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    甘肃省礼县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

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    甘肃省礼县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

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    这是一份甘肃省礼县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题,共19页。
    注意事项:
    1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知全集,,,则( )
    A. B.
    C. D.
    2. 一组数据23,11,14,31,16,17,19,27的上四分位数是( )
    A. 14B. 15C. 23D. 25
    3. 若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,则该圆锥的表面积为( )
    A. B. C. D.
    4. 若角满足,则( )
    A. B. C. D.
    5.直线关于对称的直线方程为( )
    A.B.C.D.
    6. 小刚参与一种答题游戏,需要解答A,B,C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为,,,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为,则他三道题都答错的概率为( )
    A. B. C. D.
    7. 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中,,,分别是所在棱的中点,则下列3个直观图中满足的有( )

    A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
    8. 在中,,,是的外心,则的最大值为( )
    A. 2B.
    C. D. 4
    二、多选题
    9. 已知事件A、B发生的概率分别为,,则下列说法正确的是( )
    A. 若A与B相互独立,则B. 若,则事件A与相互独立
    C. 若A与B互斥,则D. 若B发生时A一定发生,则
    10.已知圆:与圆:的一个交点为,动点的轨迹是曲线,则下列说法正确的是( )
    A.曲线的方程为
    B.曲线的方程为
    C.过点且垂直于轴的直线与曲线相交所得弦长为
    D.曲线上的点到直线的距离的最大值为
    11. 已知四棱柱的底面是边长为6的菱形,平面,,,点P满足,其中,,,则( )
    A. 当P为底面的中心时,
    B. 当时,长度的最小值为
    C. 当时,长度的最大值为6
    D. 当时,为定值
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 已知,两点到直线的距离相等,则__________.
    13. 已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________.
    14.如图,设,分别是椭圆的左、右焦点,点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长与椭圆交于点,若,则直线的斜率为______.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 已知平面内两点,.
    (1)求过点且与直线垂直的直线的方程.
    (2)若是以为顶点的等腰直角三角形,求直线的方程.
    16. 甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局由甲、乙对打,丙轮空;每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打,负者下一局轮空,如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当,每场比赛双方获胜的概率都为.
    (1)求甲连续打四局比赛的概率;
    (2)求在前四局中甲轮空两局的概率;
    (3)求第四局甲轮空的概率.
    17. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”,高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后,分为五组(,,,,),其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
    (1)若根据这次成绩,年级准备淘汰60%的同学,仅留40%的同学进入下一轮竞赛,请问晋级分数线划为多少合理?
    (2)从样本数据在,两个小组内的同学中,用分层抽样的方法抽取6名同学,再从这6名同学中随机选出2人,求选出的两人恰好来自不同小组的概率.
    (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数:,已知这10个分数的平均数,标准差,若剔除其中的96和84两个分数,求剩余8个分数的平均数与方差.
    18. 已知P(,)是椭圆C: (a>b>0)上一点,以点P及椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形面积为2.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,M是l1与C两交点的中点,N是l2与C两交点的中点,求△MNF2面积的最大值.
    19.已知动直线与椭圆:交于,两点,且的面积,其中为坐标原点.
    (1)证明:和均为定值;
    (2)设线段的中点为,求的最大值;
    (3)椭圆上是否存在三点D,E,G,,使得?若存在,判断的形状;若不存在,请说明理由.
    1.D
    因为全集,,所以,
    又因为,.
    故选:D.
    2.D
    把数据按从小到大的顺序排列: 11,14, 16,17,19,23,27,31.
    因为,上四分位数是.
    故选:D
    3.B
    设圆锥的底面半径为r,
    由于圆锥的轴截面是等边三角形,则该圆锥的高为,母线长为2r,
    又轴截面面积为,故,
    则该圆锥的表面积为,
    故选:B
    4.B
    由,得,
    即,则
    所以
    .
    故选:B
    5.C
    取直线关于对称的直线上任意一点,易知点关于直线对称的点的坐标为,由点在直线上可知,即.故选C.
    6.C
    记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立,
    且.
    恰好能答对两道题事件,且两两互斥,
    所以

    整理得,他三道题都答错为事件,
    故.
    故选:C.
    7.B
    在从左往右第一个图中,因为,所以,
    因侧棱垂直于底面,所以面,
    如图,以为原点建立空间直角坐标系,设,

    因为分别是所在棱的中点,所以
    所以,,故,
    即得证,在从左往右第二个图中,我们建立同样的空间直角坐标系,

    此时,所以,,
    故,所以不垂直,
    在从左往右第三个图中,我们建立同样的空间直角坐标系,

    此时,
    故,,即,所以不垂直,
    则下列3个直观图中满足的有个,故B正确.
    故选:B
    8.B
    设角所对的边分别为,,,
    因为是的外心,记中点为,则有,即,
    可得

    在中,由正弦定理可得:,
    则,当且仅当,即时,等号成立,
    所以的最大值为.
    故选:B.
    9.ABD
    对于A,若A与B相互独立,则,
    所以,故A对;
    对于B,因,,则,
    因为,所以事件与相互独立,故B对;
    对于C,若A与B互斥,则,故C错;
    对于D,若B发生时A一定发生,则,则,故D对.
    故选:ABD
    10.BCD
    对A选项与B选项,由题意知圆与圆交于点,
    则,,所以,
    所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆,且,,即,,
    所以,所以曲线的方程为,故A选项错误,B选项正确;
    对C选项,通径的长度为,故C选项正确;
    对D选项,设与直线平行的直线为,,
    将与联立得,
    令,解得,此时直线与椭圆相切,
    当时,切点到直线的距离最大,
    直线的方程为,此时两平行线的距离为,
    故曲线上的点到直线的距离的最大值为,故D选项正确.故选BCD.
    11.BCD
    对于A,当为底面的中心时,由,则 故,故A错误;
    对于B,当时,
    当且仅当,取最小值为,故B正确;
    对于C,当时,,则点在及内部,
    而是以为球心,以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分,
    当时,,当时,,可得最大值为,故C正确;
    对于D,, ,
    而,所以
    ,则为定值,故D正确.
    故答案选:BCD.
    12.1或2
    由题意可得:,即,
    可得或,解得或.
    故答案为:1或2.
    13.
    由题意设三棱台为,如图,
    上底面所在平面截球所得圆的半径是,为上底面截面圆的圆心
    下底面所在平面截球所得圆的半径是,为下底面截面圆的圆心
    由正三棱台的性质可知,其外接球的球心在直线上,
    当在线段上时,轴截面中由几何知识可得,无解;
    当在的延长线上时,可得,解得,
    因此球的表面积是.
    故答案为:

    连接,,由点在以为直径的圆上,故.
    又,在椭圆上,故有,.
    设,则,,,.
    在中,由勾股定理得,
    解得,于是,,故.
    15.(1)由题意得,则直线的斜率为,
    所以过点且与直线垂直的直线的方程为:,
    即.
    (2)的中点坐标为,
    由(1)可知线段垂线的斜率为,所以线段垂直平分线的方程为,
    即.
    因为是以为顶点的等腰直角三角形,
    所以点在直线上,
    故设点为,
    由可得:,
    解得或,
    所以点坐标为或,
    则直线的方程为或.
    16.(1)若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要打胜,
    所以甲连续打四局比赛的概率;
    (2)在前四局中甲轮空两局的情况为,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空,
    故在前四局中甲轮空两局的概率;
    (3)甲第四轮空有两种情况:
    第1种情况,第一局甲败,第二局轮空,第三局甲败,第四局轮空,
    第2种情况,第一局甲胜,第二局甲胜,第三局甲败,第四局轮空,
    第1种情况的概率;第2种情况的概率;
    由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为.
    17.(1)由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知,,
    解得,
    又,解得,
    所以,,
    成绩落在内的频率为:,
    落在内的频率为:,设第60百分位数为,
    则,解得,所以晋级分数线划为73分合理;
    (2)由图可知,按分层抽样法,两层应分别抽取4人和2人,分别记为,,,和,

    则所有的抽样有:,共15个样本点,
    “抽到的两位同学来自不同小组”,
    则共8个样本点,
    所以.
    (3)因为,所以,
    所以,
    所以,
    剔除其中的96和84两个分数,设剩余8个数为,,,…,,
    平均数与标准差分别为,,
    则剩余8个分数的平均数:,
    方差:
    18.(1)由题意可得,解得:,,
    ∴椭圆的标准方程为:;
    (2)由(1)可得右焦点,
    由题意设直线的方程为:,设直线与椭圆的交点,,,,则中点的纵坐标为,
    联立直线与椭圆的方程,
    整理可得:,,∴,
    同理可得直线与椭圆的交点的纵坐标,


    设,令,则,令,,
    ,,恒成立,∴在,单调递增,
    ∴.
    ∴面积的最大值为:.
    19.(1)(ⅰ)当直线的斜率不存在时,,两点关于轴对称,所以,,
    因为在椭圆上,所以,①
    又因为,所以,②
    由①②得,,此时,.
    (ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
    由题意知,将其代入得,
    其中,即,(*)
    又,,
    所以,
    因为点到直线的距离为,
    所以,
    又,整理得,且符合(*)式,
    此时,,
    综上所述,,,结论成立。
    (2)解法一:(ⅰ)当直线的斜率不存在时,由(1)知,,
    因此,,
    (ⅱ)当直线的斜率存在时,由(1)知:,



    所以,
    所以,当且仅当,即时,等号成立.
    综上可得,的最大值为.
    解法二:,
    所以,,即,
    当且仅当时等号成立.因此的最大值为.
    (3)椭圆上不存在三点,,,使得.
    证明:假设存在,,满足,
    由(1)得,,,,,,
    解得,,
    因此,,只能从中选取,,,只能从中选取,
    因此,,只能在这四点中选取三个不同点,
    而这三点的两两连线中必有一条过原点,与矛盾.
    所以椭圆上不存在满足条件的三点,,.

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