广东省惠州市泰雅实验高中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省惠州市泰雅实验高中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，若，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4.，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设集合，定义集合，则集合中元素的个数是（ ）
A.5 B.6 C.8 D.9
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（ ）
A.物理好数学不一定好
B.数学好物理不一定好
C.数学不好物理一定不好
D.物理不好数学一定不好
10.已知不超过5的实数组成的集合为，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知正数满足，则（ ）
A.的最大值为
B.的最小值为
C.的最大值为
D.的最小值为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设，若，则__________.
13.2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为__________.
14.设，若时，均有成立，则的取值集合为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）已知集合，讨论中元素个数与的范围；
（2）设，已知集合，非空集合，设，若是的必要不充分条件，求的范围.
16.（本小题满分15分）
已知不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）若，求的取值范围.
17.（本小题满分15分）
已知一矩形纸片（其中）的周长为.将沿向折叠，折过去后交于点.如果改变的长度（周长保持不变），的面积是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由.
18.（本小题满分17分）
某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）.
19.（本小题满分17分）
已知有限集，若，则称为“完全集”.
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2；
（3）若为“完全集”，且，求.
参考答案及解析
高一数学
一､选择题
1.D 【解析】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得命题的否定是.故选D.
2.B 【解析】由题意得，所以.故选B.
3.A 【解析】由题意可得，所以，所以.故选A.
4.B 【解析】对A，若，则，选项不成立，故A错误；对B，因为，故，故B成立；对于C､D，若，则选项不成立，故C､D错误.故选B.
5.D 【解析】对A，由，取，则，由，取，则，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误；对B，由取，则，由，取，则，所以是的既不充分也不必要条件，故B错误；对C，由，取，则，由，取，则，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；对D，因为，所以，即，当时，取，
则，所以是“”的一个充分不必要条件，故D正确.故选D.
6.B 【解析】解不等式，得，即，由是的必要条件，得，解得，所以的取值范围是.故选B.
7.D 【解析】因为，由基本不等式可得，即，解得或（舍去），即36，当且仅当，即时，等号成立，故的取值范围是.故选D.
8.C 【解析】集合，可取可取.（1）当时，，由成立，数对为的一个元素；，由，成立，数对为的一个元素；，由成立，数对为的一个元素；，由成立，数对为的一个元素；（2）当时，，由成立，数对为的一个元素；，由成立，数对为的一个元素；，由，不成立，数对不是的元素；，由不成立，数对不是的元素；（3）当时，，由成立，数对为的一个元素；，由成立，数对为的一个元素；，由不成立，数对不是的元素；，由，不成立，数对不是的元素.综上，的元素有八个，分别为：，.故选C.
二､多选题
9.BC 【解析】设：物理好，：数学好，由题意，“若，则”为真命题，故A，D不正确；如果将物理好的学生定义为集合，数学好的学生定义为集合，则，或许存在，但，即数学好物理不一定好，故B正确；设为全集，则，因此可以说数学不好的物理一定不好，故∁正确.故选B∁.
10.ACD 【解析】对A，因为，所以，故A正确；对B，因为，所以，故B错误；对C，因为，所以，所以，故C正确；对D，因为，所以，所以，故D正确.故选ACD.
11.ABD 【解析】对于.当且仅当
，即，取“”，A正确；对于B：，由（1）知B正确；对于C：错误；对于D：，当且仅当，即，取“=”.正确.故选ABD.
三､填空题
12. 【解析】由得，，所以，故.故答案为.
13.16人 【解析】不妨设仅支持德国与西班牙的有人，仅支持德国与英格兰的有人，仅支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国､西班牙､英格兰的人数分别为，如图，
则，由18人不支持德国，得，由20人不支持西班牙，16人
不支持英格兰，得，则，因此，所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人.故答案为16人.
14. 【解析】当时，，则，由于的图象开口向上，则不恒成立，当2时，由可解得，而方程有两个不相等的实数根且异号，所以，必定是方程的一个正根，则，则可解得，故的取值集合为.故答案为.
四､解答题
15.解：（1）若，则有，解得，
此时中元素个数为0；
若集合中的元素有且仅有一个，则有，解得.
若中元素有2个，则，解得.
（2）由题可得是的真子集，且；
则（等号不同时成立），
解得.
16.解：（1）由得，
即
即，所以，解得，
所以，
所以或.
（2）不等式，解得或，
则，
因为，又因为，则，
所以，解得，
所以的取值范围为.
17.解：由题意可知，矩形的周长为，
设，则，设，则，
，
而为直角三角形，由勾股定理可得，
，
，
当且仅当，即时取等，此时，满足
，故时，取最大面积.
18.解：（1）方案一的总费用为（元）；
方案二的总费用为（元），
由，
因为，可得，
所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少
（2）由（1）可知，
令，则，
所以，
当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为24元.
19.解：（1）由，
所以，
故集合是“完全集”.
（2）由题设，令，
则是的两个不同的正实数根，
所以或（舍），即，
又，若都不大于2，则，矛盾，所以至少有一个大于2.
（3）不妨令，则，
所以，当，即，故，
显然无解，不满足；
当，即，只能有，
故存在一个“完美集”
当，即，
又，且，
此时，显然有矛盾，
所以时不存在“完美集”；综上，.