2024-2025学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省荆门市龙泉中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如果集合S={x|x=3n+1,n∈N}，T={x|x=3k−2,k∈Z}，则( )
A. S⊆TB. T⊆SC. S=TD. S⊈T
2.已知下列四个命题：
①命题“∀x∈R, x2+1≥1”的否定是“∃x0∈R, x02+1<1”；
②若△ABC为锐角三角形，则sinA+sinB>csA+csB；
③若f′(x0)=0，则x=x0是函数f(x)的极值点；
④命题p：若a2−b2>0，则a3−b3>0；命题q：若a≠b，则a2+b2>2ab；可知“p或q”为真命题．
其中真命题的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
3.已知x∈(0,π)，sin(13π3−x)−cs2(x2+π4)=0，则tan(x+π4)=( )
A. −3−2 2B. −2 2C. 3−2 2D. −3
4.已知函数f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)，求f′(2)=( )
A. 0B. −12C. −120D. 120
5.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0A. E(X)>10B. E(X)<10
C. E(X)=10D. E(X)与10的大小无法确定
6.已知函数f(x)=3x−2x，x∈R，则下列结论错误的是( )
A. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. 存在a∈R，使得函数y=f(x)ax为奇函数
C. 任意x∈R，f(x)>−1
D. 函数g(x)=f(x)+x有且仅有2个零点
7.已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且limn→∞Sn=S，下列条件中，使得2SnA. a1>0，0.6C. a1>0，0.78.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接F1C，F1A.若O为坐标原点，F1C⊥F1A，S△COF2=2S△AF1F2，则椭圆Γ的离心率为( )
A. 105B. 55C. 1010D. 510
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=10，则p=13
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12
C. 已知An2=Cn3，则n=8
D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为4591
10.已知圆锥SO的底面半径r=32，母线长l=2，SA，SB是两条母线，P是SB的中点，则( )
A. 圆锥SO的体积为9 2π8
B. 圆锥SO的侧面展开图的圆心角为3π2
C. 当△SAB为轴截面时，圆锥表面上点A到点P的最短距离为 5+2 2
D. △SAB面积的最大值为2
11.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，P是E上异于A，B的一个动点.若3|AF1|=|BF1|，则下列说法正确的有( )
A. 椭圆E的离心率为12
B. 若PF1⊥F1F2，则cs∠PF2F1=35
C. 直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于−34
D. 符合条件PF1⋅PF2=0的点P有且仅有2个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足|z|=1，则|z−3+4i|的取值范围是______．
13.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，3，4)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件Ak={第k次取单恰好是从1号店取单}，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)=1，P(A2)=0，则P(An)= ______．
14.已知函数f(x)在定义域(−π2,π2)上为偶函数，并且x≥0时，f′(x)≥f(x)tanx，若f(π3)=2，则不等式f(x)<1csx的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在①sinAsinBsinC= 32(sin2A+sin2C−sin2B)；②1tanA+1tanB=sinC 3sinAcsB；③设△ABC的面积为S，且4 3S+3(b2−a2)=3c2.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____，且b=2 3．
(1)若a+c=6，求△ABC的面积；
(2)若△ABC为锐角三角形，求ac的取值范围.(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
16.(本小题15分)
某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线测试，得到数据如表：
(1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？
(2)若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A、B两个地区同时选到的概率；
(3)在(2)的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5个的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
17.(本小题15分)
在三棱台ABC−A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，侧面A1ACC1是等腰梯形，O是AC的中点，B1O是两异面直线B1B和AC的公垂线，且AB=9A1B1=2 3，BB1=2 2．
(1)证明：侧面ABB1A1⊥平面B1AC；
(2)若BO=B1E，且B1B与平面EAC之间的距离为1，求二面角A−EC−B1的正切值．
18.(本小题17分)
在xOy平面上，我们把与定点F1(−a,0)、F2(a,0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1、F2为该曲线的两个焦点.已知曲线C：(x2+y2)2=9(x2−y2)是一条伯努利双纽线．
(1)求曲线C的焦点F1、F2的坐标；
(2)判断曲线C上是否存在两个不同的点A、B(异于坐标原点O)，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求点A、B坐标；如果不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
自然常数，符号e，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数(Eulernumber)，以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔(JℎnNapier)引进对数.它就像圆周率π和虚数单位i，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是e=x→∞lim(1+1x)x.设数列{en}的通项公式为en=(1+1n)n，n∈N∗，
(1)写出数列{en}的前三项e1，e2，e3．
(2)证明：2≤en<3．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.B
6.D
7.B
8.A
9.BC
10.BCD
11.AC
12.[4,6]
13.14+34(−13)n−1
14.(−π3,π3)
15.解：(1)选①，由题意利用正弦定理得acsinB= 32(a2+c2−b2)，
由余弦定理可得acsinB= 32×2accsB，
可得sinB= 3csB，
所以tanB= 3，
因为B∈(0,π)，
故B=π3，
又b=2 3，a+c=6，
由余弦定理可得12=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−3ac，
解得ac=8，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×8× 32=2 3；
选②，因为1tanA+1tanB=sinC 3sinAcsB，
所以csAsinA+csBsinB
=sinBcsA+csBsinAsinAsinB
=sinCsinAsinB
=sinC 3sinAcsB，
因为A，C∈(0,π)，
所以sinC≠0，sinA≠0，
所以sinB= 3csB，
所以tanB= 3，
因为B∈(0,π)，
故B=π3，
又b=2 3，a+c=6，
由余弦定理可得12=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−3ac，
解得ac=8，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×8× 32=2 3；
选③，设△ABC的面积为S，由题意可得4 3×12acsinB=3c2−3(b2−a2)=3(a2+c2−b2)，
所以2 3acsinB=3×2accsB，
所以tanB= 3，
因为B∈(0,π)，
故B=π3，
又b=2 3，a+c=6，
由余弦定理可得12=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−3ac，
解得ac=8，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×8× 32=2 3；
(2)由(1)可知B=π3，b=2 3，
因为asinA=csinC=2 3 32=4，可得a=4sinA，c=4sinC，
所以ac
=sinAsinC
=sin(2π3−C)sinC
= 32csC+12sinCsinC
= 32tanC+12，
因为△ABC为锐角三角形，B=π3，
所以0解得π6所以tanC> 33，可得0<1tanC< 3，
所以12< 32tanC+12<2，
所以ac的取值范围是(12,2)．
16.解：(1)根据题意列出2×2列联表如下：
K2=10(4−9)25×5×5×5=10×2525×25=0.4<2.07，故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关．
(2)依题意，所求概率P=C31C53=310．
(3)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，P(X=1)=C31⋅C22C53=310；P(X=2)=C21⋅C32C53=35；P(X=3)=C33C53=110．
故X的分布列为
∴E(X)=1×310+2×35+3×110=1.8．
17.解：(1)证明：∵B1O是异面直线B1B与AC的公垂线，
∴B1B⊥B1O，B1O⊥AC，
又△ABC是等边三角形，O是AC的中点，∴AC⊥BO，
∴AC⊥平面B1BO，
又B1B⊂平面B1BO，∴AC⊥B1B，
∴B1B⊥平面B1AC，
又B1B⊂平面B1BAA1，
∴平面ABB1A1⊥平面B1AC；
(2)∵BO=B1E，∴四边形B1BOE是平行四边形，
∴B1B//OE，且B1B=OE，
由(1)知B1O⊥平面EAC，
∴线段B1O的长为直线B1B与平面△EAC的距离，即B1O=1，
在平面EAC内，过O作直线OF⊥EC于F，连B1F，
则B1F⊥EF，∠B1FO为二面角A−EC−B1的平面角，
∵AB=2 3，BB1=2 2，
∴OC= 3，EC= OE2+OC2= (2 2)2+( 3)2= 11，
∴tan∠B1FO=B1OOF=1 3×2 2 11= 6612，
故所求二面角A−EC−B1的正切值为 6612．

18.解：(1)设焦点F1(−a,0)，F2(a,0)(a>0)，
曲线C：(x2+y2)2=9(x2−y2)与x轴正半轴交于点P(3,0)，
由题意知|PF1||PF2|=(3+a)(3−a)=9−a2=a2，
于是a2=92，a=3 22，
因比F1(−3 22,0),F2(3 22,0)；
(2)假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OA⊥OB，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为y=k1x，直线OB的方程为y=k2x，
将直线OA的方程与曲线C联立，得(1+k12)2x4=9x2(1−k12)，
即x2=9(1−k12)(1+k12)2>0．
解得−1 因此k1k2=−1不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O．

19.解：(1)由通项公式得，
e1=(1+11)1=2；e2=(1+12)2=94；e3=(1+13)3=6427．
(2)由二项式定理得，en=(1+1n)n=k=0nCnk1nk
=1+k=1nn(n−1)⋯(n−k+1)k!⋅1nk
=1+k=1n1k!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)
<1+k=1n1k!(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−k−1n+1)+1(n+1)!(1−1n+1)(1−2n+1)⋯(1−nn+1)
=1+k=1n+1(n+1)n(n−1)⋯(n+1−k+1)k!⋅1(n+1)k
=(1+1n+1)n+1=en+1，
所以{en}是N∗上的单调递增数列，
因为e1=2，则en≥2；
又en=1+k=1n1k!(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)
<1+k=1n1k!=1+1+k=2n1k!
<1+1+k=2n1(k−1)k
=2+k=2n(1k−1−1k)
=2+(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)
=3−1n<3，
综上可知，2≤en<3． A
B
C
D
E
电信
4
3
8
6
12
网通
5
7
9
4
3
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
位置
类型
糟糕
良好
合计
电信
3
2
5
网通
2
3
5
合计
5
5
10
X
1
2
3
P
310
35
110