广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
4.如果，，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
6.已知a，且，则的最小值为（ ）
A.4B.6C.D.8
7.已知，，则“”是“”的（ ）
A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知，，，且，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题P：，则命题P成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
10.已知正数a，b满足，则下列选项正确的是（ ）
A.B.C.D.
11.大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为.即.关于任意非空集合M，N，T，下列说法错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为___________.
13.设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有_______个.
14.已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）设集合，.
（1）求集合A，B，以及，；
（2）设全集，求和.
16.（本小题15分）设函数.
（1）若命题p：，是假命题，求m的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
17.（本小题15分）已知关于x的不等式.
（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）求关于x的不等式的解集.
18.（本小题17分)
小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片（其中）的周长为.他把沿向折叠，折过去后交于点P.他在思索一个问题：如果改变的长度（周长保持不变），的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的的长度；若不存在，试说明理由?
19.（本小题17分）
已知集合，对于A的子集S若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，，都有，则称S具有性质P.
（1）当时，判断集合和是否具有性质P?并说明理由；
（2）若时，
①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由；
②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第一学期
第一次月考试题
高一数学参考答案及评分标准
选择题：1~8：CADA BDAC
8.解：由可得，且a，b，
因此，令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；此时的最小值为.故选：C
9.AB
10.ACD
【分析】由题意可得，利用化简计算和基本不等式判断各个选项；
【详解】对于A，由题可得，即，故A正确；
对于B，a，b为正数，，为正数，，所以，当且仅当时，等号成立.故B不正确；
对于C，a，b为正数，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，a，b为正数，，当且仅当时，等号成立.故D正确。
故选：ACD.
11.解：对于A，若，，则，，，A错；
对于B，若，，，则，，而，，B错；
对于C，若，，，则，，，，C正确；
对于D，任取元素，则且，则且，于是且，即，
反之若任取元素，则且，因此，且，即且，所以，即，D正确.
故选：AB
12.R
13.【解】因为，，集合M满足，所以，则这样的集合M共有个.故答案为：32
14.解：关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
，解得，
二次函数的对称轴为，
关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数为3，4，5，
，且，，解得.
集合，.
15.解：（1）由集合，
又，，
（2）由（1）可知：，
；；
16.【解】（1）若命题p：，是真命题，则，不等式成立，
当时，，显然不成立；
当时，函数为二次函数，
若即，则，，满足题意；
若即，则，解得，
综上，或.
所以命题：，是假命题时，；
（2）存在，使得成立，
即对于，使有解，
即在上能成立，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，所以.
17.【解】（1）若的解集为，
则是方程的一个根，即，解得，
所以不等式为，解得：，所以.
即，.
（2）因为，即，
①当时，即，解得：；
②当时，令，解得，，
若时，解得：；
若时，解得：或；
若时，解得：或；
若时，解得：或；
综上所述：当时，不等式解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式解集为：；
当时，不等式解集为：；
当时，不等式解集为：.
18.【解】由题意可知，矩形的周长为，
设，则，
又由，得；
根据图形折叠可知与全等，
设，则，，
而为直角三角形，得，即
，易得
当且仅当，即时取等，满足，此时，
故时，取最大面积.
19.【解】（1）当时，，不具有性质P，
因为对于集合B中任意不大于10的正整数m，
都可以找到该集合中两个元素，使得成立，具有性质P.
取，对于该集合中任意一对元素，，，都有，所以集合B不具有性质P，集合C具有性质P.
（2）若时，则，
①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质P，
因为，任取，其中，
因为，则，
从而，即，所以，
由集合S具有性质P，知存在不大于1000的正整数m，
使得对于S中的任意一对元素，都有，
在集合中任取一对元素，，
其中，，则由
所以集合一定具有性质P.
②设集合S有k个元素，由①知：若集合S具有性质P，
那么集合一定具有性质P，
任给，，则x和中必有一个不超过1000，
因此集合S和集合D中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过1000，
不妨设S中有个元素，，…，，不超过1000，由集合S具有性质P，
知存在正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，
于是一定有，，…，，又，
即，，…，，则集合A中至少有t个元素不在集合S中，
因此，所以，解得：，
当时，取，
对于集合S中任意两个元素，都有，
即集合S具有性质P，而此时集合S中有1333个元素，
因此集合S中元素个数的最大值是1333.