2025届河南省襄城县部分学校高三上学期教学质量检测月考数学试卷（解析版）

这是一份2025届河南省襄城县部分学校高三上学期教学质量检测月考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题）
1. 设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A. -∞,0B.
C. D. 2,+∞
【答案】A
【解析】，，
由得，所以.
故选：A
2. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由或.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又函数在上单调递增，所以.
即的取值范围为：.
故选：D
3. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数的模为2
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】D
【解析】因为，
则，
，故A错；
复数的共轭复数为，故B错；
复数的虚部为，故C错；
复数在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确．
故选：D．
4. 已知的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ）
A. -2B. 2C. 0D. -8
【答案】A
【解析】的图像关于点对称，所以f(x)关于原点对称，为奇函数.
由于，
所以，
所以f(x)是周期为的周期函数.
所以.
故选：A
5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
，.
由，，.
所以得：.
故选：B
6. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，
可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：
画出函数曲线的图像如图所示，
根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
由此可知.
故选：D.
7. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于三棱锥中，平面，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：

则体对角线即为外接球的直径，又
所以，
所以外接球的半径，
故三棱锥的外接球表面积，
故选：C.
8. 已知E为所在平面内的点，且.若，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】

因为，
则，
所以，
所以，所以，，
故.
故选：A.
二、多选题（共3小题）
9. 已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若和都为递增数列，则
【答案】BC
【解析】A中，由，，
得，所以，
由，错误；
B中，由，正确；
C中，由，所以，又，
则，正确；
D中，因为为递增数列，得公差，
因为为递增数列，得，
所以对任意的，，但的正负不确定，错误.
故选：BC.
10. 如图，等边三角形的边长为4，E为边的中点，于D.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A.
B. 四棱锥的体积的最大值是
C. 存在某个位置，使
D. 在线段上，存在点M满足，使为定值
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，即，，
因为，，面，则平面，
因为平面，所以，
故A正确；
对于B：当平面平面时，四棱锥的体积最大.
由A易知为二面角的平面角，此时.
即，，，，面，
此时平面，即为四棱锥底面上的高，
由题意可得，
四棱锥的体积的最大值为：，
故B正确；
对于C：假设存在某个位置，使得，连接，由正三角形性质得，
因为，，面，所以平面，
由平面，所以，由A知，
因为，，面，所以平面，
由平面，所以，
则，与题设矛盾，假设不成立，
故C错误；
对于D：由题设，点M在线段上，且，
取中点N，连接NB，则，，
由底面三角形的边长为4，则，，，
因为平面，所以面，面，所以，
所以为直角三角形，且，，
故为定值，
故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）
A. 的一个对称中心
B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为
D. 的单调递减区间为
【答案】BCD
【解析】由题图可得，，解得.
又，
可得，解得.
因为，所以，所以，
所以
对于A，当，，
所以不是的一个对称中心，故A错误；
对于B，令，可得，
故的对称轴方程为，故B正确；
对于C，时，，所以，
故在上的值域为，故C正确；
对于D，令，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（共3小题）
12. 已知，则在点处的切线斜率是__________．
【答案】2
【解析】∵，
∴
∴时，，
则在点处的切线斜率是2．
故答案为：2．
13. 已知，，若，则________.
【答案】
【解析】由题意，得.
因为，所以，解得.
故答案为：
14. 已知，，则的值为________.
【答案】
【解析】由，，可得，，
．
.
故答案为：.
四、解答题（共5小题）
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设，，求的值.
解：（1）在中，由正弦定理得：，
因为，
所以，
可得，
即，，
又，可得；
（2）在中，由余弦定理得：，，
由，以及，
可得，
因为，所以A是锐角，所以，
因此，，
所以，.
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：因为，，为的中点，
则且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，即.
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）解：因为，为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为，
如图，以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，其中，
所以，，
又，
设平面的法向量为，
则，所以，
取，得，
由题意知平面的一个法向量为，
因为二面角为，
所以，
因为，解得，
所以,
易知平面的一个法向量为，.
所以与平面所成角的正弦值为.
17. 已知数列的前n项和为，且，.
（1）求实数的值和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
解：（1）当时，，又，则，
所以；
当时，，整理得，
因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
于是，
两式相减得
，
所以.
18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
解：（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]
如图，连结．
因为底面，且底面，所以．
又因为，，所以平面．
又平面，所以．
从而．
因为，所以．
所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：如图，联结交于点N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因为M为的中点，
则，，．
由，得，解得，
所以．
（2）[方法一]设平面法向量为，
则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为的正方形，联结，．
，
由等积法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值为．
19 已知函数
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
解：（1）曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，函数的导数为，
（2）
①当时，在区间上
此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
②当即时，在区间上，
此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
③当，即时，
在区间上，此时函数在区间上单调递减，
在区间上，此时函数在区间上单调递增，
则函数在区间上的最小值为.
④当，即时，
在区间上此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，
当时，函数在区间上的最小值为