河北省沧州市名校2025届数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份河北省沧州市名校2025届数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）正方形ABCD内有一点E，且△ABE为等边三角形，则∠DCE为（ ）
A．15°B．18°C．1．5°D．30°
3、（4分）如图，在中，分别是边的中点．已知，则四边形的周长为( )
A．B．C．D．
4、（4分）已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图所示的图象反映的过程是：宝室从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买铅笔，然后散步回家图中x表示时间，y表示宝宝离家的距离，那么下列说法正确的是
A．宝宝从文具店散步回家的平均速度是
B．室宝从家跑步去体育馆的平均速度是
C．宝宝在文具店停留了15分钟
D．体育馆离宝宝家的距离是
6、（4分）若x、y都是实数，且，则xy的值为
A．0B．C．2D．不能确定
7、（4分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．0
8、（4分）一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长为（ ）
A．13B．14C．D．13或
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如果一组数据a ,a ,…a的平均数是2，那么新数据3a ,3a ,…3a的平均数是______．
10、（4分）已知y与2x成正比例，且当x＝1时y＝4，则y关于x的函数解析式是__________．
11、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y1的图象与直线y1=x+1交于点A（1，a）．则：
（1）k的值为______；
（1）当x满足______时，y1＞y1．
12、（4分）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_____．
13、（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，连接BE，点F、G分别是BE、BC的中点，若AB=6，BC=4，则FG的长_________________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：，其中x=．
15、（8分）如图，四边形是正方形，是边上一点，是的中点，平分.
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，求的长.
16、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，AD是△ABC的角平分线．求作AB的垂直平分线MN交AD于点E，连接BE；并证明DE＝DB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
17、（10分）如图，正方形中，为上的点，是的延长线的点，且，过作垂足为交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18、（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知点及第二象限的动点，且．设的面积为，则关于的函数关系式为________．
20、（4分）已知一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，写出一个符合条件的b的值为_____.
21、（4分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点的坐标为______．
22、（4分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AD  2 AB ；CF 平分 BCD 交 AD 于 F ，作 CE  AB ， 垂足 E 在边 AB 上，连接 EF ．则下列结论：① F 是 AD 的中点； ② S△EBC  2S△CEF；③ EF  CF ； ④ DFE  3AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
23、（4分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为________

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE
（1）求证：△ADE≌△CBF.
（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，该判断当BE的长度为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.
25、（10分）学习了统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，图（1）和图（2）是他通过采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题．
（1）该班共有 名学生；
（2）在图（1）中，将表示“步行”的部分补充完整；
（3）扇形图中表示骑车部分所占扇形的圆心角是 ．
（4）如果小明所在年级共计800人，请你根据样本数据，估计一下该年级步行上学的学生人数是多少？
26、（12分）某校计划厂家购买A、B两种型号的电脑，已知每台A种型号电脑比每台B种型号电脑多01.万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万元购买B种型号电脑的数量相同；
（1）求A、B两种型号电脑单价各为多少万元？
（2）学校预计用不多于9.2万元的资金购进20台电脑，其中A种型号电脑至少要购进10台，请问有哪几种购买方案？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不符合定义，不是轴对称图形，故本选项错误； B、符合定义是轴对称图形，故本选项正确； C、不符合定义，不是轴对称图形，故本选项错误； D、不符合定义，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2、A
【解析】
解：∵△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60° ，
∴∠EAC=40°，
又∵AE=AC ，
∴∠AEC=∠ACE ==75°，
∴∠DCE="90°-75°" =45°，
故选A．
考点：4．正方形的性质；4．等边三角形的性质；4．三角形的内角和．
3、C
【解析】
根据三角形中位线定理、线段中点的定义解答．
【详解】
解：∵D，E分别是边BC，CA的中点，
∴DE＝AB＝2，AF＝AB＝2，
∵D，F分别是边BC，AB的中点，
∴DF＝AC＝3，AE＝AC＝3，
∴四边形AFDE的周长＝AF＋DF＋DE＋AE＝2＋3＋2＋3＝10，
故选：C．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
4、D
【解析】
根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【详解】
解：一元二次方程，则它的一次项系数为-2，
故选：D．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
5、A
【解析】
根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】
解：A、宝宝从文具店散步回家的平均速度是，正确；
B、室宝从家跑步去体育馆的平均速度是，错误；
C、宝宝在文具店停留了分钟，错误；
D、体育馆离宝宝家的距离是，错误.
故选：A．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
6、C
【解析】
由题意得，2x−1⩾0且1−2x⩾0，
解得x⩾且x⩽，
∴x=，
y=4，
∴xy=×4=2.
故答案为C.
7、A
【解析】
分式的值为0，分子为0，也就是x-2=0，即x=2，分母不能为0，x+2≠0，即x≠-2，所以选A.
【详解】
根据题意x-2=0且x+2≠0，所以x=2，选A.
本题考查分式的性质，分式的值为0，分子为0且分母不能为0，据此作答.
8、D
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】
当12和5均为直角边时，第三边==13；
当12为斜边，5为直角边，则第三边==，
故第三边的长为13或．
故选D．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6
【解析】
根据所给的一组数据的平均数写出这组数据的平均数的表示式，把要求的结果也有平均数的公式表示出来，根据前面条件得到结果．
【详解】
解：一组数据，，，的平均数为2，
，
，，，的平均数是
故答案为6
本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
10、y＝4x
【解析】
根据y与1x成正比例，当x=1时，y=4，用待定系数法可求出函数关系式．
【详解】
解：设所求的函数解析式为：y=k•1x，
将x=1，y=4代入，得：4=k•1，
所以：k=1．
则y关于x的函数解析式是：y=4x．
故答案为：y=4x．
本题考查待定系数法求解析式，解题关键是根据已知条件，用待定系数法求得函数解析式k的值，写出y关于x的函数解析式．
11、2； x＜﹣2或0＜x＜2．
【解析】
(2)将A点坐标分别代入两个解析式，可求k；
(2)由两个解析式组成方程组，求出交点，通过图象可得解．
【详解】
(2)∵函数y2的图象与直线y2=x+2交于点A(2，a)，
∴a=2+2=2，
∴A(2，2)，
∴2，
∴k=2，
故答案为：2；
(2)∵函数y2的图象与直线y2=x+2相交，
∴x+2，
∴x2=2，x2=﹣2，
∵y2＞y2，∴x＜﹣2或0＜x＜2，
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2.
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，关键是熟练利用图象表达意义解决问题．
12、．
【解析】
解：如图3所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=3，
∴AA′=6，AE′=3．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=AE′=3；CQ=DC﹣CQ=3﹣3=3，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴，即，BP=，CP=BC﹣BP==，
S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP=9﹣×3×3﹣×3×﹣×3×=，
故答案为．
本题考查3．轴对称-最短路线问题；3．正方形的性质．
13、1
【解析】
先由平行四边形的性质以及角平分线的定义判断出∠DAE=∠DEA，继而求得CE的长，再根据三角形中位线定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，DC=AB=6，DC//AB，
∴∠EAB=∠AED，
∵∠EAB=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=4，
∴CE=CD-DE=6-4=2，
∵点F、G分别是BE、BC的中点，
∴FG=EC=1，
故答案为1.
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握相关内容是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、，
【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
＝．
当x＝时，
原式＝＝．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15、（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
（1）利用平行线的性质得出，再根据角平分线的性质即可解答
（2）过点作交于点，连接，利用HL证明，即可解答
（3）设，则，再利用勾股定理求出a即可解答.
【详解】
（1）如图所示：
与的数量关系：，
理由如下：
，
∵平分，
，
.
（2）如图所示：
过点作交于点，连接．
∵平分，
，
又是的中点，，
，
在和中，
，
，
又，
．
（3）设，则，
在中，由勾股定理得：

解得：，
．
此题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解题关键在于作辅助线.
16、见解析．
【解析】
如图,利用基本作图作MN垂直平分AB得到点E,先计算出∠BAC=36°,再利用AD是△ABC的角平分线得到∠DAB=18°,再利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EBA=∠EAB=18°,接着利用三角形外角性质得到∠DEB=36,然后计算出∠DBE=36°得到∠DEB=∠DBE,从而得到DE=DB
【详解】
如图，点E为所作；
∵∠C＝90°，∠B＝54°，
∴∠BAC＝36°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAB＝ ×36°＝18°，
∵MN垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠EAB＝18°，
∴∠DEB＝∠EAB+∠EBA＝36°，
∵∠DBE＝54°﹣18°＝36°，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB．
此题考查线段垂直平分线的性质和作图一基本作图，解题关键在于利用垂直平分线的性质解答
17、（1）见解析；（2）1
【解析】
（1）由正方形的性质可得∠ABC=90°，AD∥BC，由“AAS”可证△ABM≌△EFA，可得AF=BM；
（2）由勾股定理可求AM=13，由全等三角形的性质可得AM=AE=13，即可求DE的长．
【详解】
（1）证明：四边形是正方形
又
（2）解：在中，
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
18、证明见详解.
【解析】
（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可.
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可.
【详解】
（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形
∴AG=DC
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=AG，DF=DC，
即GE=DF，GE∥DF
∴四边形DEGF是平行四边形
（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB∥DG
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据即可列式求解．
【详解】
如图，∵
∴
∴点在上，
∴，
故．
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、三角形的面积公式．
20、2
【解析】
图象经过一、三象限，还过第二象限，所以直线与y轴的交点在正半轴上，则b＞2．
【详解】
解：∵图象经过第一、二、三象限，
∴直线与y轴的交点在正半轴上，则b＞2．
∴符合条件的b的值大于2即可．
∴b=2，
故答案为2．
考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于2或是小于2．
21、
【解析】
根据图示可知A点坐标为（-3，-1），
根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数
∴旋转后得到的坐标为（3，1），
根据平移“上加下减”原则，
∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，-1），
22、①③④.
【解析】
由角平分线的定义和平行四边形的性质可证得CD=DF，进一步可证得F为AD的中点，由此可判断①；延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及①的结论可得△AEF≌△DMF，结合直角三角形的性质可判断③；结合EF=FM，利用三角形的面积公式可判断②；在△DCF和△ECF中利用等腰三角形的性质、外角的性质及三角形内角和可得出∠DFE=3∠AEF，可判断④，综上可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，
∴∠DFC=∠DCF，∴CD=DF，
∵AD=2AB， ∴AD=2CD，
∴AF=FD=CD，即F为AD的中点，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，∴AF=FD，
又∵∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，
∴∠ECD=∠AEC=90°，
∵FM=EF，∴FC=FM，故③正确；
∵FM=EF，∴，
∵MC＞BE，
∴＜2，故②不正确；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°－x，
∴∠EFC=180°－2x，
∴∠EFD=90°－x+180°－2x=270°－3x ，
∵∠AEF=90°－x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确；
综上可知正确的结论为①③④.
故答案为①③④.
本题以平行四边形为载体，综合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半的性质、三角形的内角和和等腰三角形的判定和性质，思维量大，综合性强. 解题的关键是正确作出辅助线，综合运用所学知识去分析思考；本题中见中点，延长证全等的思路是添辅助线的常用方法，值得借鉴与学习.
23、1
【解析】
试题解析：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；
C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形的另一直角边的平方，
则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，
因为最大的正方形的边长为5，则其面积是1，即正方形A，B，C，D的面积的和为1．
故答案为1．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.
【解析】
（1）由平行四边形的性质可得∠ADE=∠CBF，AD=BC，利用SAS即可证明△ADE≌△CBF；（2）连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，利用勾股定理可求出DE的长，即可用x表示出OE和OB的长，由菱形的性质可得AC⊥EF，即可证明平行四边形ABCD是菱形，可得AB=AD=4，在Rt△AOB和Rt△AOE中，分别利用勾股定理表示出OA2，列方程求出x的值即可得答案.
【详解】
（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠∠ADE=∠CBF，AD=BC，
又∵BF=DE，
∴△ADE≌△CBF.
（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.理由如下：
连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，
∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，
∴BF=DE==5，
∴OE=，OB=，
∵四边形AECF为菱形，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
在Rt△AOB和Rt△AOE中，OA2=AB2-OB2=AE2-OE2，即42-()2=32-()2，
解得：x=.
∴BE的长度为时，四边形AECF为菱形.
本题考查了全等三角形的判定、菱形的判定与性质，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出平行四边形ABCD是菱形，进而求出AB的长是解题关键.
25、（1）50；（2）见解析；（3）108°；）（4）160.
【解析】
（1）根据乘车的人数是25，所占的百分比是50%，即可求得总人数；
（2）利用总人数乘以步行对应的百分比即可求得步行的人数，从而补全统计图；
（3）根据三部分百分比的和是1求得“骑车”对应的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）利用总人数800乘以步行对应的百分比即可．
【详解】
解：（1）该班总人数是：25÷50%＝50（人），
故答案为：50；
（2）步行的人数是：50×20%＝10（人）．
；
（3）“骑车”部分所对应的百分比是：1﹣50%﹣20%＝30%，
所以扇形图中表示骑车部分所占扇形的圆心角为360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（4）估计该年级步行上学的学生人数是：800×20%＝160（人）．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及样本估计总计．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
26、（1）A、B两种型号电脑单价分别为0.5万元和0.4万元；（2）有三种方案：购买A种型号电脑10台，B种型号电脑10台；购买A种型号电脑11台，B种型号电脑9台；购买A种型号电脑12台，B种型号电脑8台.
【解析】
（1）A种型号的电脑每台价格为x万元，则B种型号的电脑每台价格为(x+0.1)万元,根据题意可列出分式方程进行求解；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑(20-y)台，根据题意可列出不等式组即可求解.
【详解】
（1）A种型号的电脑每台价格为x万元，则B种型号的电脑每台价格为(x-0.1)万元,根据题意得，
解得x=0.5,
经检验，x=0.5是原方程的解，x-0.1=0.4，
故A、B两种型号电脑单价分别为0.5万元和0.4万元.
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑(20-y)台，
根据题意得，解得y≤12，
又A种型号电脑至少要购进10台，
∴10≤y≤12，
故有三种方案：
购买A种型号电脑10台，B种型号电脑10台；
购买A种型号电脑11台，B种型号电脑9台；
购买A种型号电脑12台，B种型号电脑8台；
此题主要考查分式方程、不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系、不等式关系进行列式求解.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分