广西北部湾四市同城联考2024年数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】

这是一份广西北部湾四市同城联考2024年数学九年级第一学期开学教学质量检测试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若＝，则的值是（）
A．B．C．D．
2、（4分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值（ ）
A．2B．3C．D．
3、（4分）把直线y=2x﹣1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为（ ）
A．y=2x﹣2B．y=2x+1C．y=2xD．y=2x+2
4、（4分）已知点P(3，4)在函数y=mx+1的图象上，则m=( )
A．-1B．0C．1D．2
5、（4分）计算的结果是（ ）
A．16B．4C．2D．-4
6、（4分）若两个相似三角形的周长比为4:3，则它们的相似比为（ ）．
A．4:3B．3:4C．16:9D．9:16
7、（4分）已知在一个样本中,50个数据分别落在5个组内,第一、二、三、五组数据频数分别为2、8、15、5，则第四组数据的频数和频率分别为（ ）
A．25 ，50%B．20 ，50%C．20 ，40%D．25， 40%
8、（4分）式子，，，，中是分式的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，反比例函数与正比例函数和的图像分别交于点A（2，2）和B（b，3），则关于x的不等式组的解集为___________。
10、（4分）计算：(−)2=________；=_________．
11、（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
12、（4分）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是_____．
13、（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点P是BC上的一个动点，连接AP、DP，则AP+DP的最小值为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲种服装进价为 元/件，乙种服装进价为 元/件；
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件？
②该服装店对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
15、（8分）如图,菱形的对角线相交于点,,,相交于点.求证:四边形是矩形.
16、（8分）如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ABC沿着 AD 方向平移，得到 △ABC ．
（1）当两个三角形重叠部分的面积为 3 时，求移动的距离 AA ；
（2）当移动的距离 AA 是何值时，重叠部分是菱形．
17、（10分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前6名选手的得分如下：
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分)．
（1）这6名选手笔试成绩的中位数是________分，众数是________分；
（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．
18、（10分）如图：在△ABC中，点E，F分别是BA，BC边的中点，过点A作AD∥BC交FE的延长线于点D，连接DB，DC．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若∠BDC＝90°，求证：CD平分∠ACB；
（3）在（2）的条件下，若BD＝DC＝6，求AB的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）直线l与直线y＝3﹣2x平行，且在y轴上的截距是﹣5，那么直线l的表达式是_____．
20、（4分）试写出经过点，的一个一次函数表达式：________.
21、（4分）当__________时，分式的值等于零.
22、（4分）一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为 ．
23、（4分）如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD=40°，则∠NCD的度数为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一次函数，当时，，求它的解析式以及该直线与坐标轴的交点坐标．
25、（10分）（1）在图中以正方形的格点为顶点，画一个三角形，使三角形的边长分别为、2、；
（2）求此三角形的面积及最长边上的高.
26、（12分）解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法)
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
先设a=2k，则b=5k，然后将它们分别代入，计算即可求出其值即可.
【详解】
解：∵＝，
设a=2k，则b=5k，
∴=．
故选A．
本题考查了比例的基本性质,比较简单，关键是巧设未知数,可使计算简便.
2、A
【解析】
由方程有两个相等的实数根，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：m＝1．
故选：A．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
3、B
【解析】
试题分析：根据题意，将直线y=2x﹣1向左平移1个单位后得到的直线解析式为：
y=2（x+1）﹣1，即y=2x+1，
故选B．
考点：一次函数图象与几何变换
4、C
【解析】
把点P（3，4）代入函数y=mx+1，求出m的值即可．
【详解】
点P(3，4)代入函数y=mx+1得，4=3m+1，解得m=1．
故选：C．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，比较简单．熟知一次函数图象上点的坐标一定适应此函数的解析式是解答此题的关键．
5、B
【解析】
根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】
==1．
故选B．
本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是在于符号的处理．
6、A
【解析】
根据相似三角形的周长比等于它们的相似比求解即可．
【详解】
∵两个相似三角形的周长比为4:3
∴它们的相似比为4:3
故答案为：A．
本题考查了相似三角形的相似比问题，掌握相似三角形的周长比等于它们的相似比是解题的关键．
7、C
【解析】
解：根据样本容量和第一、二、三、五组数据频数可求得第四组的频数为50-2-8-15-5=20，其频率为20÷50=0.4=40％
故选C．
8、B
【解析】
，，，，中分式有，两个，其它代数式分母都不含有字母，故都不是分式.
故选B.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
把点A（2，2）代入得k=4得到。可求B（）由函数图像可知的解集是：
【详解】
解：把点A（2，2）代入得：
∴k=4
∴
当y=3时
∴
∴B（）
由函数图像可知的解集是：
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握求反比例函数解析式，及点的坐标，以及由函数求出不等式的解集.
10、5 π-1
【解析】
根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
解：．
故答案为：5，π-1．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11、k＞﹣1且k≠1．
【解析】
由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
12、2+
【解析】
试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，
∴AE=AB=，PA=2， 根据勾股定理得：PE=1，
∵点A在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
∴PD=
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a=PD+DC=2+．
本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．
13、1
【解析】
作点D关于BC的对称点D'，连接AD'，PD'，依据AP+DP＝AP+PD'≥AD'，即可得到AP+DP的最小值等于AD'的长，利用勾股定理求得AD'＝1，即可得到AP+DP的最小值为1．
【详解】
解：如图，作点D关于BC的对称点D'，连接AD'，PD'，则DD'＝2DC＝2AB＝4，PD＝PD'，
∵AP+DP＝AP+PD'≥AD'，
∴AP+DP的最小值等于AD'的长，
∵Rt△ADD'中，AD'＝ ＝＝1，
∴AP+DP的最小值为1，
故答案为：1．
本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）80；60；（2）①甲种服装最多购进75件；②当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；当时，所有进货方案获利相同；当时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【解析】
（1）设乙服装的进价y元/件，则甲种服装进价为（y+20）元/件，根据题意列方程即可解答；
（2）①设甲种服装购进x件，则乙种服装购进（100-x）件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出不等式组解答即可；
②首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
【详解】
（1）设乙服装的进价y元/件，则甲种服装进价为元/件，根据题意得：
，
解得，
即甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；
故答案为80；60；
（2）①设计划购买件甲种服装，则购买件乙种服装，根据题意得
，解得，
甲种服装最多购进75件；
②设总利润为元，购进甲种服装件．
则，且，
当时，，随的增大而增大，故当时，有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件；
当时，所有进货方案获利相同；
当时，，随的增大而减少，故当时，有最大值，即购进甲种服装65件，乙种服装35件．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，依据题意列出方程是解题的关键.
15、见解析.
【解析】
首先判定四边形OAEB是平行四边形，再由菱形的性质得出∠AOB=90°，从而判定四边形OAEB是矩形．
【详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形.
∴四边形是矩形
本题考查了矩形的判定，菱形的性质, 掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键.
16、（1）AA =1或3；（2）AA =时，重叠部分是菱形．
【解析】
（1）根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，则A′D=4－x，△AA′E是等腰直角三角形，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解；
（2）设AC与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，有A′E=A′F，设AA′=x，则A′E=x，A′D=4－x，再由A′F=A′D，可得方程，解之即得结果.
【详解】
（1）设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，如图，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，A′D=AD－AA′=4－x，
∵阴影部分面积为3，
∴x(4－x)=3，
整理得，x2－4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
即移动的距离AA′=1或3.
（2）设AC与CD交于点F，当四边形A′ECF是菱形时，A′E=A′F，
设AA′=x，则A′E=CF=x，A′D=DF=4－x，
∵△A′DF是等腰直角三角形，
∴A′F=A′D，
即，
解得，
即当移动的距离为时，重叠部分是菱形.
本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的性质和判定、正方形和菱形的性质及一元二次方程的解法等知识，解决本题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程思想解题．
17、（1）84.5，84；
（2）笔试成绩和面试成绩所占的百分比分别是40%，60%；
（3）综合成绩排序前两名的人选是4号和2号选手．
【解析】
试题分析：（1）根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出出现的次数最多的数即是众数；
（2）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可；
（3）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余五名选手的综合成绩，即可得出答案．
试题解析：（1）把这组数据从小到大排列为，80，84，84，85，90，92，
最中间两个数的平均数是（84+85）÷2=84.5（分），
则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5，
84出现了2次，出现的次数最多，
则这6名选手笔试成绩的众数是84；
（2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x，y，根据题意得：
，
解得：，
笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60%；
（3）2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6=89.6（分），
3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6=85.2（分），
4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6=90（分），
5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6=81.6（分），
6号选手的综合成绩是80×0.4+85×0.6=83（分），
则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．
考点：1.加权平均数；2.中位数；3.众数；4.统计量的选择．
18、（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【解析】
（1）证明是的中位线，得出，，由，即可得出四边形是平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出，得出平行四边形为菱形，由菱形的性质即可得出结论；
（3）证出为等腰直角三角形，得出，由等腰三角形的性质得出，，证出四边形为正方形，得出，，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
（1）证明：点，分别是，边的中点，
是的中位线，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，是边的中点，
，
平行四边形为菱形，
平分；
（3）解：，，
为等腰直角三角形，
，
是边的中点，
，，
四边形是菱形，
四边形为正方形，
，，
．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、y＝﹣2x﹣1
【解析】
因为平行,所以得到两个函数的k值相同，再根据截距是-1，可得b=-1，即可求解.
【详解】
∵直线l与直线y＝3﹣2x平行，
∴设直线l的解析式为：y＝﹣2x+b，
∵在y轴上的截距是﹣1，
∴b＝﹣1，
∴y＝﹣2x﹣1，
∴直线l的表达式为：y＝﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣2x﹣1．
该题主要考查了一次函数图像平移的问题,
20、y=x+1
【解析】
根据一次函数解析式，可设y=kx+1，把点代入可求出k的值；
【详解】
因为函数的图象过点（1，2），
所以可设这个一次函数的解析式y=kx+1，把（1，2）代入得：2=k+1，
解得k=1，
故解析式为y=x+1
此题考查一次函数解析式，解题的关键是设出解析式；
21、-2
【解析】
令分子为0，分母不为0即可求解.
【详解】
依题意得x2-4=0,x-2≠0，解得x=-2，
故填：-2.
此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式的性质.
22、（3，0）.
【解析】
试题分析：把y=0代入y＝2x－6得x=3，所以一次函数y＝2x－6的图像与x轴的交点坐标为（3，0）.
考点：一次函数的图像与x轴的交点坐标.
23、40°
【解析】
先根据作法证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，然后根据三角形外角的性质可证∠NCD=∠MBD=40°.
【详解】
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA.
∵∠MBD=∠BAD+∠BDA，∠NCD=∠CAD+∠CDA，
∴∠NCD=∠MBD=40°.
故答案为：40°.
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、该直线与x轴交点的坐标是（1，0），与y轴的交点坐标是（0，-1）．
【解析】
把x、y的值代入y=kx-1，通过解方程求出k的值得到一次函数的解析式，根据直线与x轴相交时，函数的y值为0，与y轴相交时，函数的x值为0求出该直线与坐标轴的交点坐标．
【详解】
解：∵一次函数y=kx-1，当x=2时，y=-2，
∴-2=2k-1，解得k=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1．
∵当y=0时，x=1；
当x=0时，y=-1，
∴该直线与x轴交点的坐标是（1，0），与y轴的交点坐标是（0，-1）．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．正确求出直线的解析式是解题的关键．
25、（1）三角形画对 （2）三角形面积是5 高是
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理画出三角形即可；（2）求出三角形的面积，再由三角形的面积公式即可得出结论.
试题解析：
（1）如图，△ABC即为所求.
（2），
最长边的高为：.
26、x1=1+ ，x2=1﹣.
【解析】
试题分析：首先移项，再将二次项系数化为1，然后配方解出x即可.
试题解析：2x2﹣4x+1=0，
移项，得2x2﹣4x=－1，
二次项系数化为1，得x2﹣2x=－，
配方，得x2﹣2x+12=－+12，即（x－1）2=，
解得，x－1=±，
即x1=1+，x2=1－.
点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
序号
项目
1
2
3
4
5
6
笔试成绩/分
85
92
84
90
84
80
面试成绩/分
90
88
86
90
80
85