2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆C：x2+y2−4x+2y−4=0的圆心与半径分别为( )
A. C(−2,1)，r=3B. C(−2,1)，r=9
C. C(2,−1)，r=3D. C(2,−1)，r=9
2.两平行直线l1：x+y−1=0和l2：x+y−3=0之间的距离为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 3
3.已知点A(3,2,−1)，B(4,1,−2)，C(−5,4,3)，且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为( )
A. (−6,5,4)B. (3,−2,7)C. (−1,2,6)D. (−6,1,−3)
4.经过直线l1：y=−2x−1和l2：y=2x+3的交点，且倾斜角是直线l2的倾斜角的两倍的直线方程为( )
A. 2x+y+1=0B. x−4y+3=0C. 4x+3y+1=0D. 3x+4y−1=0
5.已知向量m=(1,2,−1),n=(t,1,−t)，且m⊥平面α,n⊥平面β，若平面α与平面β的夹角的余弦值为2 23，则实数t的值为( )
A. 12或−1B. 15或1C. −1或2D. −12
6.直线y=x+1关于直线y=2x对称的直线方程为( )
A. 3x−y−1=0B. 4x−y−2=0C. 5x−y−3=0D. 7x−y−5=0
7.在空间直角坐标系中，已知A(1,1,−1)，B(1,2,2)，C(−3,4,2)，则点A到直线BC的距离为( )
A. 7 55B. 10C. 392D. 3 52
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，DM=λDA1(0<λ<1)，CN=μCD1(0<μ<1)，若MN/​/平面AA1C1C，则线段MN的长度的最小值为( )
A. 13
B. 12
C. 23
D. 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,−1,0),b=(2,1,−2)，则下列向量中与a,b共面的向量是( )
A. c1=(3,0,−2)B. c2=(−1,2,2)C. c3=(0,−3,2)D. c4=(5,1,−2)
10.已知动点A，B分别在直线l1：3x−4y+5=0与l2：3x−4y+10=0上移动，则线段AB的中点P到坐标原点O的距离可能为( )
A. 2B. 75C. 3D. 94
11.如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥底面ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=π3，AP= 2,O为对角线AC，BD的交点，DF=λDP(0<λ<1),E为PC的中点.则下列说法正确的是( )
A. AE⊥OF
B. 三棱锥P−ABD的外接球的半径为 5
C. 当异面直线OF和AB所成的角为π6时，λ=37
D. 点F到平面PAB与到平面PAC的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点A(3,−1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______．
13.已知点A(−1,3)，B(3,2)，过点P(32,12)的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围为______，直线l的斜率的取值范围为______．
14.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π3,∠A1AC=∠A1AB=π4，AB=AC=2,A1A= 2,D为A1C1的中点，E为B1C1的中点，BD和AE相交于点P，则CP= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)．
(1)求△ABC的面积．
(2)求△ABC外接圆的方程．
16.(本小题15分)
在△ABC中，顶点A在直线y=x上，顶点B的坐标为(−4,0)，AB边的中线CD所在的直线方程为5x+7y−2=0，BC边的垂直平分线的斜率为52．
(1)求直线AC的方程；
(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=4，AD=2，AE=14AB．
(1)证明：AC⊥平面DD1E；
(2)求直线D1E与平面DEC1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知直线l：(m+1)x+(m−2)y−(4m+1)=0与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求|OA|⋅|OB|的最小值；
(2)求|OA|+|OB|的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB=AD= 2，CD=BC，PB=PD= 5，cs∠BCD=45，E为PC的中点．
(1)证明：BE//平面PAD；
(2)求平面ABP与平面PBD的夹角的余弦值的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.B
6.D
7.A
8.D
9.AC
10.CD
11.ACD
12.x+y−2=0或x+3y=0
13.[π4,3π4] (−∞,−1]∪[1,+∞)
14.2 33
15.解：(1)因为A(1,1)，B(4,2)，C(3,0)，
所以|AB|= (4−1)2+(2−1)2= 10，|AC|= (3−1)2+(0−1)2= 5，
|BC|= (4−3)2+(2−0)2= 5，
可得|AB|2=|AC|2+|BC|2，即该三角形为等腰直角三角形，
所以S△ABC=12|AC|⋅|BC|=12⋅ 5⋅ 5=52；
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
所以1+1+D+E+F=016+4+4D+2E+F=09+3D+F=0，解得D=−5，E=−3，F=6，
所以△ABC的外接圆的方程为：x2+y2−5x−3y+6=0．
16.解：(1)由BC边的垂直平分线的斜率为52，得直线BC方程为y=−25(x+4)，即2x+5y+8=0，
而AB边中线CD所在的直线方程为5x+7y−2=0，
由2x+5y+8=05x+7y−2=0，解得x=6y=−4，则C(6,−4)，设点A(a,a)，则点D(a2−2,a2)，
于是5(a2−2)+7⋅a2−2=0，解得a=2，即点A(2,2)，直线AC的斜率k=−4−26−2=−32，
所以直线AC的方程为y−2=−32(x−2)，即3x+2y−10=0．

(2)由(1)知，A(2,2)，C(6,−4)，
由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线l过边AC的中点(4,−1)，或l/​/AC，
当直线l过(4,−1)时，直线l的斜率为−1−04−(−4)=−18，方程为y=−18(x+4)，即x+8y+4=0，
当直线l/​/AC时，直线l的斜率为−32，方程为y=−32(x+4)，即3x+2y+12=0，
所以直线l的方程为x+8y+4=0或3x+2y+12=0．
17.解：(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，建系如图：

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，
E(2,1,0)，D1(0,0,4)，C1(0,4,4)，
∴AC=(−2,4,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,4)，
∴AC⋅DE=(−2)×2+4×1=0，AC⋅DD1=0，
∴AC⊥DE，AC⊥DD1，又DE∩DD1=D，DE，DD1⊂平面DD1E，
∴AC⊥平面DD1E；
(2)设平面DEC1的法向量为m=(x,y,z)，又DE=(2,1,0)，DC1=(0,4,4)，
则DE⋅m=2x+y=0DC1⋅m=4y+4z=0，取m=(1,−2,2)，又ED1=(−2,−1,4)，
∴直线D1E与平面DEC1所成的角的正弦值为：
|cs|=|ED1⋅m||ED1||m|=8 21×3=8 2163．
18.解：(1)由l：(m+1)x+(m−2)y−(4m+1)=0整理得，(x+y−4)m+x−2y−1=0，
令x+y−4=0x−2y−1=0，解得x=3y=1，即直线l经过定点(3,1)．
不妨设直线l的方程为xa+yb=1,(a>0,b>0)，则有3a+1b=1(∗)，
由(∗)和基本不等式可得，a+3b=ab≥2 3ab，解得ab≥12，
当且仅当a=3b时，即a=6，b=2时，等号成立，
故当|OA|=a=6，|OB|=b=2时，|OA|⋅|OB|=ab的最小值为12；
(2)因|OA|+|OB|=a+b，由(1)得，3a+1b=1，
则(3a+1b)(a+b)=4+3ba+ab≥4+2 3，当且仅当a= 3b时，等号成立，
故当|OA|=a=3+ 3,|OB|=b= 3+1时，|OA|+|OB|=a+b取得最小值4+2 3．
19.解：(1)证明：如图，连接AC，BD，两线交于点O，

因为AB=AD= 2，AB⊥AD，则AO=BO=OD=1，BD=2，
在△BCD中，设CD=BC=x，
由余弦定理，2x2−2x2×45=4，
解得x= 10，则OC= 10−1=3，
由题意知：A，O，C共线且AC⊥BD，取线段OC的三等分点M(靠近点O)，
连接EM，BM，则点M是AC的中点，因E为PC的中点，故有EM//PA，
又EM⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
故EM/​/平面PAD①，
因为OM=AO=BO=OD，且AM⊥BD，易知ABMD为菱形，故得BM/​/AD，
又BM⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
故BM/​/平面PAD②，
由①，②，因为BM∩EM=M，BM，EM⊂平面BEM，
故平面BEM//平面PAD，
因BE⊂平面BEM，则BE//平面PAD．
(2)如图，分别以OB,OC，过点O竖直向上的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设OP与z轴成θ角，因PB=PD= 5，则PO⊥BD且PO= 5−1=2，
又AO⊥BD，故∠POA即二面角P−BD−A的平面角，则∠POA=90°−θ，
于是P(0,−2sinθ,2csθ)，又A(0,1,0)，B(1,0,0)，D(−1,0,0)，
则AB=(1,−1,0),AP=(0,−2sinθ−1,2csθ)，
设平面ABP的一个法向量为m=(x,y,z)，
则AB⋅m=x−y=0AP⋅m=−(2sinθ+1)y+2zcsθ=0，
可取m=(2csθ,2csθ,2sinθ+1)；
又BD=(−2,0,0),BP=(−1,−2sinθ,2csθ)，
设平面BDP的一个法向量为n=(x′,y′,z′)，
则BD⋅n=−2x′=0BP⋅n=−x′−2y′sinθ+2z′csθ=0，
可取n=(0,csθ,sinθ)．
设平面ABP与平面PBD的夹角为α，
则csα=|m⋅n||m|⋅|n|=|2cs2θ+sinθ(2sinθ+1)| −4sin2θ+4sinθ+9= (sinθ+2)2−4sin2θ+4sinθ+9= sin2θ+4sinθ+4−4sin2θ+4sinθ+9，
设sinθ=t，因为θ∈[0,π2)，则t∈[0,1)，
csα= t2+4t+4−4t2+4t+9= −14(1+5t+254t2−t−94)，
设t+54=u，则u∈[54,94),
t2−t−94=u2−72u+916，
记f(u)=5uu2−72u+916=5u+916u−72，
因为函数y=u+916u在u∈[54,94)上单调递增，
故1710≤u+916u<52，
则−5故23≤csα<1，
即平面ABP与平面PBD的夹角的余弦值的取值范围为[23,1)．