哈尔滨市第九中学校2025届高三上学期9月份考试数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2025届高三上学期9月份考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．“,”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．若a,b,且,则下列不等式中一定成立的是( )
A.B.
C.D.
4．曲线在点处的切线方程为( )
A.B.
C.D.
5．已知,且,则( )
A.B.
C.D.
6．若，则实数的值为( )
A.B.2C.3D.4
7．已知是定义在R上的偶函数,满足,当时,,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．已知函数满足,若,是方程的两根,则的值为( )
A.B.C.1D.0
二、多项选择题
9．锐角三角形ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,下列结论一定成立的有( ).
A.B.
C.若,则D.若,则
10．已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.B.
C.为偶函数D.在区间的最小值为
11．已知函数.下列有关的说法中,正确的是( )
A.不等式的解集为
B.在区间上有五个零点
C.的图象关于直线对称
D.的最大值为
三、填空题
12．已知某个扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的半径为________.
13．若,,且函数在处有极值,则的最小值为________.
14．已知函数在区间上只有1个零点,且当时,单调递增,则的取值范围是________.
四、解答题
15．已知,,且,.
（1）求,;
（2）求.
16．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
（1）求证:;
（2）求的最大值.
17．在中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,.
（1）求的值;
（2）若的面积为,求AB边上的高.
18．已知函数的最大值为2.
（1）求常数a的值;
（2）求函数的单调递减区间和对称轴方程;
（3）把函数的图象先向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数的图象.若方程在上恰好有两个不同的根,,求的值.
19．已知函数
（1）求在上的极值;
（2）判断函数在上的零点个数.
参考答案
1．答案：D
解析：依题意,,,
所以,
故选D.
2．答案：A
解析：,时,,
,时,,
所以“,”是“”的充分而不必要条件,
故选:A.
3．答案：B
解析：对于ACD,取,,,满足,
而,,,ACD错误;
对于B,由,得,又,因此,B正确.
故选:B
4．答案：C
解析：因为,
所以在点处的切线斜率为,
所以切线方程为,即.
故选:C.
5．答案：C
解析：因为,则,
即,解得或,
因为,则,,
A选项,,故A选项错误;
B选项,,故B选项错误;
C选项,,故C选项正确;
D选项,,故D选项错误.
故选:C
6．答案：D
解析：由化简得，，
即，
即，
因，解得.
故选：D.
7．答案：B
解析：根据题意,满足,即函数是周期为2的周期函数,
则,
,
又由为偶函数,则,
当时,,易得在上为增函数,
又由,
则有;
故选B.
8．答案：D
解析：易知,所以可得;
由韦达定理可得,;
因此.
故选:D
9．答案：BCD
解析：对于A,因为为锐角三角形,所以,
由余弦定理得,,即,
由正弦定理得,,故A错误;
对于B,,故B正确;
对于C,因为为锐角三角形,且,所以,
又因为在上单调递增,所以,故C正确;
对于D,由得,,
由为锐角三角形得,,
即,解得,故D正确;
故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：由题意得,
由图象可得,
又,所以,
由五点法可得,
所以.
A:由以上解析可得,故A正确;
B:由以上解析可得,故B错误;
C:,故C正确;
D:当时,,
所以最小值为,故D正确;
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：由题意得,,
对于A,,则,
故或,A错误;
对于B,由,得或,
则,,,,,共5个零点,B正确;
对于C,,
即的图象关于直线对称,C正确;
对于D,,
令,,则,
由,得,由,得或,
即在上单调递增,在,上均单调递减,
又时,;时,;
故的最大值为,D正确,
故选:BCD
12．答案：2
解析：,故.
故答案为:2.
13．答案：/0.75
解析：由题意得,因为在处有极值,
所以,所以,
所以,
当且仅当时,等号成立,此时函数满足在处取得极值.
故答案为:.
14．答案：
解析：
,
,,故,
因为在区间上只有1个零点,所以,
解得,
时,,
因为,所以,,
要想当时,单调递增,则,
解得,
综上,的取值范围是.
故答案为:
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由题意知,,
因为,所以,所以,
所以.
（2）由,,可得,,
所以,
,
因为,所以.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在中,由及正弦定理,
得,
则,
整理得,而,则,否则A,B都为直角,矛盾,
所以.
（2）由（1）知,,在中,B为锐角,从而A为锐角,（否则A,B同为钝角,这不可能）,
由,得,,
因此,
当且仅当,即时取等号,又正切函数在上单调递增,
于是当取最大值时,取得最大值,所以的最大值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
,
由正余弦边角关系得,①,
又,②
由①②得,,
,
（2）由（1）得,,
（或由余弦定理得）
C为锐角,,
的面积,
,
设AB边上的高为h,
则的面积,
,即AB边上的高为.
18．答案：（1）1
（2）单调递减区间为,;对称轴为,;
（3）
解析：（1）因为
,
所以,
解得;
（2）因为,
由,,
解得,,
所以函数的单调递减区间为,;
由,,
可得,,
所以函数的对称轴为,;
（3）由题意可得,
因为,所以,,
由,可得,
所以,
由正弦函数的对称性可知,
所以,
且,,
,
所以
.
19．答案：（1）极小值0,无极大值;
（2）在上的零点个数为2.
解析：（1）由题得,而,
当时,在单调递减;
当时,在单调递增;
所以极小值,无极大值.
（2）由已知,,,则,
①当时,,所以在上单调递减.
所以,则在上无零点;
②当时,,即递增,且,,
所以存在,使.
当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,且,所以.
设,,则,易得,
当,,当,,
所以在(0,ln2)上单调递减,在上单调递增,
所以,则,即,
所以.所以在上存在一个零点.
综上,在上有2个零点;
③当时,由②分析知:,所以在上单调递增.
而,所以在上无零点;
综上所述,在上的零点个数为2.