福建省漳州实验中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版）

这是一份福建省漳州实验中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．，是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
B．若，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
C．，方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．整理为：，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
故选：C．
2. 若，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案．
解：∵，
设
∴，
故选：A．
3. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（ ）
A. 邻边相等B. 对角线互相平分
C. 四个角都是直角D. 对角线相等
【答案】B
【解析】
【分析】首先弄清楚矩形、菱形、正方形各自的性质，然后从备选答案中一个一个的判断，属于这三个图形的公共特征的就是正确的．
解：选项A：邻边相等，是菱形、正方形的性质，但是矩形没有改性质，故A不符合题意；
选项B：对角线互相平分，是所有平行四边形的性质，而矩形、菱形、正方形都是特殊的正方形，故它们都具备对角线互相平分的性质，故B正确；
选项C：四个角都是直角，是矩形和正方形的性质，菱形不具备，故C不符合题意；
选项D：对角线相等，是矩形、正方形的性质，菱形不具有改性质，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】此题考查正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解题关键在于掌握各性质定义,
4. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下：
由此可估算方程的一个根的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．
结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
由表可知，
当时，，
当时，，
∴方程的一个根的范围是．
故选：C．
5. 如图，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
解：∵，
∴，
即，
解得，
故选：．
6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解．
解：根据题意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7. 如图，下列条件中，不能判定的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法：两个角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似；即可求出答案．
A、当时，没有夹角相等，无法得出，符合题意；
B、，
∴，能判定相似，不符合题意；
C、，
∴，能判定相似，不符合题意；
D、，
∴，能判定相似，不符合题意；
故选：A．
8. 如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染．设平均每台电脑传染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，再建立方程即可．
解：根据题意得，第一轮被感染的电脑有台，
第二轮被感染的电脑有台，
则方程可列为．
故选：B．
9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5，
根据勾股定理可得：CF=，
根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=.
故选D
【点睛】本题主要考查的就是矩形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，解决本题的关键就是通过构造辅助线将所求的线段转化到直角三角形中.在这个问题中，通过直角三角形的勾股定理求出斜边的长度，然后根据正方形和等腰直角三角形的性质得出直角三角形，最后根据直角三角形的性质得出答案.
二、填空题（共6小题，每小题4分，满24分）
11. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
12. 矩形中，对角线、相交于点O，，，则________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理；先画出示意图，由勾股定理计算出，再由矩形性质得即可求解．
解：如图，四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
．
故答案：2.5．
13. 把关于的一元二次方程配方，得，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解．
解：
配方，得
∴，
∴
∴，
故答案为：．
14. 等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是__________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可．
解：
∴
解得：
当腰长时，
∵
∴长度为的三条线段能组成三角形；
∴这个等腰三角形的周长为
若腰长为，
∵
∴长度为的三条线段能组成三角形
∴这个等腰三角形的周长为
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设的交点为O，根据勾股定理，得到，继而得到，，解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键．
解：设的交点为O，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在四边形中，，相交于点，且，动点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列结论中：
①四边形是矩形；
②当时，点是的中点；
③当，时，线段长度的最大值为2；
④当点在边上，且时，则是等边三角形，其中正确的有______．
【答案】①③
【解析】
【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③；不平行，则，据此可判断④．
解：∵，
∴，即，
∴四边形是矩形，故①正确；
当点E在上时，
∵分别是的中点，
∴是中位线，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点；
当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误；
由②可知，，
∵点E沿四边形的边运动至点停止，且
∴的最大值为4，此时点E与点D重合，
∴的最大值为2，故③正确；
当点在边上，
∵不平行，
∴，
∴不可能是等边三角形，故④错误；
∴正确的有①③，共2个，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的判定，平行线的性质等等，掌握以上基础知识是解本题的关键.
三、解答题（共8小题，满分86分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）把看做一个整体，用提公因式法分解因式，再进一步求解即可；
（2）把方程化为，再进一步求解即可．
【小问1】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2】
解：，
∴，
∴，，
解得：，．
18. 如图，在正方形中，E是边的中点，F是边的中点，连接、．
求证：
【答案】见
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，由正方形性质可得出，．由已知条件可得出，再利用边角边证明即可得出结论．
证明：∵四边形是正方形，
∴，．
又分别是、的中点，
∴，
∴，
∴．
19. 某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？
【答案】10米
【解析】
【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为（29+1-2x）米,根据此矩形苗圃园面积为100平方米列一元二次方程求解可得答案.
解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为（29+1-2x）米，
由题意得： x（30-2x）=100，
-2x+30x-100=0，x-15x+50=0
（x-5）（x-10）=0，
或，
当x=5时，则平行于墙的一边为20米＞18米，不符合题意，
取x=10，
答:垂直于墙的一边长为10米.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程式解题的关键.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD；
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=，然后根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴CD=，
∵CD⊥AB，
∴BD=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
21. 如图，四边形是平行四边形．
（1）作出的角平分线，交与E；在线段上截取，连接EF．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所做的图中，判断四边形的形状，并说出理由．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握基本尺规作图和菱形的判定．
（1）利用基本作图作的角平分线，再以点B为圆心，线段的长为半径画圆，和交于F即可得；
（2）先根据角平分线的性质得，再根据平行四边形的性质得到，所以，则，可判断四边形为平行四边形，再由，得四边形为菱形．
【小问1】
解：如图所示，就是所求的的角平分线．，
【小问2】
证明：四边形为菱形．
理由如下：∵是的平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【小问1】
证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
【小问2】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
23. 某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件．
（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？
【答案】（1）二、三月份销售量的平均月增长率为25%；（2）每件降价50元，四月份可获利12000元．
【解析】
【分析】（1）由题意可得：一月份的销售量为：320件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：320（1+x）；三月份的销售量为：320（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：500元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=12000求出即可．
（1）解：设二、三月份销售量的平均月增长率为x，根据题意得：
320（1+x）2=500
解得：x1=0.25，x2=-2.25（不合题意，舍去）．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为25%．
（2）解：设每件降价y元，根据题意得：
（500+10×）（150-y-80）=12000
整理得：y2+180y-11500=0
解得：y1=50，y2=-230（不合，舍去）．
答：每件降价50元，四月份可获利12000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
24. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明．
【答案】（1）c的值为2
（2）的值为0
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了倍增方程的问题，掌握根与系数的关系、解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解．
（2）根据倍根方程的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解；
（3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案．
【小问1】
解：∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴令，
，，
∴，，
解得：，，
；
【小问2】
解：是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为和，
或，
当时，即，
，
当时，即，
，
综上：；
【小问3】
解：设与是方程的解，
，，
消去得：．
25. 如图1，已知正方形，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，．
（1）求的度数．
（2）如图2，连接，若，求线段的长；
（3）如图3．在点运动过程中，作的平分线交延长线于，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质和轴对称性质得到，，，得到，得到，得到，即得；
（2）当时，，，得到．．设，则，，根据勾股定理得到，得到；
（3）过点H作于点M，则，，由角平分线性质和对称性质推出，得到是等腰直角三角形，，推出，根据，得到，得到．
【小问1】
解：∵四边形是正方形，点B关于的对称点为F，
∴，，，
∵．
∴，
∴，
∴．
【小问2】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．．
设则，
∵，
即，
解得：；
∴．
【小问3】
解：过点H作于点M，
则，
∴，
∵平分，
∴，
由轴对称可知，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形，轴对称．熟练掌握正方形性质，轴对称性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.29
0.76