dx(c,d为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考数据:
其中vi=lgyi,v−=17i=17vi
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=a+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:β=i=1nuivi−nu−v−i=1nui2−nu−2,a =v−−β u−
18.(本小题17分)
11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x+1)lnx−ax+2.
(1)当a=1时,求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)求证:13+15+17+⋯+12n+1<12ln(n+1),n∈N∗.
(参考数据:ln2≈0.6931)
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.D
5.C
6.C
7.B
8.C
9.ABC
10.AC
11.ACD
12.135
13.−162
14.16
15.解:(1)f(x)=lg(x+4)−lg(4−x),所以x+4>04−x>0,
即−4
∵f(−x)=lg(−x+4)−lg(4+x)=−f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=lg(x+4)−lg(4−x)<0,
即lg(x+4)
故x∈(−4,0).
所以不等式的解集为(−4,0).
16.解:(1)定义域为(0,+∞),f′(x)=ax+2bx−7,
将点(1,f(1))代入2x+y+3=0中,
2×1+f(1)+3=0,∴f(1)=−5.
f(1)=b−7+12=5f′(1)=a+2b−7=−2⇒a=2b=32
(2)f(x)=2lnx+32x2−7x+12,
f′(x)=2x+3x−7=2+3x2−7x=(x−2)(3x−1)x,
f(x)的单调递增区间为(0,13),(2,+∞),单调递减区间为(13,2);
f(x)的极大值为f(13)=−53−2ln3,极小值为f(2)=−152+2ln2.
17.解:(1)根据散点图可知:散点不是分布在一条直线附近,而是分布在一条指数型增函数附近,
所以y=c⋅dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型;
(2)因为y=c⋅dx,两边取常用对数得lgy=lg(c⋅dx)=lgc+lgd⋅x,
设lgy=v,所以v=lgc+lgd⋅x,
因为x−=4,v−=1.54,i=17xi2=140,
所以lgd=i=17xivi−7x−v−i=17xi2−7(x−)2=50.12−7×4×1.54140−7×42=0.25,
把样本点的中心(4,1.54)代入v=lgc+lgd⋅x得:
lgc=0.54,所以v=0.54+0.25x,
所以lgy=0.54+0.25x,
所以y关于x的回归方程为y =100.54+0.25x,
将x=8代入上式可得y =100.54+0.25×8≈347,
故预测活动推出第8天使用扫码支付的人次约为3470.
18.解:(1)设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k=1,2,3,…),
则P(X=2)=P(A1A2)+P(A1−A2−)
=P(A1)P(A2)+P(A1−)P(A2−)
=0.5×0.4+0.5×0.6
=0.5;
(2)P(X=4且甲获胜)=P(A1−A2A3A4)+P(A1A2−A3A4)
=P(A1−)P(A2)P(A3)P(A4)+P(A1)P(A2−)P(A3)P(A4)
=(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4
=0.1.
19.解:(1)当a=1时,f(x)=(x+1)lnx−x+2,(x>0),f′(x)=lnx+1x,f′(1)=1,f(1)=1,
所以求在x=1处的切线方程为:y=x.
(2)f′(x)=lnx+1x+1−a(x>0),
若函数f(x)在定义域上单调递增,则a≤lnx+x+1x对于x∈(1,+∞)恒成立,
令g(x)=lnx+x+1x,
则x>1时,g′(x)=x−1x2>0,
则函数g(x)在(1,∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=2,
故a≤2.
证明:(3)由(2)可知,当a=2时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,
由f(x)>f(1)(x>1)得(x+1)lnx−2x+2>0,
即lnx>2(x−1)x+1在(1,+∞)上总成立,
令x=n+1n得12n+1<12lnn+1n,化简得ln(n+1)−lnn>22n+1,
所以ln2−ln1>22+1,ln3−ln2>24+1,⋯,ln(n+1)−lnn>22n+1,
累加得ln(n+1)−ln1>23+25+⋯+22n+1,
即13+15+17+⋯+12n+1<12ln(n+1),n∈N∗命题成立. x−
y−
v−
i=17xiyi
i=17xivi
i=17xi2
100.54
4
62
1.54
2535
50.12
140
3.47
x
(0,13)
13
(13,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
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