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    哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
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    哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

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    这是一份哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案),共19页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.若复数z满足,则z的共轭复数的虚部为( )
    A.B.C.D.
    3.在等差数列中,若,,则( )
    A.20B.24C.27D.29
    4.“,”是“”的( )
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    5.下列命题中,真命题的是( )
    A.函数的周期是B.,
    C.函数是奇函数.D.的充要条件是
    6.设,,是与的等差中项,则的最小值为( )
    A.B.3C.9D.
    7.已知中,,,点D为AC的中点,点M为边BC上一动点,则的最小值为( )
    A.27B.0C.D.
    8.在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期,感染者与其他人的接触频率,每次接触过程中传染的概率决定.对于,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天(初始感染者传染个人为第一轮传染,经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为(参考数据:,)( )
    A.35B.42C.49D.56
    二、多项选择题
    9.数列满足:,,,下列说法正确的是( )
    A.数列为等比数列B.
    C.数列是递减数列D.的前n项和
    10.下列说法中正确的是( )
    A.在中,,,,若,则为锐角三角形
    B.非零向量和满足,,则
    C.已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
    D.在中,若,则与的面积之比为
    11.已知函数,则( )
    A.若,则
    B.若函数为偶函数,则
    C.若上单调,则
    D.若时,且在上单调,则
    12.已知,若恒成立,则不正确的是( )
    A.的单调递增区间为
    B.方程可能有三个实数根
    C.若函数在处的切线经过原点,则
    D.过图象上任何一点,最多可作函数的8条切线
    三、填空题
    13.已知数列的前n项和为,且,则数列的通项公式______.
    14.已知的面积,,则________;
    15.若,则________.
    16.,为一个有序实数组,表示把A中每个-1都变为,0,每个0都变为,1,每个1都变为0,1所得到的新的有序实数组,例如:,则.定义,,2,3,…,若,中有项为1,则的前项和为________.
    四、解答题
    17.设向量,,
    (1)若,求x的值;
    (2)设函数,求的最大值
    18.如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,平面ABCD,,且点E,F分别为AB和PD中点.
    (1)求证:直线平面PEC;
    (2)求PB与平面PAD所成角的正弦值.
    19.已知数列满足,且.
    (1)求通项公式;
    (2)若数列的前n项和为,且,求数列的前n项和.
    20.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为.已知①;
    ②;
    ③,从这三个条件中任选一个,回答下列问题.
    (1)求角B;
    (2)若.求的取值范围.
    21.已知等差数列满足,且,,成等比数列.
    (1)求的通项公式;
    (2)设,的前n项和分别为,.若的公差为整数,且,求.
    22.已知函数,.
    (1)当时,求的单调区间;
    (2)当时,若不等式恒成立,求m的取值范围;
    (3)设,证明:.
    参考答案
    1.答案:D
    解析:因为,,
    所以,
    故选:D.
    2.答案:D
    解析:因为复数z满足,
    所以,所以z的共轭复数.
    其虚部为:2.
    故选:D
    3.答案:D
    解析:,所以,又,所以,
    所以,
    故选:D
    4.答案:A
    解析:,时,,
    ,时,,
    所以“,”是“”的充分而不必要条件,
    故选:A.
    5.答案:C
    解析:选项B,代入,可判断;
    选项C,结合定义域和,可判断;
    选项D,由得且,可判断
    解析:由于,,所以函数的周期不是,故选项A是假命题;
    当时,故选项B是假命题;
    函数的定义域关于原点对称,且满足,故函数是奇函数,即选项C是真命题;
    由得且,所以“”的必要不充分条件是“”,故选项D是假命题
    故选:C
    6.答案:C
    解析:是与的等差中项,
    ,,
    即,即,
    则,
    当且仅当,即时取等号.
    故选C.
    7.答案:D
    解析:以BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
    由题意可知,,,,
    设,其中,则,,
    故,
    所以当时,有最小值.
    故选:D.
    8.答案:B
    解析:感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
    则每轮新增感染人数为,
    经过n轮传染,总共感染人数:,
    ,当感染人数增加到1000人时,,化简得,
    由,故得,又平均感染周期为7天,
    所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天,
    故选:B
    9.答案:AB
    解析:数列满足:,,,
    ,,
    ,
    数列为首项为,公比为3的等比数列,故A正确;
    ,,故B正确;
    数列是递增数列,故C错误;
    数列的前项和为:,
    的前项和,故D错误.
    故选:AB
    10.答案:BD
    解析:即,,为钝角,故A错误;
    ,,
    ,,故B正确;
    ,当时,与同向,夹角不是锐角,故C错误;
    ,,
    延长AO交BC于D,如图所示.
    ,共线,存在实数,,
    D,B,C共线,,,
    ,,.
    ,,故D正确.
    故选:BD.
    11.答案:BD
    解析:对于选项A,若,则,即,,,则A错误;
    对于选项B,若函数为偶函数,则或,即,则B正确;
    对于选项C:若在上单调,则,但不一定小于,则C错误;
    对于选项D:若,则,当时,,在上单调,,解得,则D正确.
    故选:BD.
    12.答案:ABC
    解析:A选项,因为函数,时,由于恒成立,
    故要想恒正,则要满足,
    时,恒成立,,
    当时,在恒成立,
    故在单调递增,又当时,,
    故在上恒成立,满足要求,
    当时,令,故存,使得,
    当时,,当时,,
    故在上单调递减,
    又当时,,故时,,不合题意,舍去,
    综上:,
    当时,,,
    且,画出函数图象如下,
    故的单调递增区间为,,A错误;
    B选项,可以看出方程最多有两个实数解,不可能有三个实数根,B错误;
    C选项,当时,,则,
    则函数在处的切线方程为,
    将代入切线方程得,解得,
    当时,,则,
    则函数在处的切线方程为,
    将代入切线方程得,,
    其中满足上式,不满足,故C错误;
    D选项,当时,设上一点,
    ,当切点为,则,
    故切线方程为,此时有一条切线,
    当切点不为时,设切点为,
    则,此时有,
    即,其中表示直线的斜率,
    画出与的图象,
    最多有6个交点,故可作6条切线,
    时,当切点不为时,设切点为,
    则,,,
    ,,
    结合图象可得,存在一个点,
    使得过点的切线过上时函数的一点,
    故可得一条切线,
    当M点在时的函数图象上时,由图象可知,
    不可能作8条切线,综上,过图象上任何一点,
    最多可作函数f(x)的8条切线,D正确.
    故选:ABC
    13.答案:
    解析:当时,,解得:;
    当时,,,
    则数列是以1为首项,2为公比的等比数列,.
    故答案为:.
    14.答案:2
    解析:由题可知,因为,所以解得
    由数量积的定义可得
    15.答案:
    解析:,.
    ,
    .
    故答案为:
    16.答案:
    解析:因为,依题意得,,,
    显然,中有2项,其中1项为,1项为1,
    中有4项,其中1项为,1项为1,2项为0,
    中有8项,其中3项,3项为1,2项为0,
    由此可得中共有项,其中1和的项数相同,
    设中有项为0,所以,,
    从而①,
    因为表示把A中每个都变为,0,每个0都变为,1,每个1都变为0,1所得到的新的有序实数组,
    则②,
    ①+②得,③,
    所以④,
    ④-③得,,
    所以当n为奇数且时,
    ,
    经检验时符合,
    所以(n为奇数),
    当n为偶数时,则为奇数,
    又因为,
    所以,
    所以,
    当n为奇数时,,
    所以的前2n项和为
    .
    故答案为:.
    17.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)由,
    ,
    及,得.
    又,从而,所以.
    (2),
    当时,,
    当时,
    即时,取最大值1.
    所以的最大值为.
    18.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)证明:取PC的中点M,连接MF,EM,
    在中,因为M,F分别为PC,PD的中点,可得且,
    又因为E为AB的中点,所以且,
    所以且,所以四边形AEMF为平行四边形,所以,
    因为平面PCE,平面PCE,所以平面PCE.
    (2)因为底面ABCD是菱形,且,连接BD,可得为等边三角形,
    又因为E为AB的中点,所以,则,
    又由平面ABCD,以D为坐标原点,以DE,DC,DP所在的直线分别为x,y和z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
    因为底面ABCD是菱形,且,,
    可得,,,,
    则,,,
    设平面PAD的法向量为,则,
    取,可得,,所以,
    设直线PB与平面PAD所成的角为,
    则,
    所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为.
    19.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)因为,
    所以
    ,
    所以.
    (2)因为,所以当时,,得;
    当时,,
    所以(时也成立).
    因为,
    所以,
    所以
    ,
    故.
    20.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)选①,由可得:
    ,故有,
    又,;
    选②,,
    由正余弦定理得,,
    又,;
    选③,,由正弦定理可得,
    ,
    ,,,又,.
    (2)由余弦定理得,,.
    又有,当且仅当时取等号,
    可得.即的取值范围是.
    21.答案:(1)或()
    (2)当n为正偶数时,,当n为正奇数时,
    解析:(1)设等差数列的公差为d,
    ,,
    ,,成等比,,
    即,得,解得或,
    当时,;
    当时,;
    或().
    (2)因为等差数列的公差为整数,由(1)得,
    所以,则,
    .
    ①当n为偶数时
    .
    ②当n为奇数时
    .
    所以当n为正偶数时,,当n为正奇数时,.
    22.答案:(1)递增区间为,递减区间为
    (2)
    (3)证明见解析
    解析:(1)当时,,
    则,
    令,得;令,得,
    所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
    (2)由,得,
    设,
    当时,,,
    所以当时,,不符合题意.
    当时,,
    设,,
    其图象为开口向下的抛物线,对称轴为,
    当,即时,
    因为,
    所以当时,,即,
    此时单调递增,所以,不符合题意.
    当,即时,在上单调递减,
    所以,
    所以,所以在上单调递减,
    所以,符合题意.
    综上所述,m的取值范围为.
    (3)由(2)可得当时,,即,
    令,,则,
    所以,,…,,
    以上各式相加得,
    即,
    所以
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