2023-2024学年北京师大海口附中高一（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京师大海口附中高一（上）期中数学试卷，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝5﹣4x}，则A∩B＝（ ）
A．（1，1）B．{（1，1）}
C．（﹣1，﹣1）D．{（﹣1，﹣1），（1，1）}
2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）
C．[1，2）D．[1，+∞）
3．（5分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．y＝|x|C．D．
4．（5分）设a，b，c为△ABC的三条边长，则“a＝b”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xa在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）设函数f（x）＝ax3+bx﹣1，且f（﹣1）＝1，则f（1）等于（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
7．（5分）已知x＜0，﹣1＜y＜0，则（ ）
A．xy＜xy2＜xB．xy2＜x＜xyC．x＜xy＜xy2D．x＜xy2＜xy
8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f（1）＝0，f（0）≠0，则下列命题错误的是（ ）
A．f（0）＝1
B．f（x）的图象关于点（2，0）对称
C．f（2024）＝1
D．f（x）是偶函数
二、多项选择题（每题5分，共20分）
（多选）9．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝2x与g（x）＝
B．f（x）＝与f（x）＝
C．f（x）＝2x2+1与g（t）＝2t2+1
D．f（x）＝x与g（x）＝
（多选）10．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣x（1+x），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝1
C．f（x）无最小值，也无最大值
D．f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）
（多选）11．（5分）已知x＞0，y＞0且3x+2y＝10，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最大值为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．
（多选）12．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（ ）
A．函数f（x）的值域为[0，+∞）
B．当x∈[4，8]时，函数f（x）的最大值为4
C．函数f（x）在区间[10，16]上单调递减
D．f（2023）＝50
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）写出命题“∃x＞0，x2﹣1≤0”的否定： ．
14．（5分）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3，且f（t）＝6，则t＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax在区间[﹣1，1]上有最小值﹣3，则实数a的值为 ．
16．（5分）若f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，又f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为 ．
四、解答题（本题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜4}，B＝{x|x﹣a＜0}．
（1）当a＝2时，求A∪（∁RB）；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2•x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，m∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，
（1）当a＝2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集．
20．（12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理量为x（吨）时的月处理成本记为W（x）（元），且二者可以近似表示为函数关系．已知处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
21．（12分）已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（t2﹣1）+f（1﹣t）＜0，求t的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1（a∈R）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，且n﹣m≤|a（b﹣1）|恒成立，求实数b的取值范围．
2023-2024学年北京师大海口附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|y＝5﹣4x}，则A∩B＝（ ）
A．（1，1）B．{（1，1）}
C．（﹣1，﹣1）D．{（﹣1，﹣1），（1，1）}
【考点】交集及其运算．
【答案】B
【分析】解方程组，求出A，B的交集即可．
【解答】解：由，解得：，
故A∩B＝{（1，1）}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，考查转化思想，是基础题．
2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）
C．[1，2）D．[1，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【答案】A
【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．
【解答】解：由题意 解得x∈[1，2）∪（2，+∞）
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．
3．（5分）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上单调递增且是奇函数的是（ ）
A．B．y＝|x|C．D．
【考点】函数的单调性；函数的奇偶性．
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，是反比例函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，故A错误；
对于B，设f（x）＝y＝|x|，则f（﹣x）＝|﹣x|＝|x|＝f（x），所以y＝|x|是偶函数，故B错误；
对于C，设，则，所以是奇函数，且y＝x和在区间（﹣∞，0）上都单调递增，故在区间（﹣∞，0）上单调递增，故C正确；
对于D，设，结合对勾函数的性质，在区间（﹣∞，0）上不是单调递增，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
4．（5分）设a，b，c为△ABC的三条边长，则“a＝b”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件．
【答案】A
【分析】分别讨论命题的充分性和必要性即可得出结论．
【解答】解：由题意，
充分性：若a＝b，则△ABC为等腰三角形．
必要性：若△ABC为等腰三角形，则a，b不一定相等．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，充分条件和必要条件的定义，是基础题．
5．（5分）如图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xa在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（ ）
A．B．C．D．
【考点】幂函数图象特征与幂指数的关系．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合幂函数的图象特征，即可求解．
【解答】解：由图可知，C1图象单调递减，a＝﹣1，符合题意，
C2图象单调递增，且增长速度逐渐变慢，a＝，符合题意，
C3图象单调递增，且增长速度逐渐变快a＝2，符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂函数的图象特征与图象的关系，属于基础题．
6．（5分）设函数f（x）＝ax3+bx﹣1，且f（﹣1）＝1，则f（1）等于（ ）
A．﹣3B．3C．﹣5D．5
【考点】抽象函数的周期性；函数的奇偶性．
【答案】A
【分析】根据题意，代入求f（﹣1）和f（1），找两式之间的关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+bx﹣1，
由于f（﹣1）＝﹣a﹣b﹣1＝1，即a+b＝﹣2，
则f（1）＝a+b﹣1＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
7．（5分）已知x＜0，﹣1＜y＜0，则（ ）
A．xy＜xy2＜xB．xy2＜x＜xyC．x＜xy＜xy2D．x＜xy2＜xy
【考点】等式与不等式的性质．
【答案】D
【分析】根据x＜0，﹣1＜y＜0，结合作差法比较大小即可判断各式大小关系得结论．
【解答】解：因为x＜0，﹣1＜y＜0，则xy＞0，1﹣y＞0，1+y＞0
所以xy﹣xy2＝xy（1﹣y）＞0，xy﹣x＝x（y﹣1）＞0，xy2﹣x＝x（y+1）（y﹣1）＞0
则xy＞xy2，xy＞x，xy2＞x，所以x＜xy2＜xy．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f（1）＝0，f（0）≠0，则下列命题错误的是（ ）
A．f（0）＝1
B．f（x）的图象关于点（2，0）对称
C．f（2024）＝1
D．f（x）是偶函数
【考点】抽象函数的奇偶性．
【答案】B
【分析】利用赋值法和函数的性质逐项分析即可．
【解答】解：对于A，令x＝y＝0得，f（0）+f（0）＝2f2（0），且f（0）≠0，
所以f（0）＝1，故A正确；
对于B，∵f（x）＝f（x+4），且f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x+4），即f（x）的图象关于x＝2对称，故B错误；
对于C，∵f（1）＝0，所以令y＝1得，f（x+1）+f（x﹣1）＝2f（x）f（1）＝0，
∴f（x）+f（x﹣2）＝0，f（x+2）+f（x）＝0，
∴f（x﹣2）＝f（x+2），即f（x）＝f（x+4）．
所以f（2024）＝f（4×506+0）＝f（0）＝1，故C正确；
对于D，令x＝0得，f（y）+f（﹣y）＝2f（0）×f（y）＝2f（y），∴f（﹣y）＝f（y），
且定义域关于原点对称，故f（x）是偶函数，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性等相关性质，属于中档题．
二、多项选择题（每题5分，共20分）
（多选）9．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝2x与g（x）＝
B．f（x）＝与f（x）＝
C．f（x）＝2x2+1与g（t）＝2t2+1
D．f（x）＝x与g（x）＝
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【答案】BCD
【分析】由题意利用函数的三要素，判断得出结论．
【解答】解：由于f（x）＝2x的值域为R，而g（x）＝的值域为[0，+∞），它们的值域不一样，故它们不是同一个函数；
由于 f（x）＝与f（x）＝具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；
由于f（x）＝2x2+1与g（t）＝2t2+1具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；
由于f（x）＝x与g（x）＝ 具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查函数的三要素，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣x（1+x），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝1
C．f（x）无最小值，也无最大值
D．f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）
【考点】奇函数偶函数的判断．
【答案】AC
【分析】由奇函数定义计算判断AB；求出函数f（x）判断C；探讨函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性判断D．
【解答】解：函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x（1+x），
于是f（0）＝0，f（1）＝﹣f（﹣1）＝0，A正确，B错误；
当x＜0时，，则f（x）在（﹣∞，0）的取值集合为，
由奇函数的性质知，f（x）在（0，+∞）的取值集合为，因此f（x）在R上的值域为R，C正确；
显然函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因此函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数的定义以及函数的单调性，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知x＞0，y＞0且3x+2y＝10，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最大值为
B．的最大值为
C．的最小值为
D．
【考点】基本不等式及其应用．
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式求最值判断ABC，利用二次函数性质求得x2+y2的取值范围判断D．
【解答】解：∵x＞0，y＞0且3x+2y＝10，∴，0＜y＜5，
对于A，利用基本不等式得，化简得，
当且仅当3x＝2y，即，时等号成立，故A错误；
对于B，≤10+10＝20，
当且仅当3x＝2y，即，时，等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即x＝y＝2时，等号成立，故C正确；
对于D，（0＜y＜5），
利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
∴，
，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（ ）
A．函数f（x）的值域为[0，+∞）
B．当x∈[4，8]时，函数f（x）的最大值为4
C．函数f（x）在区间[10，16]上单调递减
D．f（2023）＝50
【考点】分段函数的应用．
【答案】ABD
【分析】通过对函数f（x）的分析，可以得到函数f（x）的图象，进而求出函数f（x）的值域，以及BCD三个选项的正确与否．
【解答】解：当1≤x≤2时，，
所以，
，
当2＜x≤4时，，
故，，
以此类推，我们作出函数f（x）的图象，如图，
可以总结出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上单调递增，
在（3×2m﹣1，2m+1]上单调递减，
且在[2m，2m+1]上，
当x＝3×2m﹣1处取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，
函数f（x）的值域为[0，+∞），A正确；
当x∈[4，8]时，函数f（x）的最大值为4，B正确；
函数f（x）在x∈[10，12]上单调递增，在x∈（12，16]单调递减，故C错误；
因为2023∈（3×29，211]，
所以直线l经过点（2048，0）与（1536，1024），
设直线l：y＝kx+b，从而得到，解得：y＝﹣2x+4096，
所以当x＝2023时，y＝﹣2×2023+4096＝50，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了分段函数的性质、数形结合思想，属于中档题．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）写出命题“∃x＞0，x2﹣1≤0”的否定： ∀x＞0，x2﹣1＞0 ．
【考点】存在量词命题的否定；存在量词和存在量词命题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出其否定命题．
【解答】解，根据特称命题的否定是全称命题，
∴命题的否定是：∀x＞0，x2﹣1＞0．
故答案是：∀x＞0，x2﹣1＞0．
【点评】本题考查了特称命题的否定．
14．（5分）已知函数f（2x﹣1）＝4x+3，且f（t）＝6，则t＝ ．
【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
【答案】．
【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可．
【解答】解：令f（2x﹣1）＝4x+3＝6，∴，
∴，
∵f（t）＝6，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax在区间[﹣1，1]上有最小值﹣3，则实数a的值为 2或﹣2 ．
【考点】二次函数的最值．
【答案】2或﹣2．
【分析】a≤﹣1，﹣1＜a＜1及a≥1分类讨论后可得实数a的值．
【解答】解：二次函数的对称轴为x＝a，
当a≤﹣1时，函数在[﹣1，1]上为增函数，故最小值为1+2a＝﹣3即a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜1时，函数在[﹣1，a]上递减，在[a，1]上递增，
故最小值为不合题意舍；
当a≥1时，此时函数在[﹣1，1]为减函数，
故最小值为f（1）＝12﹣2a＝﹣3即a＝2，符合题意；
综上，a＝﹣2或a＝2．
故答案为：2或﹣2．
【点评】本题考查二次函数的最值，是基础题．
16．（5分）若f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，又f（﹣2）＝1，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为 （﹣1，3） ．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【答案】见试题解答内容
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（2）＝f（﹣2）＝1，
所以f（x﹣1）＜f（2），
又因为在[0，+∞）上单调递增，
所以|x﹣1|＜2，
解得：﹣1＜x＜3．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
四、解答题（本题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜4}，B＝{x|x﹣a＜0}．
（1）当a＝2时，求A∪（∁RB）；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的交并补混合运算．
【答案】（1）{x|x≥﹣1}；
（2）{a|a≥4}．
【分析】（1）把a＝2代入并求出集合B，再利用补集、并集的定义求解即得．
（2）利用并集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得．
【解答】解：（1）当a＝2时，B＝{x|x＜2}，则∁RB＝{x|x≥2}，
而A＝{x|﹣1≤x＜4}，
所以A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}．
（2）B＝{x|x＜a}，由A∪B＝B，得A⊆B，因此a≥4，
所以实数a的取值范围是{a|a≥4}．
【点评】本题考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2•x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，m∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围．
【考点】由幂函数的单调性求解参数．
【答案】（1）f（x）＝x3；
（2）[2，+∞）．
【分析】（1）利用幂函数的定义及性质求出m即可．
（2）根据给定的不等式，分离参数借助二次函数，求出最小值即得．
【解答】解：（1）由幂函数f（x）＝（m﹣1）2•x2m﹣1在（0，+∞）上单调递增，
得，解得m＝2，
所以f（x）的解析式为f（x）＝x3；
（2）由（1）知，f（x）＝x3，
当x＞0时，不等式，
依题意，∀x＞0，a≥（﹣2x2+4x）max，
而﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2≤2，当且仅当x＝1时取等号，
所以a≥2，
所以实数a的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题主要考查了幂函数的性质，二次函数性质，还考查了由不等式的恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，
（1）当a＝2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集．
【考点】一元二次不等式及其应用；二次函数的性质与图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）a＝2时，f（x）＝x2﹣3x+2，解不等式f（x）＞0即可；
（2）由f（x）＜0，得（x﹣a）（x﹣1）＜0，讨论a的值，求出不等式的解集．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2﹣3x+2，
∵f（x）＞0，∴x2﹣3x+2＞0；
令x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2；
∴原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）；
（2）∵f（x）＜0，
∴（x﹣a）（x﹣1）＜0，
令（x﹣a）（x﹣1）＝0，
解得x1＝a，x2＝1；
当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）
当a＝1时，原不等式的解集为∅，
当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应结合不等式与对应的函数以及方程之间的关系，进行解答，是基础题．
20．（12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理量为x（吨）时的月处理成本记为W（x）（元），且二者可以近似表示为函数关系．已知处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【答案】（1）400吨；
（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损．
【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件．
（2）根据获利S＝100x﹣W（x），结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度．
【解答】解：（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为＝；
当且仅当，即x＝400时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元．
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，
则＝，
因为x∈[400，600]，
则S∈[﹣80000，﹣40000]，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损．
【点评】本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了二次函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
21．（12分）已知函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且．
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（t2﹣1）+f（1﹣t）＜0，求t的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；由函数的单调性求解函数或参数；函数的奇偶性．
【答案】（1）a＝2，b＝0；
（2）函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数；证明见解析；
（3）（0，1）．
【分析】（1）由条件可得f（0）＝0，先求出b的值，然后根据，可求出a．
（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可．
（3）由条件先将不等式化为f（t2﹣1）＜f（t﹣1），结合函数的定义域和单调性可得出t满足的不等式，从而得出答案．
【解答】解：（1）由函数是定义在（﹣2，2）上的奇函数，
所以，解得b＝0，
又因为，所以a＝2，
经检验，当a＝2，b＝0时，f（x）是奇函数，
所以a＝2，b＝0．
（2）f（x）在（﹣2，2）上是增函数．
证明：由（1）可知，设﹣2＜x1＜x2＜2，
则
＝，
因为﹣2＜x1＜x2＜2，
所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（﹣2，2）上是增函数（证毕）．
（3）由函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数且f（t2﹣1）+f（1﹣t）＜0，
得f（t2﹣1）＜﹣f（1﹣t）＝f（t﹣1），
所以，解得0＜t＜1，
所以t的取值范围是0＜t＜1，即t∈（0，1）．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x|x﹣a|+1（a∈R）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，且n﹣m≤|a（b﹣1）|恒成立，求实数b的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的单调性；函数的最值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）代入a＝﹣1，将f（x）表达为分段函数判断即可；
（2）将函数取绝对值可得函数单调性，结合题意可得函数f（x）在（m，n）上最大值f（a）＝a2+1，最小值，再结合函数单调性与最值分析临界条件可得，进而求解绝对值不等式即可．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，，
由二次函数单调性知f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减，在[﹣1，+∞）单调递减，
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．
（2）当a＞0时，，
故f（x）在上单调递减，在单调递增，在[a，+∞）上单调递减，
又函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，则最大值f（a）＝a2+1，最小值．
当x＜a且f（x）＝f（a）＝a2+1时，有，解得，故，
当x≥a且时，由，解得，故，
∵，
∴，
∴，
∴或，
即实数b的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值的函数的单调性和最值，注意运用分类讨论思想和转化思想、恒成立思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．集合的交并补混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：
（Ⅰ）∁U（A∩B）；
（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；
（Ⅲ）A∩（∁UB）．
解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，
∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；
（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；
（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，
∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，
∵A＝{x|0≤x＜8}，
∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．
3．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
4．存在量词和存在量词命题
【知识点的认识】
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
【解题方法点拨】由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
【命题方向】本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
5．存在量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．
【解题方法点拨】
写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．
【命题方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．
6．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
7．基本不等式及其应用
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
实例解析
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【解题方法点拨】
基本不等式的应用
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【命题方向】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
8．二次函数的性质与图象
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
9．二次函数的最值
【知识点的认识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【解题方法点拨】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
二次函数的最值出现在顶点处．对于 f（x）＝ax2+bx+c，最值为 ，根据 a 的正负判断最值类型．
﹣计算顶点 x 坐标 ．
﹣计算顶点处的函数值 ．
﹣根据 a 的正负判断最值类型（最大值或最小值）．
【命题方向】
主要考查二次函数最值的计算与应用题．
设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为，则a的值为_____．
解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，
当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；
当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为，
即﹣a2﹣2a+3＝，解得a＝﹣或a＝﹣（舍），
综上，a的值为﹣．
故选：C．
10．一元二次不等式及其应用
【知识点的认识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
特征
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【解题方法点拨】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【命题方向】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
11．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．
12．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
13．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
14．函数的单调性
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
15．由函数的单调性求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
16．函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
17．函数的奇偶性
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
18．奇函数偶函数的判断
【知识点的认识】
奇函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
偶函数
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
【命题方向】
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
19．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】
奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
20．抽象函数的奇偶性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
21．抽象函数的周期性
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】
抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
22．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，
∴mx2+mx+m＜1，
∴∀x∈R，m＜恒成立，
∵x2+x+1＝（x+）2+≥，
∴0＜≤，
∴m≤0．
23．函数的值
【知识点的认识】
函数的值是指在某一自变量取值下，函数对应的输出值．
【解题方法点拨】
﹣确定函数的解析式，代入自变量值，计算函数的值．
﹣验证计算结果的正确性，结合实际问题分析函数的值．
﹣利用函数的值分析其性质和应用．
【命题方向】题目包括计算函数的值，结合实际问题求解函数的值及其应用．
已知函数f（x）＝．求f（f（f（﹣）））的值；
解：，
，
，
故f（f（f（﹣）））＝．
24．幂函数图象特征与幂指数的关系
【知识点的认识】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，，﹣1时的图像与性质．
幂函数的图象特征与其幂指数a密切相关，不同幂指数的幂函数图象有不同的形态．
【解题方法点拨】
﹣当a为正整数时，图象在第一、三象限呈对称分布．
﹣当a为负整数时，图象在第二、四象限呈对称分布，且x越大，y越小．
﹣当a为正分数时，图象在第一象限，开口向右上方．
﹣当a为负分数时，图象在第一、二象限，开口向左下方．
【命题方向】
题目通常涉及分析幂函数图象特征，结合幂指数确定图象形态，利用图象解决实际问题．
如图是幂函数y＝xα的部分图象，已知α取，2，﹣2，﹣这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为_____．
解：∵在直线x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，
∴曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为2，，﹣，﹣2．
25．由幂函数的单调性求解参数
【知识点的认识】
通过已知幂函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系．
五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1
﹣
【解题方法点拨】
﹣分析已知单调性条件，设定幂函数的形式．
﹣利用单调性条件，求解幂函数的参数．
﹣验证求解结果的正确性．
【命题方向】
题目通常包括通过单调性反求幂函数的参数，结合解析式和实际问题分析单调性及其应用．
26．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y＝（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
27．根据实际问题选择函数类型
【知识点的认识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlg ax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
【命题方向】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+lg7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+lg7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+lg71000＝4﹣lg7＜5，且l+lg7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
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命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x﹣1
定义域
R
R
R
[0，+∞）
{x|x≠0}
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，+∞）时，增
x∈（﹣∞，0]时，减
增
增
x∈（0，+∞）时，减
x∈（﹣∞，0）时，减
公共点
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）（0，0）
（1，1）