北师大版2024-2025学年九年级数学上册专题1.5特殊平行四边形中的定值、最值、中点四边形问题(50题)专题特训（学生版+教师版）

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专题1.5 特殊平行四边形中的定值、最值、中点四边形问题（50题）【北师大版】 【题型1 特殊平行四边形中的定值问题】1．（23-24九年级·山东菏泽·期中）如图所示，矩形ABCD中，AB=30，AD=40，P为BC上的一动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N，试问当P点在BC上运动时，PM+PN的值是否发生变化？若不变，请求出定值．2．（23-24九年级·浙江台州·期中）已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E在边BC上，作∠EAF=60°，与CD相交于点F．AE，AF与对角线BD分别相交于点H，G．(1)如图1，当点E是BC中点时，BEAB= ______；(2)如图2．①求证：CF=BE；②EHAH+FGAG的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．3．（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD=m2+1，AE=2m，DE=m2−1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN=12BF．(1)求证：BN⊥AF；(2)随着点F的运动，试猜想AB−AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．4．（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，点P是线段AB上一动点，AB=8，以PA，PB为对角线分别作出菱形ADPC和菱形PFBE且∠ACP=∠BEP=60°．(1)求证：DE长度为定值．(2)连接CE，若AP=2时，求△PCE的面积．(3)若再连接DF，分别取六边形ADFBEC各边中点，当点P从点A运动到点B时，各边中点运动路径的总长度为________．5．（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）求证：CD2+3DE2是定值．6．（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E，P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．(2)求四边形ABDE的周长和面积．(3)记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．7．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB=a，点P是BC上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转90°，得到PE．【初步感知】（1）在点P的运动过程中，试探究∠PAB与∠CPE的数量关系．【深入研究】（2）连接CE，在点P的运动过程中，试探究CEBP的值．【拓展延伸】（3）AE与CD相交于点F，在点P的运动过程中，试探究△PCF的周长是否为定值，若是，求出△PCF的周长；若不是，请说明理由．8．（23-24九年级·山东济南·期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD上的两个动点，E点从点B向点C运动，F点从点D向点C运动，设点E、F运动的路径长分别是a和b．(1)猜想：如图①，当a=b时，写出线段AE与线段AF的数量关系；(2)证明：如图②，连接AC，若a+b=6，请证明△ABE≌△ACF；(3)应用：在（2）的条件下，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值．9．（23-24九年级·广东广州·期中）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且G点在矩形ABCD内部，延长BG交DC于点F．(1)求证：GF＝DF；(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的长；(3)若DC＝n•DF，那么n•AD2AB2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．10．（23-24九年级·山东临沂·期末）综合与实践问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AD=6．动手实践：（1）如图1，梦想飞扬小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展平，得到四边形AEFD．试判断四边形AEFD的形状，并加以证明；深度探究：（2）如图2，智慧创新小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD，EF上取点G，H，将四边形AEFD沿GH折叠，使A点的对应点A′始终落在边DF上（点A′不与点D，F重合），点E落在点E′处，A′E′与EF交于点T．①当DA′=2时，可以求出AG的长度．请写出解答过程；②当A′在DF上运动时，△FTA′的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．【题型2 特殊平行四边形中的最小值问题】11．（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，已知∠AOB=60°，点C在射线OA上，点D，E在射线OB上，其中OC=OD=6，四边形CEDF是平行四边形．  (1)请只用无刻度的直尺画出菱形CODN，保留作图痕迹，并说明理由．(2)作出（1）中菱形CODN后，若点P是OC边上一动点，点Q是菱形CODN对角线ON上一动点，则QC+QP的最小值为 ．12．（23-24九年级·云南昆明·期末）如图1，AE∥BF，AB∥CD，BD平分∠ABC．  (1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，CD=5，AC=6，DM⊥BF交BF于点M，已知点P是BD上一动点，连接PC，PM.求△PCM周长的最小值．13．（23-24九年级·安徽阜阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．(1)求证：四边形ECFD是矩形；(2)若CB=2，CA=4，求EF的最小值．14．（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两邻边分别在坐标轴的正半轴上，E为x轴正半轴上一动点，连CE，过点B作BF⊥CE交y轴于点F，连EF，以FB，FE为邻边构造平行四边形EGBF，已知OA=6．(1)求证：△BCF≌△COE；(2)当E为OA的中点时，求点F的坐标(3)当点E在正方形OABC边上运动的过程中，求BG的最小值15．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如图），有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．(1)将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图①），通过观察或测量AE，AF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论；(2)在旋转过程中，四边形AECF的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；(3)若将（1）中三角尺的60°角的顶点P在AC上移动且与点A，C都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图②），那么PE，PF之间的数量关系为__________．16．（23-24九年级·江苏扬州·期中）在矩形ABCD中，AB=3，BC=4， E、F是直线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒（0≤t≤7）．(1)如图1，M、N分别是AB，DC中点，当t= s时，四边形EMFN是矩形．(2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线A−B−C运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线C−D−A运动．①如图2，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，当四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的一半时，求t值；②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得PD=BQ，顺次连接P、G、Q、H，则四边形PGQH周长的最小值是 ．17．（23-24九年级·河南三门峡·期末）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．(1)求∠DAE的度数；(2)点P是线段AE上的一个动点，连接PB、PC．若AC=3，BC=4．求PB+PC的最小值．18．（23-24九年级·山东济宁·期中）（1）如图①，四个小矩形拼成一个大矩形，点P在线段AC上，试判断矩形EPHD与矩形GBFP面积的大小关系，并简单说明理由；（2）如图②，矩形GBFP的顶点P在直角三角形ABC的斜边AC上，若AG=50，FC=75，利用第（1）小题的探究方法和结论，求矩形GBFP的面积．（3）如图③，在Rt△ABC中，P是斜边AC上一动点，作PG∥BC，交AB于点G，作PF∥AB，交BC于点F，若AB=2，AC=4，求GF的最小值．  19．（23-24九年级·河北石家庄·期末）如图1，在▱ABCD中，AB=2AD=4，∠D=60°，点P是边CD上一点，连接PB，沿PB折叠△BCP，使点C落在点N处，其中CP≥2，设PN与AB相交于点M．(1)如图2，当点M，N重合时，①求证：四边形BCPN是菱形；②设点Q为线段BP上一点，求NQ+AQ的最小值．(2)求△BMP的面积S△BMP的取值范围．20．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在CD边上，点F在BC边上，连接AE，DF，AE与DF相交于点 P．  (1)【动手操作】在图1中画出线段AE，DF；(2)【问题探究】若DF⊥AE．①利用图2 探究CE+CF的值；②过点P作PM⊥CD，PN⊥BC，垂足分别为M，N，连接MN，试求MN的最小值．【题型3 特殊平行四边形中的最大值问题】21．（23-24九年级·浙江·期中）如图1，已知：在菱形ABCD中，∠B=60°,AB=6cm，E，F分别是CB,CD上的动点，且∠EAF=60°．(1)求证：AE=AF；(2)求四边形AECF的面积；(3)如图2，连接EF，求△ECF面积的最大值．22．（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图1，将矩形ABOC放置于平面直角坐标系中的第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若A(m,n)满足m−20+n−12=0．(1)求点A的坐标；(2)取AC的中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连AN并延长交x轴于P点．求证：点P为OB的中点；(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段AC上，且CD=16．点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连接PE．请你直接写出线段PE长度的最大值__________．23．（23-24九年级·山东济南·期末）阅读下面材料：我遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：(1)在图2中，∠GAF的度数是___________；(2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD>BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，求BE的长度；(3)如图4，△ABC中，AC=2，BC=3，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB=___________时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．24．（2016·广东广州·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；(2)求EF的最大值与最小值．25．（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，连接DF、DG．(1)如图2，点E落在对角线BD上，AD与EF相交于点H，①连接AF，求证：四边形ABDF是平行四边形；②求线段AH的长度；(2)在矩形AEFG绕点A旋转一周的过程中，△DFG面积的最大值为 ．26．（23-24九年级·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形AOBC的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为a,b，且a，b满足：a−6=b−6+6−b，点D为边OA上的一个动点，将△BOD沿BD翻折，得到△BED．(1)直接写出正方形AOBC的边长；(2)如图1，若点D为AO中点，延长DE交AC于点H．①求CH的长；②连CE并延长交AO于点F，求CF的长；(3)如图2，若点G为AC上一点，且∠CBG=30°，点M为BE中点，连接GM．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到GM取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．27．（23-24九年级·河北保定·期中）已知等边三角形ABC的边长为12，D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接BF．(1)如图，当点D在BC边上时，求证：△ACD≌△ABF，(2)在点D的移动过程中，当BF=3时，求BD的长度(3)设△ABC与菱形ADEF的面积分别为S1，S2，直接写出S1S2的最大值．28．（23-24九年级·福建莆田·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是矩形，且顶点O位于原点，顶点B、C分别位于x轴、y轴上．若Aa,b满足a−5+b2−6b+9=0．(1)求点A的坐标；(2)取AC的中点M，连接MO，将△CMO沿MO翻折得到△NMO，连接AN并延长交x轴于P点．求证：点P为OB的中点；(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段AC上，且CD=4．点E为平面内一动点，且满足DE⊥OE，连接PE．请你直接写出线段PE长度的最大值__________．29．（23-24九年级·广东广州·期末）正方形ABCD的边长为6，E，F分别为CD，BC边上的点，连接FE，将△FCE沿FE折叠，C对应的点为C′．(1)当点F与点B重合时，①如图1，∠EBC=30°，M为BE的中点，连接MC′，MC，求证：四边形MC′EC为菱形；②如图2，延长EC′交AD于点N，连接BN，AC，BN与BE分别交AC于点P，Q，猜想线段AP，PQ，QC满足的数量关系，并加以证明：(2)当点F与点B不重合时，如图3，E为CD的中点，连接AC′，求四边形AC′ED面积的最大值．30．（23-24九年级·四川成都·期中）在矩形ABCD中，AB=6,BC=8．(1)将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点F处（如图①），设DF与BC相交于点G，求证：BG= DG；(2)将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B′落在CD边上（如图②），点A的对应点为A′，连接BB′交EF于点O．当DB′=2时，求EF、OF的长；(3)点M在线段AB上，点N在线段BC上，（如图③）若按MN折叠后，点B落在矩形ABCD的AD边上H点，请求AH的最大值和最小值．【题型4 特殊平行四边形中的中点四边形问题】31．（23-24九年级·江苏常州·期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点．(1)四边形ADEF是怎样的四边形？证明你的结论．(2)请你为△ABC添加一个条件，使得四边形ADEF是矩形，证明你的结论．32．（23-24九年级·江苏淮安·期中）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．  (1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）33．（23-24九年级·江苏南通·期中）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做“中点四边形”．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到“中点四边形”EFGH．(1)如图，“中点四边形”EFGH的形状是 ；(2)求证：矩形的“中点四边形”是菱形．（画图，写出已知、求证和证明）34．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC所在平面上一个动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E．  (1)如图，当点O在△ABC的外部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；(2)当点O在△ABC的内部时，要使四边形DGFE是正方形，则OA与BC满足的条件是：．（直接写出结果即可）35．（2024·广东韶关·模拟预测）我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，可证中点四边形EFGH是平行四边形，如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使中点四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后回答下面问题？(1)当AC______BD时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC______BD时，四边形EFGH为矩形；(3)当AC和BD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？请回答并证明你的结论．36．（23-24九年级·吉林·阶段练习）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形ABCD是菱形；  【操作二】如图②，取图①中菱形ABCD的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，四边形EFGH称为四边形ABCD的中点四边形，若AB=13，AC=24，则四边形EFGH的面积为 ．37．（23-24九年级·山西吕梁·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，且AC⊥BD，垂足为O，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，…如此下去得到四边形AnBnCnDn．(1)判断四边形A1B1C1D1的形状，并说明理由．(2)求四边形A1B1C1D1的面积．(3)直接写出四边形AnBnCnDn的面积（用含n的式子表示）．38．（23-24九年级·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：    反思交流：(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？依据1:　 ；依据2:　 　 ；②连接AC，若AC=BD时，则中点四边形EFGH的形状为　 ；并说明理由；创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：(2)如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状为 ，并说明理由；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为　 　．39．（23-24九年级·江西上饶·阶段练习）我们定义：若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形，则四边形EFGH是四边形ABCD的中矩四边形．(1)如图1，四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，求证；四边形EFGH是四边形ABCD的中矩四边形．  (2)如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边，在△ABC外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，其中∠BAD=∠ACE=90o，F，G，H，M分别为DE，BD，BC，CE的中点．  ①求证：四边形FGHM是四边形BCED的中矩四边形．②若四边形FGHM的面积为8，∠ABC=45°，求BD2+BC2的值．40．（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD的对角线AC，BD的关系；【问题解决】：（3）如图2．以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；【拓展应用】：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．（4）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（5）若AC=2，求AB+CD的最小值．  【题型5 特殊平行四边形中的新定义问题】41．（23-24九年级·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？ （填“是”或“否”）(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．42．（23-24九年级·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；(2)如图， 在正方形ABCD中， E为BC上一点， 连接AE， 过点B作BG⊥AE于点H， 交CD于点G， 连AG，EG．①判断四边形ABEG是否为“神奇四边形”，并说明理由；②如图2， 点M，N，P，Q分别是AB，AG，GE，EB的中点． 判断四边形MNPQ是否是“神奇四边形”，并说明理由：(3)如图3， 点F，R分别在正方形ABCD的边AB，CD上， 把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=2，正方形的边长为6，求线段OF的长．43．（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．(1)①写出一种你学过的伪矩形： ．②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．A．正方形    B．矩形    C．菱形    D．无法确定(2)如图1，在伪矩形ABCD中，∠BCD=90°，AC=3，CD=2，求BC的长．(3)如图2，在伪矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，AC=CD，求这个伪矩形的面积．44．（23-24九年级·江苏南京·期末）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．  (1)如图②，在四边形ABCD中，AB=AC，AD∥BC，∠CAD=2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”，(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”ABCD，使得AB=AD，BD平分∠ABC，且∠A与∠C互补．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．(3)在（2）的条件下，“近似菱形”ABCD中∠A的取值范围是________________．45．（23-24九年级·北京通州·期中）定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD=180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．(1)如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD=60°，则∠BPC= ；(2)如图2，点P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．46．（23-24九年级·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”．(1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度；(2)如图，在沙漏四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，满足AB+CD=BD，且AB⊥BD，过点B、D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足为E、F，连接DE、BF，所得四边形BEDF也是沙漏四边形．若BE=1，求BC的长以及△BFC的面积．47．（23-24九年级·福建三明·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．邻等四边形中，相等两邻边的夹角称为邻等角．  (1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=90°，对角线AC平分∠BCD，求证：四边形ABCD是邻等四边形；(2)如图2，在5×6的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D，并分别用D1，D2，D3，……表示；(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠A=∠B=90∘，∠BCD为邻等角．若AB=8，AD=6，求邻等四边形ABCD的周长．48．（23-24九年级·湖南长沙·期中）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）；(2)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG．求证：四边形ABEG是“宁美四边形”；(3)如图2，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=2，正方形的边长为6，求线段OF的长．49．（23-24九年级·山东东营·期末）附加题：我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形．(1)如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（不与B，C重合），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点为点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE______（选择“是”或“不是”）等补四边形．(2)如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S四边形ABCD=8，则BD的长为______．(3)如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠A+∠C=180°，BD=5，求四边形ABCD面积的最大值．50．（23-24九年级·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A落在BC边上的D处，再将纸片分别沿EF，HG折叠，使点B和点C都与点D重合，得到双层四边形EFGH，则双层四边形EFGH为______形．(2)▱ABCD纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形EFGH为矩形，若EF=5，EH=12，求AD的长．(3)如图3，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．【答案】(1)是(2)四边形ADBC是补等四边形，证明见解析【分析】（1）连接BD，根据菱形性质得出CD=AD=AB=CB，CD∥AB，再结合CE=DF，∠A=60°，通过SAS证明△CBE≌△DBF，结合角的等量代换，即可作答．（2）作DE⊥CB，DF⊥CA．因为角平分线的性质 ，得出DE=DF，又因为DG垂直平分AB，得出DB=DA，再证明Rt△DEB≌Rt△DFA，结合角的等量代换，即可作答．【详解】（1）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=AB=CB，CD∥AB，∴∠A+∠CDA=180°∵∠A=60°∴∠CDA=120°，∠BDF=12∠CDA=60°，△ABD是等边三角形∴BD=DA=BC∵CE=DF，∴△CBE≌△DBFSAS∴EB=BF，∠BFD=∠BEC∵∠DEB+∠BEC=180°∴∠DEB+∠BFD=180°∴四边形BEDF是补等四边形，故答案为：是；（2）解：四边形ADBC是补等四边形．理由如下：作DE⊥CB，DF⊥CA．∴∠DEB=∠DFC=90°．∴∠ECA+∠EDF=180°∵CD平分∠ECA，∴DE=DF．∵DG垂直平分AB，∴DB=DA ∴Rt△DEB≌Rt△DFA∴∠EDB=∠FDA．∴∠ECA+∠BDA=180°∴四边形ADBC是补等四边形．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．42．（23-24九年级·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；(2)如图， 在正方形ABCD中， E为BC上一点， 连接AE， 过点B作BG⊥AE于点H， 交CD于点G， 连AG，EG．①判断四边形ABEG是否为“神奇四边形”，并说明理由；②如图2， 点M，N，P，Q分别是AB，AG，GE，EB的中点． 判断四边形MNPQ是否是“神奇四边形”，并说明理由：(3)如图3， 点F，R分别在正方形ABCD的边AB，CD上， 把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=2，正方形的边长为6，求线段OF的长．【答案】(1)④(2)①四边形ABEG是“神奇四边形”，见解析；②四边形MNPQ是“神奇四边形”，见解析(3)103【分析】（1）根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质进行判断即可；（2）①根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°，利用等量代换可得∠CBG=∠BAE，证得△ABE≌△BCGASA，可得AE=BG，即可得证；②根据三角形中位线定理可得MN=PQ=12BG，MN∥BG∥PQ，MQ=NP=12AE，MQ∥NP∥AE，从而证得四边形MNPQ是平行四边形，再根据平行线的性质和等量代换可得∠NMQ=90°，由①可得，AE=BG，可得NM=MQ，证得四边形MNPQ是正方形，再根据正方形的性质即可得证；（3）延长AO交BC于点S，由勾股定理求出AO的长，设AF=x，则BF=B′F=6−x，再由勾股定理列方程求得x=103，即可求解．【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线既不互相垂直，也不相等；矩形的对角线相等，但不垂直；菱形的对角线相互垂直，但不相等；正方形的对角线互相垂直且相等，∴正方形是“神奇四边形”，故答案为：④．（2）解：①四边形ABEG是“神奇四边形”，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°，∵BG⊥AE，∴∠CBG+∠AEB=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠CBG=∠BAE，∴△ABE≌△BCGASA，∴AE=BG，又∵BG⊥AE，∴四边形ABEG是“神奇四边形”．②四边形MNPQ是“神奇四边形”，理由如下：∵点M，N，P，Q分别是AB，AG，GE，EB的中点，∴MN=PQ=12BG，MN∥BG∥PQ，MQ=NP=12AE，MQ∥NP∥AE，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵MN∥BG，BG⊥AE，∴MN⊥AE，∴∠EAM+∠AMN=90°，∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠AMN=∠AEB，∵MQ∥AE，∴∠AEB=∠MQB，∴∠AMN=∠MQB，∵∠QMB+∠MQB=90°，∴∠QMB+∠AMN=90°，∴∠NMQ=90°，由①可得，AE=BG，∴NM=MQ，∴四边形MNPQ是正方形，∴MP⊥QN，且MP=QN，∴四边形MNPQ是“神奇四边形”．（3）解：延长AO交BC于点S，由折叠的性质得，BF=B′F，AB′=BS=2，AO=SO，∠B=∠B′，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=6，∠B=90°，∴AS=62+22=210，∠B=∠B′=90°，∴AO=12AS=10，设AF=x，则BF=B′F=6−x，在Rt△AB'F中，22+6−x2=x2，解得x=103，∴AF=103，∵AO⊥FR，∴∠AOF=90°，∴OF=1032−102=103．【点睛】本题考查新定义、折叠的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定的与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键．43．（2024·浙江·模拟预测）定义：我们把对角线相等的四边形叫作伪矩形，对角线的交点称作伪矩形的中心．(1)①写出一种你学过的伪矩形： ．②顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是 ．A．正方形    B．矩形    C．菱形    D．无法确定(2)如图1，在伪矩形ABCD中，∠BCD=90°，AC=3，CD=2，求BC的长．(3)如图2，在伪矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，AC=CD，求这个伪矩形的面积．【答案】(1)①等腰梯形；②C(2)5(3)39+3【分析】（1）①根据题意，写出对角线相等的四边形，例如等腰梯形，即可求解；②根据中位线的性质可得EF=GH=12BD,EH=FG=12AC，进而根据伪矩形的定义，可得BD=AC，进而即可得出结论；（2）根据伪矩形的定义，可得BD=AC，进而勾股定理，即可求解．（3）作DF⊥BC，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）①写出一种你学过的伪矩形：等腰梯形；故答案为：等腰梯形．②如图所示，伪矩形ABCD中，AC=BD，E,F,G,H分别为四边中点，∴EF=GH=12BD,EH=FG=12AC∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形；∴顺次连接伪矩形各边中点所得的四边形是菱形，故选：C．（2）∵在伪矩形ABCD中，AC=3∴ BD=AC=3∵ ∠BCD=90°，BD=3，CD=2，∴ BC=BD2−CD2=32−22=5；（3）解：作DF⊥BC，垂足为F，∵伪矩形ABCD中，AC=BD，AC=DC，∴BD=CD，∵ ∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，∴ AB=12AC，BC=AC2−AB2=3AB=23，∴ AC=CD=BD=4∵BD=CD，DF⊥BC∴BF=CF=12BC=3∴DF=CD2−CF2=16−3=13∴这个伪矩形的面积为=12FC×DF+12(AB+DF)×BF=12×3×13+122+13×3=39+344．（23-24九年级·江苏南京·期末）定义：若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”．例如：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，若BD平分∠ABC，则四边形ABCD是近似菱形．  (1)如图②，在四边形ABCD中，AB=AC，AD∥BC，∠CAD=2∠DBC．求证：四边形ABCD是“近似菱形”，(2)如图③，已知线段BD，求作“近似菱形”ABCD，使得AB=AD，BD平分∠ABC，且∠A与∠C互补．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．(3)在（2）的条件下，“近似菱形”ABCD中∠A的取值范围是________________．【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)60°