湖北省孝感汉川市2024-2025学年数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份湖北省孝感汉川市2024-2025学年数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）数据2，3，5，5，4的众数是（ ）.
A．2B．3C．4D．5
2、（4分）计算的结果等于( )
A．B．C．D．
3、（4分）要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，，点的坐标为，且点在的内部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
5、（4分）下列式子中，不可以取1和2的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果可节省（ ）元．
A．4B．5C．6D．7
7、（4分）计算的结果是
A．﹣3B．3C．﹣9D．9
8、（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，矩形中，是上一点（不与重合），点在边上运动，分别是的中点，线段长度的最大值是__________.
10、（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，则BD=________．
11、（4分）如图，在矩形中，，过矩形的对角线交点作直线分别交、于点，连接，若是等腰三角形，则____.
12、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点；若AD=8cm，则OE的长为_______．
13、（4分）如图，平分，，，则______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某市现在有两种用电收费方法：
小明家所在的小区用的电表都换成了分时电表.
解决问题：
（1）小明家庭某月用电总量为千瓦·时（为常数）；谷时用电千瓦·时，峰时用电千瓦·时，分时计价时总价为元，普通计价时总价为元，求，与用电量的函数关系式.
（2）小明家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？
（3）下表是路皓家最近两个月用电的收据：
根据上表，请问用分时电表是否合算？
15、（8分）如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．
16、（8分）已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，，△BCD的周长是24cm．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△BCD与△ABD的面积比．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，AB=5,OA:OB =3:4.
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是轴上的点，点Q是第一象限内的点.若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．
18、（10分）解方程
（1）
（2）
（3）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一个正数的平方根分别是x+1和x﹣3，则这个正数是____________
20、（4分）周末，小李从家里出发骑车到少年宫学习绘画，学完后立即回家，他离家的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，有下列结论：①他家离少年宫30km；②他在少年宫一共停留了3h；③他返回家时，离家的距离y(km)与时间x(h)之间的函数表达式是y＝－20x＋110；④当他离家的距离y＝10时，时间x＝.其中正确的是________(填序号)．
21、（4分）不等式 的解集为________.
22、（4分）已知一组数据6，6，1，x，1，请你给正整数x一个值_____，使这组数据的众数为6，中位数为1．
23、（4分）要使在实数范围内有意义，a 应当满足的条件是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，，分别以为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和，依次连接，连接交于点.
（1）判断四边形的形状并说明理由
（2）求的长.
25、（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．
根据图表信息，回答问题：
（1）直接写出表中，，，的值；
（2）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；
（3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？
26、（12分）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为1．
故选：D．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
2、D
【解析】
利用乘法法则计算即可求出值
【详解】
解：原式=-54，
故选D．
此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
3、C
【解析】
根据分式有意义的条件，即可解答.
【详解】
分式有意义的条件是：分母不等于零，a-4≠0，
∴
所以选C.
此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.
4、A
【解析】
先根据函数解析式求出点A、B的坐标，再根据题意得出，，解不等式组即可求得．
【详解】
函数，
，，
点在的内部，
，，
．
故选：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数与坐标轴的特征及依据题意列出不等式是解题的关键.
5、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
A.中a≥0，所以a可以取1和2，故选项A不符合题意；
B.中，即a≥1或a≤-1，所以a可以取1和2，故选项B不符合题意；
C.中，-a+3≥0，即a≤3，所以a可以取1和2，故选项C不符合题意；
D，当a取1和2时，二次根式无意义，故选项D符合题意.
故选D.
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
6、C
【解析】
观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式，再分别求出当x=1和x=5时，y值，用10×5-44即可求出一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果节省的钱数．
【详解】
解：设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴y=10x(0≤x≤2)；
当x>2时，将（2，20），（4，36）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴y=8x+4（x≥2）．
当x=1时，y=10x=10，
当x=5时，y=44，
10×5-44=6（元），
故选C．
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式是解题的关键．
7、B
【解析】
利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】
=|﹣3|=3.
故选B.
8、C
【解析】
先求出不等式②的解集，然后根据：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解确定出不等式组的解集即可.
【详解】
，
解②得，
x≤3,
∴不等式组的解集是-2在数轴上表示为：
故选C.
本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、5
【解析】
根据矩形的性质求出AC,然后求出AP的取值范围,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP.
【详解】
解:∵矩形ABCD中，AB=6,BC=8 ,
∴对角线AC=10,
∵P是CD边上的一动点,
∴8≤AP≤10,
连接AP,
∵M,N分别是AE、PE的中点,
∴MN是△AEP的中位线,
∴, MN=AP.
∴MN最大长度为5.
本题考查了矩形的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记性质以及定理并求出AP的取值范围是解题的关键.
10、1
【解析】
先由矩形的性质求出CD= AB=3，再根据勾股定理可直接算出BD的长度.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD= AB=3，
由勾股定理可知，BD＝＝1.
故答案为1．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的知识点，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
11、或
【解析】
连接AC，由矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，由ASA证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE=AF时，设AE=AF=CF=x，则BF=6-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当AF=EF时，作FG⊥AE于G，则AG=AE=BF，设AE=CF=x，则BF=6-x，AG=x，得出方程x=6-x，解方程即可；
③当AE=FE时，作EH⊥BC于H，设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，求出FH=CF-CH=2x-6，在Rt△EFH中，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
【详解】
解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE=AF时，如图1所示：
设AE=AF=CF=x，则BF=6-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：12+（6-x）2=x2，
解得：x=，
即AE=；
②当AF=EF时，
作FG⊥AE于G，如图2所示：
则AG=AE=BF，
设AE=CF=x，则BF=6-x，AG=x，
所以x=6-x，
解得：x=1；
③当AE=FE时，作EH⊥BC于H，如图3所示：
设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，
∴FH=CF-CH=x-（6-x）=2x-6，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：12+（2x-6）2=x2，
整理得：3x2-21x+52=0，
∵△=（-21）2-1×3×52＜0，
∴此方程无解；
综上所述：△AEF是等腰三角形，则AE为或1；
故答案为：或1．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程、等腰三角形的性质、分类讨论等知识；根据勾股定理得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．
12、4cm
【解析】
先说明OE是△ACD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【详解】
∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∵AD=8cm，
∴OE=AD=×8=4cm，
故答案为：4cm．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键.
13、50
【解析】
由平分，可求出∠BDE的度数，根据平行线的性质可得∠ABD=∠BDE.
【详解】
解：∵，
∴∠ADE=180°-80°=100°，
∵平分，
∴∠BDE=∠ADE=50°，
∵，
∴∠ABD=∠BDE=50°.
故答案为：50.
本题考查平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）当x＞时，使用分时电表比普通电表合算；当x=时，两种电表费用相同；当x＜时，使用普通电表比普通电表合算；（3）用分时电表更合算.
【解析】
（1）根据题意解答即可；
（2）根据题意列不等式解答即可；
（3）根据（1）的结论解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；
（2）小明家庭使用分时电表不一定比普通电表合算．
当y1＜y2，即0.35x+0.55（a-x）＜0.52a，解得x＞，
即x＞时，使用分时电表比普通电表合算；
当y1=y2，即0.35x+0.55（a-x）=0.52a，解得x=，
即x=时，两种电表费用相同；
当y1＞y2，即0.35x+0.55（a-x）＞0.52a，解得x＜，
即x＜时，使用普通电表比普通电表合算；
（3）用分时电表的费用为：0.35×181+0.55×239=194.8（元）；
使用普通电表的费用为：0.52×（181+239）=218.4（元）．
所以用分时电表更合算．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
15、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质得AB∥CD， 可得∠ABC+∠BCD=180°，又BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠EBC+∠FCB=90°，可得∠BGC=90°；
（2）作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分，在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD．
∴∠EBC+∠FCB=90°．
∴∠BGC=90°．
即BE⊥CF．
（2）求解思路如下：
a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．
b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；
c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=；
d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．
【点睛】本题考核知识点：平行四边形，菱形. 解题关键点：熟记平行四边形和菱形的性质和判定.
16、 (1)36cm;(2)
【解析】
试题分析：（1）根据相似三角形的周长的比等于相似比进行计算即可；
（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
试题解析：（1） ∵，
∴∽
∴
∵的周长是cm
∴的周长是
（2） ∵∽
∴
∴
17、（1）y=+4 （2）（3，5）或（3，）
【解析】
（1）首先根据已知条件以及勾股定理求得OA、OB的长度，即求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）分P在B点的上边和在B的下边两种情况画出图形进行讨论，求得Q的坐标．
【详解】
（1）∵OA:OB=3:4，AB=5，
∴根据勾股定理，得OA=3，OB=4，
∵点A、B在x轴、y轴上，
∴A(3，0)，B(0，4)，
设直线l表达式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l过点A(3，0)，点B（0，4），
∴ ，
解得 ，
∴直线l的表达式为y=+4；
（2）如图，当四边形BP1AQ1是菱形时，则有BP1=AP1=AQ1，
则有OP1=4-BP1，
在Rt△AOP1中，有AP12=OP12+AO2，
即AQ12=（4-AQ1）2+32，
解得：AQ1=，所以Q1的坐标为（3，）；
当四边形BP2Q2A是菱形时，则有BP2 =AQ2=AB=5，
所以Q2的坐标为（3，5），
综上所述，Q点的坐标是（3，5）或（3，）．
本题考查了一次函数的性质、勾股定理、菱形的判定与性质，熟练掌握待定系数法、运用分类讨论与数形结合思想是解题的关键.
18、（1） （2） （3）
【解析】
（1）运用直接开平方法；（2）运用配方法；（3）运用公式法.
【详解】
解（1）
（2）
所以
（3）
因为a=1,b=-4,c=-7

所以，

所以
考核知识点：解一元二次方程.掌握各种方法是关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
【详解】
根据题意知x+1+x-3=0，
解得：x=1，
∴x+1=2
∴这个正数是22=1
故答案为：1．
本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
20、①②③
【解析】
分析：根据图象能够理解离家的距离随时间的变化情况进行判断即可．
详解：①他家离少年宫=30km，正确；
②他在少年宫一共停留了4﹣1=3个小时，正确；
③他返回家时，y（km）与时间x（h）之间的函数表达式是y=﹣20x+110，正确；
④当他离家的距离y=10km时，时间x=5（h）或x==(h)，错误．
故答案为：①②③．
点睛：本题考查了一次函数的应用，根据图象能够理解离家的距离随时间的变化情况，是解决本题的关键．
21、
【解析】
首先去分母，再系数化成1即可；
【详解】
解：去分母得： -x≥3
系数化成1得： x≤-3
故答案为：x≤-3
本题考查了解一元一次不等式，主要考查学生的计算能力．
22、2
【解析】
由数据1、1、6、6、x的众数为6、中位数为1知x＜1且x≠1，据此可得正整数x的值．
【详解】
∵数据1、1、6、6、x的众数为6、中位数为1，
∴x＜1且x≠1，
则x可取2、3、4均可，
故答案为2．
考查了中位数、众数的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
23、a⩽3.
【解析】
根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】
∵在实数范围内有意义，
∴3−a⩾0，
解得a⩽3.
故答案为：a⩽3.
此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其有意义的条件.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析（2）6
【解析】
（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形ABCD为菱形；
（2）根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，然后利用勾股定理计算出OB，从而得到BD的长
【详解】
（1）由图可知，垂直平分，且
所以，四边形为菱形.
（2）因为且平分.
在中，
的长为6.
此题考查菱形的判定，垂直平分线的应用，解题关键在于得到四边相等
25、（1）；（2）二；一；（3）乙，理由见解析．
【解析】
（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率；
（2）利用方差、优秀率、合格率的意义下结论即可；
（3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响的情况考虑分析即可．
【详解】
解：（1）通过观察图中数据可得：
；
；
二班共有：人，
∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列，
∴中位数为20、21的平均数，即：；
二班合格的人数有：人，总人数为40人，
∴，
故答案为：；
（2）一班方差为：2.11，二班方差为4.28，∴二班的成绩波动较大，
一班优秀率为20%，合格率为92.5%，二班的优秀率为10%，合格率为85%，∴一班的阅读水平更好些；
故答案为：二；一；
（3）乙同学的说法较合理，
平均分受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数和中位数进行分析要更加客观，二班的众数和中位数都比一班的要好，因此乙同学推断比较科学合理，更客观．
本题考查了众数、中位数、方差的意义及各个统计量反映数据的特征，准确把握各个统计量的意义是解决此类题目的关键．
26、证明见解析
【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明．
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】
证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC．
∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD．
∴∠EAM=∠FCN．
又∵AE=CF
∴△AEM≌△CFN（ASA）．
（2） ∵由（1）△AEM≌△CFN
∴AM=CN．
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴ABCD
∴BMDN．
∴四边形BMDN是平行四边形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
分时电表
普通电表
峰时（8:00～21:00）
谷时（21:00到次日8:00）
电价0.55元/千瓦·时
电价0.35元/千瓦·时
电价0.52元/千瓦·时
谷时用电（千瓦·时）
峰时用电（千瓦·时）
181
239
班级
平均分
方差
中位数
众数
合格率
优秀率
一班
2.11
7
92.5%
20%
二班
6.85
4.28
8
10%