河南省信阳市2025届高三上学期第一次教学质量检测数学试题

这是一份河南省信阳市2025届高三上学期第一次教学质量检测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60B．80C．140D．160
3．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）
A．100B．230C．130D．365
5．若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．0B．1C．2D．2025
7．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A．B．28C．D．14
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．在区间内单调递增
C．在区间内单调递减
D．有极大值
10．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
三、填空题
12．已知不等式的解集为，则函数的定义域为 .
13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 .
14．函数满足：任意.且.则的最小值是 .
四、解答题
15．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和．
16．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
(2)求面积关于的函数解析式；
(3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.
17．已知函数，.
(1)求函数的最大值；
(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.
18．已知，其中．
(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；
(2)求的极值点；
(3)若在上的最大值是0，求的取值范围．
19．若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”，写出所有可能的；
(2)若“数列”中，，求的最大值；
(3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值.
参考答案：
1．C
【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解.
【详解】由集合，
因为，可得，所以.
故选：C.
2．C
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得.
【详解】等差数列中，，而，则，
公差，，
所以.
故选：C
3．B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】，，，又，即.
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.
4．B
【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得.
【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，
此时“进步值”为，“退步值”为，即，
所以，则，
所以天．
故选：B
5．A
【分析】先根据命题的真假性求出的范围，化简命题，再根据充分性和必要性的概念求解即可.
【详解】因为：实数使得“”为真命题，
所以有解，所以，解得，
即；
因为：实数使得“”为真命题，
所以，由指数函数的图象和性质可得，
即，
所以，，即是的必要不充分条件，
故选：A
6．C
【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，
又为偶函数，所以关于直线对称，
所以为周期函数且周期，
∴，∵，∴，∴.
故选:C．
7．D
【分析】求出函数的导数，再求出在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的值范围.
【详解】函数，求导得，
由在区间上有最小值，
得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
8．A
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出的大致图象，如下

令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，
即，此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，
显然只有符合题意，当时有，则，
解方程得的另一个正根为，
又，
此时五个整数根依次是，
显然最大的根和最小的根和为.
故选：A
9．BCD
【分析】根据奇函数定义及其导函数的性质进行判断即可.
【详解】由函数的定义域为知，为非奇非偶函数，因此A错误；
又，令，则，
当时，f′x>0，
因此在区间和单调递增；
当x∈1,+∞时，f′x0，当时，f′x