初中人教版（2024）1.2.2 数轴随堂练习题

这是一份初中人教版（2024）1.2.2 数轴随堂练习题，共47页。试卷主要包含了 不重；， 按同一标准划分；， 逐级分类，5，，5时，求点Q到原点O的距离；等内容，欢迎下载使用。

数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
典例分析

【典例1】如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC=54．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN=4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据A点，B点对应的数，得到AB=9，根据AC与BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C点对应的数是8−4=4；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是−1+2t， N表示的数是8−t，得到8−t−−1+2t=4，解得t=53；当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5， N表示的数是8−t，得到2t−5−8−t=4，解得t=173；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，解得t=−13，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，得到3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，解得t=73；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，13−3t−4=28−t−13−3t，解得t=197；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t， M表示的数是4，得到4−13−3t=28−t−13−3t，解得t=1，根据2.5【解题过程】
解：（1）∵A点对应的数是−1，B点对应的数是8，
∴AB=8+1=9，
∵ACBC=54，
∴AC=5，BC=4，
∴C点对应的数是8−BC=8−4=4，
答：C点对应的数是4；
（2）①∵运动t秒时，MN=4
当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是−1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8−t，
∴8−t−−1+2t=4，
解得t=53，
当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5，N在AC上运动，N表示的数是8−t，
∴2t−5−8−t=4，
解得t=173，
综上所述，t的值为53或173；
②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，
∵PM=2PN
∴4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，
解得t=−13（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在t=1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，
∴3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，
解得t=73，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过7−13+1=1.5秒，即t=2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，
∴13−3t−4=28−t−13−3t，
解得t=197，
当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t，M在C点处，M表示的数是4，
次情况2.5∴4−13−3t=28−t−13−3t，
解得t=1，不合，
∴这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM=2PN，
∴−1+2t−5=28−t，
解得t=5.5，
综上所述，t的值为73，或197，或5.5．
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1．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动3cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______．
（2）把点A到点C的距离记为AC，则AB=_____cm，AC=______cm；
（3）若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC=3cm？
2．（23-24七年级上·安徽六安·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t=0.5时，求点Q到原点O的距离；
（2）当t=2.5时，求点Q到原点O的距离；
（3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离．
3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是−3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点．
（1）求出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；
（3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数．
4．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c−10=0，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

（1）a的值为 ，b−c的值为 ；
（2）动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．
①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；
②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．
5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足a+20+b+82=0．

（1）求A、B两点相距多少个单位长度？
（2）若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的13，求C点表示的数；
（3）点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．
6．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足a−12+b+202=0，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．
（1）求a、b的值；
（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______；
（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值．
7．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，1个单位长度表示1cm，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动5cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点．

（1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ；
（2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒3cm和每秒6cm，设移动时间为tt>0秒；
① 当PQ=7时，求t的值；
② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究QC−43AM的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
8．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2 (单位长度)，慢车长CD=4 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式−8x2+6x+16的二次项系数和常数项.

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距8个单位长度?
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头AC的距离和加上到两列火车尾B,D的距离和是一个不变的值(即PA+PC+PB+PD为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由.
9．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为AB，记AB=a−b，且a，b满足a−1+b+22=0．
（1）a= ；b= ；线段AB的长= ；
（2）点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC?若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为AC，点A和点B之间的距离表示为AB，那么AB−AC的值是否随着时间t的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC的值．
10．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，+8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC=+8−−18=26，或AC=−18−+8=26．根据阅读完成下列问题：

（1）填空：AB= ，BC= ．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：B到C的距离与A到B的距离的差（即BC−AB）的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0≤t≤19），直接写出P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）．
11．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
（1）平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示−1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是−17、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点M'落在点N的右边，并且线段M'N的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
12．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：

（1）勤奋小组：在图所示的数轴上，把数−2，13，4，−12，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来．
（2）励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示−2的点与表示______的点重合；
②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．
（3）攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数−2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒．
①当t=3时，求甲、乙两个小球之间的距离；
②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．
13．（23-24七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：

【问题解决】
（1）若折叠后数1对应的点与数−1对应的点重合，则此时数−3对应的点与数________对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数2对应的点与数−4对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．
①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度；
②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值．
14．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作AB=a，根据定义完成下列各题．
两个长方形ABCD和EFGH的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．
（1）求数轴上点H、A所表示的数？
（2）若长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且AM=12AD，其中点N在E、H两点之间，且EN=15EH，设运动时间为x秒．
①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）．
②求MN（用含x的式子表示，结果需化简）．
（3）若长方形ABCD以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为tt>0秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S=12时，求此时t的值．
15．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b−a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且AD=5，则点D表示的数为_________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：AC−AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
16．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为AD=45．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
探索3 ：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间．
17．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b,a,b满足a−20+b+62=0，点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段AB的长为______；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=3BC，则点C在数轴上表示的数为______；
（3）在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动；木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动；且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动．设点P移动的时间为t秒，当t为多少时，P点恰好距离木棒2个单位长度？
18．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．

（1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：−1，+2，−4，−2，+3，−7；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距8π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
专题1.2 数轴中的动点问题
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
典例分析

【典例1】如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC=54．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN=4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）根据A点，B点对应的数，得到AB=9，根据AC与BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C点对应的数是8−4=4；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是−1+2t， N表示的数是8−t，得到8−t−−1+2t=4，解得t=53；当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5， N表示的数是8−t，得到2t−5−8−t=4，解得t=173；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，解得t=−13，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，得到3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，解得t=73；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，13−3t−4=28−t−13−3t，解得t=197；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t， M表示的数是4，得到4−13−3t=28−t−13−3t，解得t=1，根据2.5【解题过程】
解：（1）∵A点对应的数是−1，B点对应的数是8，
∴AB=8+1=9，
∵ACBC=54，
∴AC=5，BC=4，
∴C点对应的数是8−BC=8−4=4，
答：C点对应的数是4；
（2）①∵运动t秒时，MN=4
当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是−1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8−t，
∴8−t−−1+2t=4，
解得t=53，
当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5，N在AC上运动，N表示的数是8−t，
∴2t−5−8−t=4，
解得t=173，
综上所述，t的值为53或173；
②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，
∵PM=2PN
∴4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，
解得t=−13（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在t=1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，
∴3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，
解得t=73，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过7−13+1=1.5秒，即t=2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，
∴13−3t−4=28−t−13−3t，
解得t=197，
当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t，M在C点处，M表示的数是4，
次情况2.5∴4−13−3t=28−t−13−3t，
解得t=1，不合，
∴这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM=2PN，
∴−1+2t−5=28−t，
解得t=5.5，
综上所述，t的值为73，或197，或5.5．
学霸必刷
1．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动3cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______．
（2）把点A到点C的距离记为AC，则AB=_____cm，AC=______cm；
（3）若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC=3cm？
【思路点拨】
本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题．
（1）根据题意利用观察即可得到本题答案；
（2）根据题意利用两点间距离即可得到；
（3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案．
【解题过程】
（1）解：由题意得：A点对应的数为−4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，
点A，B，C在数轴上表示如图：
A表示的数为−4，B表示的数为1，C表示的数为4，
故答案为：−4，1，4；
（2）解：∵A点对应的数为−4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，
∴AB=1−(−4)=5cm，AC=4−(−4)=8cm，
故答案为：5，8；
（3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得：8−x=3，
解得：x=5；
②当点A在点C的右侧时，
设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得：x−8=3，
解得：x=11，
综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm．
2．（23-24七年级上·安徽六安·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t=0.5时，求点Q到原点O的距离；
（2）当t=2.5时，求点Q到原点O的距离；
（3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离．
【思路点拨】
本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．
（1）先计算出点Q运动的路程，即可解答；
（2）先计算出点Q的运动路程，即可解答；
（3）①点Q向左运动4个单位长度，②点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，③点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度．
【解题过程】
（1）解：当t=0.5时，4t=4×0.5=6，
8−2=6，
当t=0.5时，点Q到原点O的距离为6．
（2）解：当t=2.5时，点Q运动的距离为4t=4×2.5=10，
10−8=2，
∴点Q到原点O的距离为2；
（3）解：点Q到原点O的距离为4时，分三种情况讨论：
①点Q向左运动4个单位长度，此时运动时间：t=4÷4=1（秒），
P点表示的数是−2，Q点表示的数是4；
此时P点到Q点之间的距离是6．
②点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，
则点Q运动的距离为：8+4=12，运动时间：t=12÷4=3（秒）
P点表示的数是−6，Q点表示的数是4；
此时P点到Q点之间的距离是10．
③点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度，
则点Q运动的距离为：8+12=20，运动时间：t=20÷4=5（秒）
P点表示的数是−10，Q点表示的数是12；
此时P点到Q点之间的距离是22．
综上，点P到点Q的距离为6或10或22．
3．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是−3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点．
（1）求出点N所对应的数；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；
（3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数．
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）分两种情况：①点P在点M的左边，；②点P在点N的右边，进行讨论即可求解；
（3）分两种情况：①点P在点Q的左边，②点P在点Q的右边，进行讨论即可求解；
本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．
【解题过程】
（1）−3+4=1，故点N所对应的数是1；
（2）5−4÷2=0.5，
①点P在点M的左边，
−3−0.5=−3.5，
②点P在点N的右边，
1+0.5=1.5，
故点P所对应的数是−3.5或1.5；
（3）①点P在点Q的左边，
4+2×5−2÷3−2=12÷1=12（秒），
点P对应的数是−3−5×2−12×2=−37，点Q对应的数是−37+2=−35；
②点P在点Q的右边，
4+2×5+2÷3−2=16÷1=16（秒），
点P对应的数是−3−5×2−16×2=−45，点Q对应的数是−45−2=−47，
综上可知：点P对应的数是−37，点Q对应的数是−35或点P对应的数是−45，点Q对应的数是−47．
4．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c−10=0，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

（1）a的值为 ，b−c的值为 ；
（2）动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．
①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；
②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．
【思路点拨】
（1）根据A、B两点间的距离为12且A、B两点表示的数互为相反数即可求a，b； 再根据绝对值为非负数求出c，从而得出结论；
（2）①根据相遇时Q走的路程是4，根据速度×时间=路程列方程求出m的值；②根据点P，Q的路程之差的绝对值等于2列出方程，解方程即可.
【解题过程】
（1）∵|c−10|=0,
∴c=10,
∵AB=12, a,b互为相反数,
∴a=−6,b=6,
∴b−c=6−10=−4,
故答案为: −6，−4；
（2）①∵点P的速度是每秒1个单位长度，点P,Q在点B处相遇, AB=12,
∴点P从点A运动到点B所用时间为12秒，
∵BC=4,
∴12m=4,
解得m=13;
②设运动时间为t秒，
根据题意：|16−t−2t|=2,
解得t=6或 143,
∴x=a+t=−6+6=0或x=a+t=−6+143=−43,
∴x=0或−43.
5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足a+20+b+82=0．

（1）求A、B两点相距多少个单位长度？
（2）若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的13，求C点表示的数；
（3）点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．
【思路点拨】
（1）先由绝对值和平方数的非负性求出a和b，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式即可求解；
（2）根据点的位置分情况讨论即可求解；
（3）点P向左移1个单位，再向右移动2个单位，依次规律，列出算式即可求解．
【解题过程】
（1）因为a−20+b−82=0，a−20≥0，b−82≥0，
所以a−20=0，b−82=0，
所以a=−20，b=−8，
−2−−20=12，
答：A、B两点相距12个单位长度；
（2）①若点C在B点的右侧，则CB=13CA=13CB+AB．
所以CB=12AB=6．
所以点C表示的数为−8+6=−2．
②若C点在A，B点之间，则CB=13CA=13AB−CB．
所以CB=14AB=3．
所以点C表示的数为−8−3=−11．
综上，C点表示的数为−2或−11．
（3）−20−1+2−3+4−5+6−7+⋯−2021+2022−2023=−20+1011−2023=−1032，
答：P点表示的数为−1032．
6．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足a−12+b+202=0，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．
（1）求a、b的值；
（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______；
（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值．
【思路点拨】
本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，
（1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可；
（2）根据点的运动得出代数式即可；
（3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可．
解题的关键是要运用分类讨论的思想．
【解题过程】
（1）解： ∵|a−12|+b+202=0，|a−12|≥0，b+202≥0，
∴a−12=0，b+20=0，
∴a=12，b=−20；
（2）解：由题意可知，E点对应的数为：12−6t，
F对应的数为−20+2t=2t−20，
故答案为：12−6t，2t−20；
（3）解：在相遇前：t=20−(−12)−2÷(2+6)=154，
设t'时E、F相遇，
即12−6t'=2t'−20；
解得t'=4，
①当E点在F点左侧时，且F点没动时，
由题意可得，6(t−4)=2，
解得：t=133，
②当E点在F点左侧时，且F点已动时，
6×(t−4)−2×5×(t−4−4)=2，
解得：t=272，
③当点E在点F右侧时，
由题意2×5×(t−4−4)−6×(t−4)=2，
解得：t=292，
综上所述，符合条件的t的值为：154,133，272，292．
7．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，1个单位长度表示1cm，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动5cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点．

（1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ；
（2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒3cm和每秒6cm，设移动时间为tt>0秒；
① 当PQ=7时，求t的值；
② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究QC−43AM的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可；
（2）①由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，得到PQ=3t−10，由PQ=7得到3t−10=7，解方程即可得到答案；
②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是−1−92t，QC=6t，AM=−1−(−1−92t)=92t，则QC−43AM=6t−43×9t2=0，即可证明结论．
【解题过程】
（1）解：由数轴可知，点A表示的数为−1，点B表示的数为−6，点C表示的数为4；
故答案为：−1，−6，4
（2）①由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，
∴PQ=−6−3t−(4−6t)=3t−10，
∵PQ=7，
∴3t−10=7，
∴t=1或t=173，
②不会随着t的变化而改变，理由如下：
由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，点C表示的数是4，点A表示的数是−1，
∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等，
∴点M表示的数是−6−3t+(4−6t)2=−1−92t，
∵QC=6t，AM=−1−(−1−92t)=92t
∴QC−43AM=6t−43×9t2=0，
即QC−43AM为定值．
8．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2 (单位长度)，慢车长CD=4 (单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式−8x2+6x+16的二次项系数和常数项.

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距8个单位长度?
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头AC的距离和加上到两列火车尾B,D的距离和是一个不变的值(即PA+PC+PB+PD为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由.
【思路点拨】
（1）根据题意，得到a,b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式，即可解答；
（2）分类讨论，即相遇之前，相距8个单位；相遇之后，相距8个单位，分情况讨论即可解答；
（3）根据PA+PB=AB，P在CD之间时，PA+PB+PC+PD是一个定值，求出这个定值和此时的时间即可。
【解题过程】
（1）解：由题可知： a=−8,b=16
所以此刻快车头A与慢车头C之间的相距
|−8|+16=24（单位长度）
答：快车头A与慢车头C之间的相距个单位长度
（2）解：本题有两种可能，
第一种，相遇之前，相距8个单位
则列出算式：(24−8)÷(6+2)=2s
第二种，相遇之后，相距8个单位
则列出算式：(24+8)÷(6+2)=4s
答：在行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位
（3）解：正确，理由如下：
因为人坐在快车上，所以， PA+PB=AB=2单位长度
当P在CD之间时，PC+PD=4（单位长度），此时t=4÷(6+2)=0.5s
此时，PA+PB+PC+PD=AB+CD=6单位长度
答：正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度
9．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为AB，记AB=a−b，且a，b满足a−1+b+22=0．
（1）a= ；b= ；线段AB的长= ；
（2）点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC?若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为AC，点A和点B之间的距离表示为AB，那么AB−AC的值是否随着时间t的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC的值．
【思路点拨】
（1）根据绝对值及平方的非负性，求出a，b的值，从而求出线段AB的长；
（2）设P对应的数为y，再由PA+PB=PC，可得出点P对应的数；
（3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，AC的变化情况，即可确定AB−AC的值．
【解题过程】
（1）∵a−1+b+22=0，
∴a−1=0， b+2=0，
解得：a=1，b=−2，
∴线段AB的长为：1−−2=3，
故答案为：1，−2，3；
（2）由（1）得：b=−2，
∴c=2，
设P对应的数为y，
由图知：
① P在A右侧时，不可能存在P点；
② P在B左侧时，1−y−2−y=2−y，
解得: y=−3，
③当P在A、B中间时，3=2−y，
解得: y=−1，
故点P对应的数是−3或−1；
（3）AB−AC的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：
t秒钟后，A点位置为：1+4t，
∴B点的位置为: −2−t，C点的位置为: 2+9t，
∴AB=1+4t−−2−t=5t+3 AC=2+9t−1+4t=5t+1，
∴AB–AC=5t+3−5t+1=2，
∴AB−AC的值不随着时间t的变化而变化，值为2．
10．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，+8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC=+8−−18=26，或AC=−18−+8=26．根据阅读完成下列问题：

（1）填空：AB= ，BC= ．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：B到C的距离与A到B的距离的差（即BC−AB）的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0≤t≤19），直接写出P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边；
本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【解题过程】
（1）AB=−18−−8=10，BC=−8−8=16，
故答案为：10，16；
（2）不变，理由：
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，
所以：BC=8+9t−−8＋4t=16+5t，AB=−8+4t−−18−t=10+5t，
∵t≥0，
∴16+5t>0，10+5t>0，
∴16+5t=16+5t，10+5t=10+5t，
所以：BC−AB=16+5t−10＋5t=6，
所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6，
当点Q追上点P时，−18+t−−18+2t−6=0，
解得：t=12，
①当0所以：PQ=t，
②当6所以：PQ=−18+t−−18+2t−6=−t+12，
③当12所以：PQ=−18+2t−6−−18+t=t−12，
综上所述，P、Q两点间的距离为t或−t+12或t−12．
11．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
（1）平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示−1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是−17、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点M'落在点N的右边，并且线段M'N的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
【思路点拨】
本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．
（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．
（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．
【解题过程】
（1）解：根据机器人的运动方式可知，
它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：−1；
它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；
它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：−2；
它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；
它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：−3；
它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；
…，
由此可见，它跳完第2n次时，落在数轴上的点表示的数是n，
它跳完第2n−1次时，落在数轴上的点表示的数是−n；
当2n−1=5，即n=3 时，
−n=−3，
所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是−3；
当2n=2024，即n=1012时，
可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；
故答案为：−3 ，1012．
（2）①由表示−1的点与表示3的点重合可知，
−1+32=1，
则折点所表示的数为1．
因为5−1=1−−3，
所以表示5的点与表示−3的点重合．
故答案为：−3．
②因为折痕与①的折痕相同，
所以这次折叠的折点所表示的数也为1．
又因为2024÷2=1012，1+1012=1013，1−1012=−1011，
所以点D表示的数为−1011，点E表示的数为1013．
故答案为：−1011，1013．
③由折叠可知，
MP=M'P，
因为点M、N表示的数分别是−17、8，
所以MN=8−−17=25 ．
又因为点M'落在点N的右边，并且线段M'N的长度为3，
所以MM'=25+3=28．
因为28÷2=14，−17+14=−3，
所以点P表示的数为−3．
故答案为：−3．
12．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：

（1）勤奋小组：在图所示的数轴上，把数−2，13，4，−12，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来．
（2）励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示−2的点与表示______的点重合；
②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．
（3）攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数−2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒．
①当t=3时，求甲、乙两个小球之间的距离；
②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．
【思路点拨】
（1）根据数轴的点的表示解答即可；
（2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可；
（3）①当t=3时，小球甲在的位置表示的数为−1，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可．
【解题过程】
（1）如图所示．

用“＜”将它们连接起来为−2<−12<13<2.5<4．
（2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为3+12=2，
2+2−−2=2+4=6，
所以表示−2的点与表示6的点重合，
故答案为：6，
设点A表示的数为x，则点B表示的数为x+7，
可得x+x+72=2，
解得x=−1.5：
故答案为：−1.5；
（3）①当t=3时，小球甲在的位置表示的数为−1，小球乙在的位置表示的数为2，
所以甲、乙两个小球之间的距离为2−−1=2+1=3．
②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为4−−2=6．
当0≤t≤2时，甲、乙两个小球之间的距离为6−t−2t=6−3t；
当t>2时，甲、乙两个小球之间的距离为t+2t−6=3t−6．
所以甲、乙两个小球之间的距离为6−3t．
13．（23-24七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：

【问题解决】
（1）若折叠后数1对应的点与数−1对应的点重合，则此时数−3对应的点与数________对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数2对应的点与数−4对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．
①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度；
②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值．
【思路点拨】
（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；
（2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；
（3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解；
（4）①根据题意，BP=2t,点P对应的数为4.5+2t，用代数式表示PA，列方程求解即可；
②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为4.5−2t，用代数式表示PA，列方程求解即可．
本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键．
【解题过程】
解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数−3对应的点与数3对应的点重合；
故答案为：3
（2）因为数2对应的点与数−4对应的点重合，
所以，对称中心是数−1对应的点，
∴−1−0−(−1)=−2，
此时数0对应的点与数−2对应的点重合；
故答案为：0
（3）由（2）可知，对称中心是数−1对应的点，
数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），
设点A对应的数为x，点B对应的数为11+x，
∴−1−x−(−1)=11+x，
解得：x=−6.5，
则11+x=4.5，
所以，点A对应的数为−6.5，点B对应的数为4.5，
故答案为：−6.5，4.5；
（4）①根据题意，BP=2t,
点P对应的数为4.5+2t，
PA=4.5+2t−(−6.5)=15，
解得：t=2，
答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度；
②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时，
此时，点P在点A的左侧，
点P对应的数为4.5−2t，
PA=−6.5−(4.5−2t)=15，
解得：t=13，
答：t=13时，P、A两点之间的距离为15个单位长度．
14．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作AB=a，根据定义完成下列各题．
两个长方形ABCD和EFGH的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．
（1）求数轴上点H、A所表示的数？
（2）若长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且AM=12AD，其中点N在E、H两点之间，且EN=15EH，设运动时间为x秒．
①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）．
②求MN（用含x的式子表示，结果需化简）．
（3）若长方形ABCD以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为tt>0秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S=12时，求此时t的值．
【思路点拨】
（1）根据ED=14，OE=5，EH=10，AD=6，推出OH=15， OD=9，得到OA=15，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是−15；
（2）①根据长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， AM=12AD=3， EN=15EH=2，得到x秒后，M点表示的数：4x−12， N点表示的数：7−3x；②当M点在N点的左侧时，MN=19−7x，当点M在N点的右侧时，MN=7x−19；
（3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形ABCD运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形ABCD运动的时间为13秒．
【解题过程】
（1）由题意得：ED=14，OE=5，EH=10，AD=6，
∴OH=OE+EH=5+10=15，∴OD=ED−OE=14−5=9，
∴OA=OD+AD=9+6=15，
∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是−15；
（2）①∵AD=6，EH=10，
∴AM=12AD=3， EN=15EH=2，
∵OA=15，OE=5，
∴OM=OA−AM=12，ON=OE+EN=7，
∵长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，
∴M点表示的数为：4x−12， N点表示的数为：7−3x；
故答案为：4x−12，7−3x；
②当M点在N点的左侧时，MN=7−3x−4x−12=19−7x，
当点M在N点的右侧时，MN=4x−12−7−3x=7x−19；
（3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，
∴重叠部分的长为4个单位长度，
当点D运动到E点右边4个单位时，
t=14+4÷2=9；
当点A运动到H点左边4个单位时，
t=6+14+6÷2=13，
综上，长方形ABCD运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12．
15．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b−a．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且AD=5，则点D表示的数为_________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：AC−AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
（1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形；
（2）根据距离公式得出AC的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为−2+x；
（4）表示出AC和AB，再相减即可得出结论．
【解题过程】
（1）A：0−2=−2，即a=−1，A表示−2，
B：−2−3=−5，即b=−5，B表示−5，
C：−5+9=4，即c=4，C表示4，
A、B、C三点的位置如图所示：
（2）CA=4−(−2)=4+2=6（cm）；
设D表示的数为a，
∵ AD=5，
∴ −2−a=5，解得：a=−7或a=3，
∴点D表示的数为−7或3；
故答案为：6；−7或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为−2+x；
故答案为： −2+x
（4）AC−AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：平移后，AC=(4+4t)−(−2+t)=(6+3t)cm ，
AB=(−2+t)−(−5−2t)=(3+3t)cm，
∴ AC−AB=(6+3t)−(3+3t)=3cm，
∴ AC−AB的值恒为3，不会随着t的变化而变化．
16．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为AD=45．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点P从点A运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
探索3 ：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16时，求动点P运动的时间．
【思路点拨】
本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识．
探索1：根据时间=路程÷速度，即可求解；
探索2：由探索1可得P在BC段运动时间为：(t−16.5)秒，进而得到BP=4t−66，结合点B表示12，即可求解；
探索3：分两种情况：①当P在BO上时，②当P在CD上时，根据线段的和差以及时间=路程÷速度，即可求解．
【解题过程】
解：探索1：∵点A表示−9，点B表示12，
∴ OA=9，OB=12，
∵ P在AO段初始速度为2个单位长度/秒，P在OB段速度为初始速度的一半，
∴ P在OB段速度为1个单位长度/秒，
∴ P从点A运动至点B的时间为：92+121=16.5（秒）；
探索2：∵ P的初始速度为2个单位长度/秒，P在BC段速度为初始速度的两倍，
∴ P在BC段速度为4个单位长度/秒，
由探索1可得：P在BC段运动时间为：(t−16.5)秒，
∴ BP=4(t−16.5)=4t−66，
∵点B表示12，
∴ P表示的数为：12+(4t−66)=4t−54；
探索3：设t秒后PB+PC=16，
①当P在BO上时，
∵ PB+PC=16，
∴ PB+(PB+BC)=16，
∵ BC=12，
∴ PB=2，
∴ PO=OB−BP=12−2=10，
∵ OA=9，
∴ t=92+101=4.5+10=14.5（秒）；
②当P在CD上时，
∵ PB+PC=16，
∴ PC+(PC+BC)=16，
∵ BC=12，
∴ PC=2，
∴ t=92+121+24−124+22=4.5+12+3+1=20.5（秒）．
综上：动点P运动的时间为14.5秒或20.5秒．
17．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b,a,b满足a−20+b+62=0，点O是数轴原点．
（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段AB的长为______；
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=3BC，则点C在数轴上表示的数为______；
（3）在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动；木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动；且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动．设点P移动的时间为t秒，当t为多少时，P点恰好距离木棒2个单位长度？
【思路点拨】
本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
（1）根据绝对值和二次方的非负性求出a、b的值即可得到答案；
（2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可；
（3）分情况进行讨论列式计算即可．
【解题过程】
（1）解：∵ a−20+b+62=0，
∴a=20,b=−6，
∴点A表示的数为20，点B表示的数为−6，
线段AB的长为20−(−6)=26，
故答案为：20,−6,26；
（2）解：设点C在数轴上表示的数为x，
①当点C在AB中间，AC=20−x，BC=x−(−6)=x+6，
∵AC=3BC，
∴20−x=3(x+6)，
解得x=12；
②当点C在B点左边，AC=20−x，BC=−6−x，
∵AC=3BC，
∴20−x=3(−x−6)，
解得x=−19；
③当点C在A点右边，不符合题意；
故答案为：12或−19．
（3）解：①当点P位于木棒左侧时，3t+2=6×2−6+2t，
解得t=4s，
②当点P位于木棒左侧时，3t=6+2t+6+2，
解得t=14s，
∵当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，
∴0故t=14s舍去，
故点P移动的时间为4秒．
18．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位．

（1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______；
（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：−1，+2，−4，−2，+3，−7；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π）
（3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距8π，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数．
【思路点拨】
（1）根据滚动一周长度为圆的周长求解即可得到答案；
（2）根据路程是绝对值之和求解即可得到答案；
（3）分同左，同右，一左一右四种情况讨论，结合重合的点之间相距8π列式求解即可得到答案；
【解题过程】
（1）解：若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是2π⋅2=4π，
故答案为：4π；
（2）解：−1++2+−4+−2++3+−7=19，
19×π=19π，
答：当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有19π；
（3）解：设时间为t秒，
分四种情况讨论：
①当两圆同向右滚动：
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数为：πt，
2πt−πt=8π，
2t−t=8，
t=8，
2πt=16π，πt=8π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为16π、8π
②当两圆同向左滚动：
由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：−2πt，
小圆与数轴重合的点所表示的数：−πt，
−πt−−2πt=8π，
−t+2t=8，
t=8，
−2πt=−16π，−πt=−8π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为−16π、−8π
③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：
同理得：2πt−−πt=8π，
3t=8，
t=83，
2πt=163π，−πt=−83π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为163π、−83π，
④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：
同理得：πt−−2πt=8π，
t=83，
πt=83π，−2πt=−163π，
则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为−163π、83π；
综上所述：①当两圆同向右滚动：16π，8π；②当两圆同向左滚动：−16π，−8π；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：163π、−83π；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：−163π、83π．