浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

这是一份浙江省杭州市西湖区弘益中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（12月份），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图为以科学家名字命名的图形，其中轴对称图形有（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线D．皮亚杰曲线
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．x轴B．y轴C．第一象限D．第四象限
3．如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．9
5．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知命题“关于x的不等式组的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
9．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出，根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ）
A．以上，以下B．以上，以下
C．以上，以下D．以上，以下
10．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段OA为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有（ ）
①；
②的度数随着点C位置的变化而改变；
③点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是；
④当点C的坐标为时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为．
A．③④B．①③④C．①③D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．根据“x的4倍与5的差小于8”列出的不等式是______．
12．在中，，则______．
13．一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度h（米）随飞行时间t（秒）的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0~5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为______米．
14．已知等腰，的相邻外角是，则这个三角形的顶角为______．
15．如图，以点为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过四点，它们依次是，则______（填“>”、“=”或“<”）．
16．如图，已知等边的边长为4，点P是BC边上一点，，则______，若点Q是AC边上一点，，则______．
三、解答题：本题共6小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题6分）
如图所示，在平面直角坐标系中，已知．
（1）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
（2）在平面直角坐标系中画出，求的面积．
18．（本小题6分）
如图，点E，F在BC上，与DE交于点O．
（1）试说明：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
19．（本小题6分）
已知．
（1）比较与的大小，并说明理由；
（2）若，求a的取值范围．
20．（本小题8分）
在平面直角坐标系中，已知点是任意实数．
（1）当时，点P在第几象限？
（2）当点P在第三象限时，求m的取值范围．
（3）判断命题“点P不可能在第一象限”的真假，并说明理由．
21．（本小题8分）
等腰三角形ABC中，于点D，，
（1）求的度数；
（2）如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连接DF，求证：．
22．（本小题10分）
同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．【答案】A
【解析】解：∵点，
∴点A在x轴的负半轴上，
故选：A．
根据x轴上的所有点的纵坐标为0，确定点A的位置即可．
本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征。
3．【答案】D
【解析】解：该数轴表示的不等式的解集为．
故选：D．
根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
4．【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于，而小于，
故第三边的长度，这个三角形的第三边长可以是5．
故选：C．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
5．【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴是锐角三角形，
故A符合题意：
∵，
∴，
∴是直角三角形，
故B不符合题意；
∵，
，
∴是直角三角形，
故C不符合题意；
∵，
，符合勾股定理逆定理。
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
根据三角形内角和定理可判断选项A、B是否是直角三角形：根据勾股定理逆定理可判断选项C、D是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，掌握勾股定理逆定理、三角形内角和是180°是解题的关键。
6．【答案】B
【解析】解：A、∵，∴，∴，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，∴，故此选项符合题意；
C、∵，∴，故此选项不符合题意；
D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质进行分析判断。
本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．【答案】A
【解析】解：∵AP是BC边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：，
故选：A．
根据垂线段最短即可判断。
本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．【答案】A
【解析】解：解不等式
可得：，
∵关于x的不等式无解，
所以：，
解得：，
故这个命题是假命题的反例是，
故选：A．
根据不等式组无解得出k的取值范围，进而解答即可．
此题考查命题问题，关键是根据不等式组无解得出k的取值范围．
9．【答案】C
【解析】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，
所以5颗玻璃球的体积最少是：，
一颗玻璃球的体积最少是：，
因此推得这样一颗玻璃球的体积在以上，以下．
故选：C．
要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．
此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，
进而得解．
10．【答案】C
【解析】解：①∵是等边三角形，
，
又∵是等边三角形，
，
，
即，
在和中，，
；①正确；
②∵，
，
又，
，
的度数不会随着点C位置的变化而改变；②错误；
③，
，
，
，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为；③正确：
④∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
过点B作轴于F，过点D作轴于H，
，
∴
∴四边形ABDC的面积
，故④错误；
故选：C．
（1）易证，即可证明，即可解题；
（2）根据（1）容易得到，可得，可得的度数不会随着点C位置的变化而
改变：即可证明该结论错误；
（3）根据，根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，从而
得到E的坐标是固定的．
（4）根据，可得四边形ABDC的面积，即可解题．
本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、面积相等的性质，等边三角形的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证是解题的关键．
11．【答案】
【解析】解：“x的4倍与5的差小于8”列出的不等式是．
故答案为：．
x的4倍与5的差，表示为，再根据小于8，从而可得出不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式
12．【答案】10
【解析】解：在中，，
，
故答案为：10．
根据直角三角形30°角的性质直接得到答案．
此题考查了直角三角形30°角的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
13．【答案】8
【解析】解：观察图象，当时，最高点，
当或，最低点，
∴最高高度与最低高度的差为，
故答案为：8．
根据函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即可得出答案．
本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点，最低点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度，最低高度是解题的关键．
14．【答案】50°或80°
【解析】解：
∵的相邻外角是130°，
，
当为顶角时，则顶角为50°，
当为底角时，则顶角为，
故答案为：50°或80°
分为顶角和底角两种情况，再结合三角形内角和定理可求得顶角．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
15．【答案】=
【解析】解：连接BC，
∵，
，
∴是等腰直角三角形，
，
又∵，
同理可得，
，
则在中，有，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：=．
在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．
本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．
16．【答案】 1或3
【解析】解：连接AP，过A作于D，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
过B作于H，
当Q在线段CH之间时，
连接BQ．
，
，
，
∴，
当在线段CH之间时，
同理可求
，
综上：或1，
故答案为：．
连接AP，过A作于D，根据等边三角形的性质得到，
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．【答案】
【解析】解：（1）∵．点D与点C关于y轴对称，
∴点D的坐标为．
故答案为：；
（2）如图，
．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可；
（2）在坐标系内描出各点，再利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
本题考查的是关于y轴对称的点的坐标，三角形的面积，熟知关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
18．【答案】解：（1），
，
∵在和中，，
；
（2）∵，
．
，即是等腰三角形．
【解析】（1）利用等式的性质可以证得，则依据AAS即可证得三角形全等；
（2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得．
本题考查了全等三角形的判定于性质，以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键．
19．【答案】解：（1），
，
；
（2），
．
【解析】（1）根据不等式的性质判断即可；
（2）根据不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
20．【答案】解：（1）当时，P点坐标为，
∴P点在第二象限；
（2）∵点在第三象限，
且，
解得，
∴m的范围为；
（3）“点P不可能在第一象限”为真命题．
理由如下：
无解，
∴点P不可能在第一象限．
【解析】（1）根据第二象限内点的坐标特征进行判断；
（2）根据各象限或坐标轴上点的坐标特征得到且，然后解不等式组即可；
（3）根据第一象限内点的坐标特征得到，然后利用此不等式组无解可判断命题为真命题．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．掌握坐标平面内的点的坐标特征是解决问题的关键．
21．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
∴设，则，
，
解得：，
；
（2）证明：连接BF，
∵EF垂直平分AB，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到，设，则，根据三角形的内
角和即可得到结论；
（2）连接BF，根据垂直平分线的性质得到，求得，得到，根据等腰
三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．【答案】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
（2）解：设购买a个篮球，则购买个足球．
，
．
∵a为正整数，
∴最多可以购买30个篮球。
∴这所学校最多可以购买30个篮球。
【解析】（1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价：
（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．
考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．