湖南省郴州市北湖区鲁塘中学2024-2025学年九上数学开学监测模拟试题【含答案】

这是一份湖南省郴州市北湖区鲁塘中学2024-2025学年九上数学开学监测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在□ABCD中，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（ ）
A．11B．10C．9D．8
2、（4分）若是最简二次根式，则的值可能是（ ）
A．-2B．2C．D．8
3、（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40°B．36°C．30°D．25°
4、（4分）若与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．7B．11C．2D．1
5、（4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形
6、（4分）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
7、（4分）若分式有意义，则x的取值应该该满足（ ）
A．x＝B．x＝C．x≠D．x≠
8、（4分）下列结论中，错误的有：（ ）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在菱形中，其中一个内角为，且周长为，则较长对角线长为__________.
10、（4分）若式子有意义，则x的取值范围是________．
11、（4分）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是____小时．
12、（4分）计算=__________．
13、（4分）如图，正方形的边长为4，在这个正方形内作等边三角形（三角形的顶点可以在正方形的边上），使它们的中心重合，则的顶点到正方形的顶点的最短距离是___________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算
（1）分解因式：；
（2）解不等式组．
15、（8分）如图，直线y= x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点：直线y= x与AB于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的进度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分別交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠的图形的周长为L个单位长度，点E的运动时间为t(秒).
（1）直接写出点C和点A的坐标.
（2）若四边形OBQP为平行四边形，求t的值.
（3）016、（8分）我市射击队为了从甲、 乙 两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：
你认为应选择哪位运动员参加省运动会比赛．
17、（10分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
18、（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，BC=1．
（1）求OD长的取值范围；
（2）若∠CBD=30°，求OD的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知一组数据6，6，1，x，1，请你给正整数x一个值_____，使这组数据的众数为6，中位数为1．
20、（4分）一次函数图象过点日与直线平行，则一次函数解析式__________．
21、（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是9，则正方形D的边长为__________．
22、（4分）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a＞0的解集是_______
23、（4分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）.请你用所学过的有关统计知识，回答下列问题（数据：15，16，16，14，14，15的方差，数据：11，15，18，17，10，19的方差：
（1）分别求甲、乙两段台阶的高度平均数；
（2）哪段台阶走起来更舒服？与哪个数据（平均数、中位数、方差和极差）有关？
（3）为方便游客行走，需要陈欣整修上山的小路，对于这两段台阶路.在总高度及台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
25、（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1与x轴分别交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，求出点P的坐标．
26、（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
利用平行四边形的性质可知AO=2，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO=5，则BD=2BO=1．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2BO，AO=OC=2．
在Rt△ABO中，利用勾股定理可得：BO=
∴BD=2BO=1．
故选：B．
本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．解题的技巧是平行四边形转化为三角形问题解决．
2、B
【解析】
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∵是最简二次根式，
∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，
故选项中-1，，8都不合题意，
∴a的值可能是1．
故选B．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
3、B
【解析】
根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选：B．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
4、C
【解析】
几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式即为同类二次根式.
【详解】
解：，当m=7时，，故A错误；当m=11时，，此时不是最简二次根式，故B错误；当m=1时，，故D错误；
当m=2时，，故C正确；
故选择C.
本题考查了同类二次根式的定义.
5、C
【解析】
设这个多边形是n边形，根据题意得:（n–2）•110°=3×360°，解得:n=1．故选C．
6、B
【解析】
试题解析：当以点B为原点时，A（-1，-1），C（1，-1），
则点A和点C关于y轴对称，符合条件，
故选B．
【点睛】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．
7、C
【解析】
由题意根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】
解：分式有意义，则2x﹣3≠0，
解得，x≠．
故选：C．
本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分母不等于零是解题的关键．
8、B
【解析】
根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④.
【详解】
相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；
放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；
等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；
钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；
矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.
有2个错误，故选B.
本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可求的长，即可得的长．
【详解】
解：如图所示：
菱形的周长为，
，，，
，
，
，
．
．
故答案为：．
本题考查了菱形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
10、
【解析】
分析：根据被开方数为非负数列不等式求解即可.
详解：由题意得，
x-2≥0,
∴x≥2.
故答案为x≥2.
点睛：本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
11、6.4
【解析】
试题分析： 体育锻炼时间=（小时）.
考点：加权平均数.
12、
【解析】
分析：先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．
详解：原式=
=
点睛：本题主要考查二次根式的加减，比较简单．
13、
【解析】
当G，O，C共线时，△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短，即点G在对角线上，在△AOE中，∠CAE=45°，∠AOE=60°，OE=r，解三角形可求r，即可求最短距离．
【详解】
如图：当G，O，C共线时，△EFG的顶点到正方形ABCD的顶点的最短，即点G在对角线上．
作EM⊥AC于M
∵ABCD是正方形，AB=4
∴AC=，AO=，∠CAB=45°
∵△EFG是等边三角形
∴∠GOE=120°
∴∠AOE=60°
设OE为r
∵∠AOE=60°，ME⊥AO
∴MO=OE=r，ME=MO=r
∵∠MAE=45°，AM⊥ME
∴∠MAE=∠MEA=45°，
∴AM=ME=r，
∵AM+MO=AO
∴r+r=
∴r=
∵AG=AM=MO+OG=r+r+r=
∴GC=
故答案为：．
本题主要考查了两点间距离最短，由题意分析出距离最短的情况是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y（x−y）1；（1）−3≤x＜1．
【解析】
（1）直接提取公因式y，再利用公式法分解因式得出答案；
（1）分别解不等式进而得出不等式组的解集．
【详解】
解：（1）x1y−1xy1＋y3
＝y（x1−1xy＋y1）
＝y（x−y）1；
（1），
解①得：x＜1，
解②得：x≥−3，
故不等式组的解集为：−3≤x＜1．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、不等式组的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
15、（1），；（2）2；（3）.
【解析】
（1）把y= x+6和 y= x联立组成方程组，解方程组求得方程组的解，即可得点C的坐标；在直线y= x+6中，令y=0，求得x的值，即可得点A的坐标；（2）用t表示出点P、Q的坐标，求得PQ的长，由条件可知，BO∥QP，若使四边形OBQP为平行四边形，必须满足OB=QP，由此可得，即可求得t值；（3）由题意可知，正方形PQMN与△ACD重叠的图形是矩形，由此求得L与t之间的函数解析式即可.
【详解】
（1）C的坐标为（ ），A的坐标为（8,0）；
（2）∵点B直线y= x+6与y轴的交点，
∴B（0,6），
∴OB=6，
∵A的坐标为（8,0），
∴OA=8，
由题意可得，OE=8-t，
∴P（8-t，），Q（8-t，）
∴=10-2t，
由条件可知，BO∥QP,若使四边形OBQP为平行四边形，必须满足OB=QP,
所以有 ,解得t=2；
（3）当0＜t<5时， .
本题是一次函数与结合图形的综合题，根据题意求得QP=10-2t是解决问题的关键.
16、应选择甲运动员参加省运动会比赛．
【解析】
试题分析:先分别计算出甲和乙成绩的平均数，再利用方差公式求出甲和乙成绩的方差，最后根据方差的大小进行判断即可．
解：甲的平均成绩是：（10＋9＋8＋9＋9）＝9.
乙的平均成绩是：（10＋8＋9＋8＋10）＝9.
甲成绩的方差是：
＝[（10－9）2＋（9－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2＋（9－9）2]÷5＝0.4.
乙成绩的方差是：
＝[（10－9）2＋（8－9）2＋（9－9）2＋（8－9）2＋（10－9）2]÷5＝0.8.
∵ ，
∴ 甲的成绩较稳定，
∴ 应选择甲运动员参加省运动会比赛．
点睛:本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数的程度越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数的程度越小，即波动越小，数据越稳定．
17、（1）
（2）初中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定
【解析】
解：（1）填表如下：
（2）初中部成绩好些．
∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵，
，
∴＜，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答．
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可．
（3）分别求出初中、高中部的方差比较即可．
18、（1）；（2）．
【解析】
（1）根据三角形三边关系即可求解；
（2）过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E，构建直角三角形，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，BC=1，
∴AB=CD=5，BC=AD=1，OD=BD，
∴在△ABD中，，
∴．
（2）过点D作DE⊥BC交BC延长线于点E，
∵∠CBD=30°，
∴DE=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD=DE，
设OD为x，则DE=x，BD=2x，
∴BE=，
∵BC=1，
∴CE=BE-BC=-1，
在Rt△CDE中，，
解得，，
∵BE=＞BC=1，
∴不合题意，舍
∴OD=．
故答案为：（1）；（2）．
本题考查了平行四边形性质、三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练解一元二次方程是解决本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2
【解析】
由数据1、1、6、6、x的众数为6、中位数为1知x＜1且x≠1，据此可得正整数x的值．
【详解】
∵数据1、1、6、6、x的众数为6、中位数为1，
∴x＜1且x≠1，
则x可取2、3、4均可，
故答案为2．
考查了中位数、众数的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
20、
【解析】
设一次函数解析式为y=kx+b，先把（0，-1）代入得b=-1，再利用两直线平行的问题得到k=-3，即可得到一次函数解析式．
【详解】
解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，-1）代入得b=-1，
∵直线y=kx+b与直线y=1-3x平行，
∴k=-3，
∴一次函数解析式为y=-3x-1．
故答案为：y=-3x-1．
本题考查两直线相交或平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
21、3
【解析】
由勾股定理可知，两只角边的平方和等于斜边的平方，在此题中，各边的平方可以代表每个正方形的面积.建立等式，通过移项可得正方形D的面积，再开平方得到边长.
【详解】
每个正方形的面积=直角三角形各边的平方
再由勾股定理可联立等式
即，又正方形A、B、C的面积和是9
则，所以，所以正方形D的边长为
本题考察了直角三角形的勾股定理的应用，务必清楚的是题中每个正方行的面积=直角三角形各边的平方.
22、-3【解析】
kx+b＞x+a＞0的解集是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象的上边部分，且在x轴上方部分，对应的x的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：观察图像可得：kx+b＞x+a＞0的解集是-3故答案为：-3本题考查一次函数的图象与一元一次不等式的关系，理解不等式kx+b＞x+a＞0的解集是：一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象的上边且在x轴上方部分，对应的x的取值范围是关键．
23、
【解析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）甲台阶高度的平均数15，乙台阶高度的平均数15；（2）甲段路走起来更舒服一些；（3）每个台阶高度均为15cm，游客行走更舒服．
【解析】
分析：（1）根据图中所给的数据，利用平均数公式求解即可；
（2）根据平均数、中位数、方差和极差的特征回答即可；
（3）结合方差，要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小，据此提出合理性的整修建议.
详解：（1）甲台阶高度的平均数：（15+16+16+14+14+15）÷6=15，
乙台阶高度的平均数：（11+15+18+17+10+19）÷6=15.
（2）甲段路走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．
（3）每个台阶高度均为15cm（原平均数）使得方差为0，游客行走更舒服．
点睛：本题主要考查中位数的概念、平均数计算公式以及方差的计算.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定.反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.在本题中，根据题意求出方差，进而利用方差的意义进行分析即可.
25、 (1)y＝﹣x2+x+1；(2)点P的坐标为(1，)或(2，1)．
【解析】
（1）根据抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A（-1，0），B（3，0），可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据题意和（1）中的抛物线解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到直线BC的函数解析式，然后根据在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，即可求得点P的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A（-1，0），B（3，0），
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1；
（2）∵y=-x2+x+1，
∴当x=0时，y=1，
即点C的坐标为（0，1），
∵B（3，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=−x+1，
设点P的坐标为（p，-p2+p+1），
将x=p代入y=−x+1得y=−p+1，
∵△PBC面积为1，
∴，
解得，p1=1，p2=2，
当p1=1时，点P的坐标为（1，），
当p2=2时，点P的坐标为（2，1），
即点P的坐标为（1，）或（2，1）．
本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26、证明见解析.
【解析】
试题分析：首先根据互余的等量代换，得出∠EBC=∠EBD，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明．
试题解析：∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC.∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB-∠BDC=∠ACB-∠BCD，即∠ECD=∠EDC，即DE=CE，∴点E在CD的垂直平分线上.又∵BD=BC，∴点B在CD的垂直平分线上，∴BE垂直平分CD．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
甲
10
9
8
9
9
乙
10
8
9
8
10
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
高中部
85
100
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
85
85
高中部
85
80
100
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
85
85
85
高中部
85
80
100