江苏省江阴南闸实验学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】

这是一份江苏省江阴南闸实验学校2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标测试试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）要使式子有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）现有一组数据：3、4、5、5、6、6、6、6、7，若去掉其中一个数6则不受影响的是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．众数和中位数
4、（4分）一种病菌的直径是0.000023毫米，将0.000023用科学记数法表示为
A．B．C．D．
5、（4分）如图，将点P（-1，3）向右平移n个单位后落在直线y=2x-1上的点P′处，则n等于（ ）
A．2B．C．3D．4
6、（4分）如图，函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A（a，4），则方程mx+n＝﹣2x的解是（ ）
A．x＝﹣2B．x＝﹣3C．x＝﹣4D．不确定
7、（4分）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）下面说法中正确的个数有（ ）
①等腰三角形的高与中线重合
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③顺次连接任意四边形的中点组成的新四边形为平行四边形
④七边形的内角和为900°，外角和为360°
⑤如果方程会产生增根，那么k的值是4
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，平行四边形中，为的中点，连接，若平行四边形的面积为，则的面积为____.
10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为___．
11、（4分）一次函数的图象过点，且y随x的增大而减小，则m=_______.
12、（4分）分解因式：=______．
13、（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则AC与AB两边的关系是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于点F.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求CF的长
15、（8分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b，已知T（1，1）＝2.5，T（1，﹣2）＝1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．
16、（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
17、（10分）如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF．请说明四边形BFDE是平行四边形．
18、（10分）在□ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知：，则______.
20、（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点E、F分别为AC和AB的中点，则EF=____________．
21、（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____．
22、（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____.
23、（4分）一种盛饮料的圆柱形杯子（如图），测得它的内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管放进杯子里，杯口外面至少要露出5.2 cm，则吸管的长度至少为_______cm．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，l2交x轴于点A，点P是直线l1上一动点，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q
（1）求出点A的坐标；
（2）连接AP，当△APQ为以PQ为底边的等腰三角形时，求点P和点Q的坐标；
（3）点B为OA的中点，连接OQ、BQ，若点P在y轴的左侧，M为直线y＝﹣1上一动点，当△PQM与△BOQ全等时，求点M的坐标．
25、（10分）先阅读材料：
分解因式：．
解：令，
则
所以．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：__________；
（2）分解因式：；
（3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
26、（12分）如图，在中，分别平分和，交于点，线段相交于点M.
（1）求证：；
（2）若，则的值是__________.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【详解】
根据题意得：x−2⩾0，
解得x⩾2.
故选：C
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质
2、D
【解析】
根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可．
【详解】
解：（2，1）关于原点的对称点坐标为（﹣2，﹣1），故选：D．
本题考查关于原点对称，掌握关于原点对称，横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3、A
【解析】
根据众数、平均数和中位数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
A、这组数据3、4、5、5、6、6、6、6、7的众数是6，若去掉其中一个数6时，众数还是6，故本选项正确；
B、原数据的中位数是6，若去掉其中一个数6时，中位数是 =5.5，故本选项错误；
C、原数据的平均数是，若去掉其中一个数6时，平均数是，故本选项错误；
D、众数不变，中位数发生改变，故本选项错误；
故选A．
考查了确定一组数据的中位数、平均数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4、A
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：将0.000023用科学记数法表示为．
故选：．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5、C
【解析】
点向右平移得到，根据平移性质可设()，代入中可求出，则.
【详解】
∵点向右平移得到，
∴设()，代入，解得，
则 ，故答案选C.
本题考查了坐标系中函数图像平移的性质，以及利用函数解析式求点坐标，熟练掌握这些知识点是解题关键.
6、A
【解析】
把A（a，4）代入y=-1x求得a的值，得出A（-1，4），根据方程的解就是两函数图象交点的横坐标即可得出答案．
【详解】
解：∵y=-1x的图象过点A（a，4），
∴4=-1a，解得a=-1，
∴A（-1，4），
∵函数y=mx+n和y=-1x的图象交于点A（-1，4），
∴方程mx+n=-1x的解是x=-1．
故选A．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一次函数与一元一次方程的关系．
7、C
【解析】
试题分析：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
点睛：此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
8、B
【解析】
依据等腰三角形的性质可对①做出判断，依据平行四边形的判定定理可对②做出判断；依据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理可对③做出判断；依据多边形的内角和公式可对④做出判断，依据方程有增跟可得到x得值，然后将分式方程化为整式方程，最后，将x的值代入求得k的值即可．
【详解】
解：①等腰三角形的底边上的高与底边上中线重合，故①错误；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故②错误；
③顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形，故③正确．
④七边形的内角和=（7-2）×180°=900°，任意多边形的外角和都等于360°，故④正确；
⑤如果方程会产生增根，那么x-1=0，解得：x=1．
,
∴2+3x=k，
将x=1代入得：k=2+3×1=5，故⑤错误．
故选B．
本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线的性质、多边形的内角和、外角和公式、分式方程的增根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6
【解析】
如图，连接AC．首先证明△ABC≌△CDA，可得S△ABC=S△ADC=×24=12（cm2），由AE=DE，可得S△CDE=S△ADC=6；
【详解】
解：如图，连接.
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为6
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10、 (﹣，2)
【解析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解．
【详解】
∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．
∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝＝，
∴点C的坐标为(﹣，2)．
故答案为：(﹣，2)．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出CE、OE的长度是解题的关键．
11、
【解析】
根据一次函数的图像过点，可以求得m的值，由y随x的增大而减小，可以得到m＜0，从而可以确定m的值．
【详解】
∵一次函数的图像过点，
∴，解得：或，
∵y随x的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：.
本题考查一次函数图像上点的坐标特征、一次函数的性质，解答此类问题的关键是明确一次函数的性质，利用一次函数的性质解答问题．
12、x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
13、AB=2AC．
【解析】
解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB=2AC．
故答案为AB=2AC．
本题考查了在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，应熟练掌握．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)见详解；（2） .
【解析】
（1）由同角的余角相等可得出∠DEF=∠ABE，结合∠A=∠D=90°，即可证出△ABE∽△DEF；
（2）由AD、AE的长度可得出DE的长度，根据相似三角形的性质可求出DF的长度，将其代入CF=CD-DF即可求出CF的长．
【详解】
（1）证明：
∵EF⊥BE，
∴∠EFB=90°，
∴∠DEF+∠AEB=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵AD=12，AE=8，
∴DE=1．
∵△ABE∽△DEF，
∴ = ，
∴DF= ，
∴CF=CD-DF=6-=．
本题考查相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题关键是：（1）利用同角的余角相等找出∠DEF=∠ABE；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度．
15、（1）a，b的值分别为3和2；（2）实数P的取值范围是≤p＜2．
【解析】
（1）根据题意把T（1，1）＝2.5，T（1，﹣2）＝1代入T（x，y）＝即可求出a，b的值；（2）根据题意列出关于m的不等式，分别解出来再根据m有两个整数解来确定p的取值.
【详解】
（1）根据题意得：，
①+②得：3a＝9，即a＝3，
把a＝3代入①得：b＝2，
故a，b的值分别为3和2；
（2）根据题意得：，
由①得：m≤，
由②得：m＞p﹣3，
∴不等式组的解集为p﹣3＜m≤，
∵不等式组恰好有2个整数解，即m＝0，1，
∴﹣1≤p﹣3＜0，
解得≤p＜2，
即实数P的取值范围是≤p＜2．
此题主要考查不等式组的解，解题的关键是根据题意列出不等式并根据题意解出.
16、C1的坐标为：（﹣3，﹣2）
【解析】
直接利用关于原点对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案．
【详解】
如图所示：△A1B1C1，即为所求，点C1的坐标为：（﹣3，﹣2）．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17、证明见解析.
【解析】
连接BD，利用对角线互相平分来证明即可．
【详解】
证明：连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)
又∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，求出x的值，然后可得y的值，易求结果.
【详解】
解：由题意得：，
∴x=-2，
∴y=3，
∴，
故答案为：.
本题考查了二次根式和分式的性质，根据他们各自的性质求出x，y的值是解题关键.
20、3；
【解析】
先利用勾股定理求出BC的长，然后再根据中位线定理求出EF即可.
【详解】
∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6，
∵点E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=×6=3，
故答案为3.
本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握这两个定理的内容是解本题的关键.
21、3或1．
【解析】
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．
②当点落在边上时，如答图2所示．此时四边形为正方形．
【详解】
解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得，
；
②当点落在边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
．
综上所述，的长为3或1．
故答案为：3或1．
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
22、45°
【解析】
如图，连接OA，因OA=OC，可得∠ACO=∠OAC=45°，根据三角形的内角和公式可得∠AOC=90°，再由圆周角定理可得∠B=45°.
23、18.2
【解析】
由于吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，故可先利用勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】
解：如图；杯内的吸管部分长为AC，杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：；
故吸管的长度最少要：13+5.2=18.2（cm）．
故答案为：18.2.
本题考查勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）A(2，0)；（2）P(3，)，Q(3，﹣)；（3）M(﹣1，﹣1)或(﹣1，8)
【解析】
（1）求出直线l2的解析式为y＝﹣x+1，即可求A的坐标；
（2）设点P（x，﹣x+2），Q（x，﹣x+1），由AQ＝AP，即可求P点坐标；
（3）设P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），则Q（n，﹣n+1），可求出BQ＝，OQ＝，PM＝，QM＝，①当△PQM≌△BOQ时，PM＝BQ，QM＝OQ，结合勾股定理，求出m；②当△QPM≌△BOQ时，有PM＝OQ，QM＝BQ，结合勾股定理，求出m即可．
【详解】
解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+1，
∵l2交x轴于点A，
∴A（2，0）；
（2）当△APQ为以PQ为底边的等腰三角形时，
∴AQ＝AP，
∵点P是直线l1上一动点，
设点P（x，﹣x+2），
∵过点P作PQ∥y轴交l2于点Q
∴Q（x，﹣x+1），
∴（﹣x+2）2＝（﹣x+1）2，
∴x＝3，
∴P（3，），Q（3，﹣）；
（3）∵点B为OA的中点，
∴B（1，0），
∴PQ＝BO＝1，
设P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），则Q（n，﹣n+1），
∴BQ＝，OQ＝，
PM＝，QM＝，①
∵△PQM与△BOQ全等，
①当△PQM≌△BOQ时，
有PM＝BQ，QM＝OQ，
＝，＝，
∴n＝2m﹣2，
∵点P在y轴的左侧，
∴n＜0，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣1）；
②当△QPM≌△BOQ时，
有PM＝OQ，QM＝BQ，
＝，＝，
∴n＝﹣m，
∵点P在y轴的左侧，
∴n＜0，
∴m＞2，
∴m＝8，
∴M（﹣1，8）；
综上所述，M（﹣1，﹣1）或M（﹣1，8）．1：y＝﹣x+2向下平移1个单位后，得到直线l2，
本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象特点，等腰三角形与全等三角形的性质是解题的关键．
25、（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
（1）令，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（2）令，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（3）根据多项式乘多项式法则和完全平方公式因式分解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）令，
则
所以．
（2）令，
则
，
所以．
（3）
．
∵是正整数，
∴也为正整数．
∴式子的值一定是某一个整数的平方．
此题考查的是因式分解，掌握利用“整体思想”和完全平方公式因式分解是解决此题的关键．
26、（1）略；（2）；
【解析】
（1）想办法证明∠BAE+∠ABF=10°，即可推出∠AMB=10°即AE⊥BF；
（2）证明DE=AD，CF=BC，再利用平行四边形的性质AD=BC，证出DE=CF，得出DF=CE，由已知得出BC=AD=5EF，DE=5EF，求出DF=CE=4EF，得出AB=CD=1EF，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°，即∠BAE+∠ABF=10°，
∴∠AMB=10°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，同理可得，CF=BC，
又∵在平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DF=CE，
∵EF=AD，
∴BC=AD=5EF，
∴DE=5EF，
∴DF=CE=4EF，
∴AB=CD=1EF，
∴BC：AB=5：1；
故答案为5：1．
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人