哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期10月学业阶段性评价考试数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期10月学业阶段性评价考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标是( )
A.B.C.D.
2．若向量是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:,我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为,则向量在基底下的斜坐标为( )
A.B.C.D.
3．已知两条直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则( )
A.16B.-4C.4或-16D.-4或16
5．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．直线l过点，则直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形面积的最小值为( )
A.9B.12C.18D.24
7．如图,在平行六面体中,,,,,,则的长为( )
A.B.C.D.
8．正三棱柱中,所有棱长均为2,点E,F分别为棱,的中点,若过点A,E,F作一截面,则截面的周长为( )
A.2+2B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题中正确的是( )
A.若向量,满足,则向量,的夹角是钝角
B.若,,是空间的一组基底,且,则A,B,C,D四点共面
C.若向量是空间的一个基底,若向量,则也是空间的一个基底
D.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则直线l与平面所成角的余弦值为
10．以下四个命题为真命题的是( )
A.过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B.直线的倾斜角的范围是
C.直线与直线之间的距离是
D.直线恒过定点
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，M，N分别是线段，的中点，Q是线段上的一个动点（含端点D，C），则下列说法正确的是( )
A.存在点Q，使得
B.存在点Q，使得异面直线与所成的角为
C.三棱锥体积的最大值是
D.当点Q自D向C处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题
12．已知,,,则向量在上的投影向量的坐标是________.
13．当点到直线距离的最大值时,直线l的一般式方程是________.
14．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体的一个顶点,定义多面体在点P处的离散曲率为,其中（,2,……,k,）为多面体的所有与点P相邻的顶点,且平面,平面,…,平面和平面为多面体的所有以P为公共点的面.如图,四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形,且,顶点S在底面的射影O为AC的中点.若该四棱锥在S处的离散曲率,则直线OS与平面SAB所成角的正弦值为________.
四、解答题
15．已知直线，.
(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.
16．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积.
17．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求证:平面PAB.
（2）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
18．已知两个非零向量,,在空间任取一点,作,,则叫做向量,的夹角,记作.定义与的“向量积”为:是一个向量,它与向量,都垂直,它的模.如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面ABCD,,E为AD上一点,.
（1）求AB的长;
（2）若E为AD的中点,求二面角的余弦值;
19．如图①所示,矩形ABCD中,,,点M是边CD的中点,将沿AM翻折到,连接PB,PC,得到图②的四棱锥,N为PB中点,
（1）若平面平面ABCD,求直线BC与平面PMB所成角的大小;
（2）设的大小为,若,求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标为.
故选:C.
2．答案：D
解析：由题意可得,
设,
即有
即可得,解得,即
即向量在基底下的斜坐标为.
故选:D.
3．答案：A
解析：当时,,则,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
4．答案：C
解析：由点在平面内，点，可得.因为平面的一个法向量，且点到的距离为，
所以，即，解得或.故选C.
5．答案：B
解析：记为点P，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线l的斜率k的取值范围是.
故选：B.
6．答案：B
解析：设直线（，），因为直线l过点，所以，即，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，
则直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积.故选B.
7．答案：A
解析：平行六面体中,,
因为,,,,
所以
,
所以,即的长为.
故选:A.
8．答案：B
解析：如图,在正三棱柱中,延长AF与CC1的延长线交于M,连接EM交B1C1于P,连接FP,则四边形AEPF为所求截面.
过E作EN平行于BC交CC1于N,则N为线段CC1的中点,由相似于可得,由相似于可得:,,
在中,,,则,
在中,,,则,
在中,,,则,
在中,,,,
由余弦定理:,则,
所以截面周长为:.
故选:B.
9．答案：BC
解析：对A:若,则向量,的夹角是钝角或向量,反向共线,故A错误;
对B:,
即有,故A,B,C,D四点共面,故B正确;
对C:假设不是空间中的一个基底,则存在实数x,y,使,
即,由向量是空间的一个基底,则向量,,不共面,
故不存在这样的实数x,y,即是空间的一个基底,故C正确;
对D:设直线l与平面所成角为,则,
由题意可得,,
则,故D错误.
故选:BC.
10．答案：BD
解析：对于A,当直线过原点时,方程为,
当直线不过原点时,设方程为,则,解得,
所以直线方程为,
综上,所求直线方程为或,故A错误;
对于B,直线的斜率,
所以倾斜角的范围是,故B正确;
对于C,直线,即为,
故直线与直线之间的距离为,故C错误;
对于D,由,
得,由,
解得,所以定点为,故D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，，，
；
对于A，假设存在点，使得，
则，又，
所以，解得：，
即点Q与D重合时，，A正确；
对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，
因为，，
所以，方程无解；
所以不存在点Q，使得异面直线与所成的角为，B错误；
对于C，连接，，；
设，
因为，
所以当，即点与点重合时，取得最大值2；
又点N到平面的距离，
所以，C正确；
对于D，由上分析知：，，
若是面的法向量，则，
令，则，
因为，设直线与平面所成的角为，，
所以，
当点Q自D向C处运动时，m的值由0到2变大，此时也逐渐增大，
因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为,,
所以,向量在上的投影向量是,
其坐标为.
故答案为:.
13．答案：
解析：直线,
可将直线方程变形为,,
解得,,
由此可得直线l恒过点,
所以P到直线l的最远距离为,此时直线垂直于PA.
,直线l的斜率为,,,
直线l的一般方程为.
故答案为:.
14．答案：
解析：由题意可知,四棱锥的四个侧面三角形全等,
则,
因为四棱锥在S处的离散曲率,则,
,
设,则,又,则,而,
所以,解得,
作于,则E为AB的中点,因为是正三角形,所以,
作于,则,且,
则,
连接SF,由平面ABCD,平面ABCD,
所以,,SO,平面SOF,
所以平面SOF,平面SAB,
所以平面平面SAB,又平面平面,
作于G,则平面SAB,
所以即是直线OS与平面SAB所成角,
则.
故答案为:.
15．答案：(1)或；
(2)或
解析：（1）设原点O到直线m的距离为d，
则，解得或；
（2）由解得，即m与n的交点为.
当直线l过原点时，此时直线斜率为，
所以直线l的方程为；
当直线l不过原点时，设l的方程为，
将代入得，
所以直线l的方程为.
故满足条件的直线l的方程为或.
16．答案：(1)，；
(2).
解析：（1）由点B在上，设点B的坐标是，
则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设A关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.
（2）由（1）得，点A到直线的距离，
所以的面积.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）存在,的值为.
解析：（1）因为平面平面ABCD,且平面平面,,
平面ABCD,所以平面PAD,
因为平面PAD,所以,
又因为,,
所以平面PAB.
（2）假设在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD,
取AD中点O,连接OC,OP,如下图:
因为,,
所以,,
从而,故平面PAD,
又因为平面平面ABCD,且平面平面,
所以平面ABCD,
以O为坐标原点,OC,OA,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图:
由题意可知,,,,,
设,因为点M在棱PA上,故,,
所以,故,
设平面PCD的法向量为,
故,令,则,,
从而平面PCD的法向量可以取,
因为平面PCD,
所以,解得,,
故假设成立,存在这样的点M,使得平面PCD,此时,
即,从而.
18．答案：（1）2
（2）
解析：（1）因为底面ABCD为矩形,所以,,
因为底面ABCD,底面ABCD,所以,
又,PD,平面PDC,所以平面PDC,
又平面PDC,所以,因为,
所以为直线AD与PB所成的角,即,,
设（）,则,,
在中,,又,
所以,解得或（舍去）,
所以.
（2）在平面ABCD内过点D作交BE的延长线于点F,连接PF,
因为底面ABCD,底面ABCD,
所以,
又,,DF,平面PDF,
所以平面PDF,又平面PDF,
所以,
所以为二面角的平面角,
因为E为AD的中点,
所以,,
所以,
设二面角的平面角为,则,
所以,
即二面角的余弦值为.
19．答案：（1）;
（2）
解析：（1）取AM中点G,连接PG,由,得,而平面平面ABCD,
平面平面,平面PAM,则平面ABCD,
过M作,则平面ABCD,又MA,平面ABCD,于是,,
在矩形ABCD中,,,则,
以点M为原点,直线MA,MB,ME分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面PMB的法向量为,则,令,得,
设直线BC与平面PMB所成的角为,则,
所以直线BC与平面PMB所成角的大小为.
（2）连接,由,得,而,则为的平面角,即,
过点D作平面ABCD,以D为坐标原点,直线DA,DC,Dz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
显然平面PGD,平面ABCD,则平面平面ABCD,
在平面PGD内过P作于点H,则平面ABCM,
设,而,则,,,
即,,
所以,
于是,,
设平面PAM的法向量为,则,
令,得,设平面PBC的法向量为,
因为,,
则,令,得,
设平面PAM和平面PBC为,
则
令,,则,即,则当时,有最小值,
所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为.