河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知椭圆，则等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线，若，则实数的值为（ ）
A．B．1C．D．
3．在正方体中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知曲线的方程为，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或5
5．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光奵泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，如图所示，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，奵丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A．10cmB．8cmC．13cmD．6cm
6．如图，直三棱柱底面是直角三角形，且分别为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上B．的焦距不相等
C．有公共点D．椭圆比椭圆扁平
10．已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为D．
11．如图，已知正方体中，分别是，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为______．
13．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为______．
14．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的焦距为半径的圆交轴于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点．且两点是的三等分点，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知圆的方程为．
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．
16．（本小题满分15分）
已知双曲线，直线与双曲线交于两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，底面分别是上的三等分点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，且以为直径的圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点．试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
如图，已知抛物线上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：为定值．
2024~2025学年上学期高二年级10月月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 已知圆的圆心为，则圆的圆心坐标是，故选C．
2．B 由．故选B．
3．A 因为，又，所以．故选A．
4．C 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则解得．故选C．
5．D 由题设知解得所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为．故选D．
6．A 设，则，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则取，则，故为平面的一个法向量，设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为．故选A．
7．C 依题意作图．抛物线的准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，由条件得，设，则，，由于点在抛物线上，，解得或（不符合题意，舍），．故选C．
8．B 如图，设与圆的切点分别为，则有，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），即，又，所以，所以方程为．故选B．
9．BCD 因为粗圆的标准方程为，所以粗圆的焦点在轴上，所以A不正确；
因为粗圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
易发现椭圆都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为的离心率为，所以，所以D正确．故选BCD．
10．BCD ，
，
是直角三角形，
又，不防设，
，
，故B正确；
渐近线斜率，故C正确；
，由对称性可知斜率小于0时，，故D正确．故选BCD．
11．ABD 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，
设，
则，所以
解得故，即四点共面，选项A正确；
因为，所以，
所以与所成角的大小为，选项B正确；
假设在线段上存在点，符合题意．设，则，
若平面，则．因为，所以此方程组无解，所以在线段上不存在点，使平面，选项C错误；
因为，所以，又平面平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离均相等，即在线段上任取一点，三棱锥的体积不变，选项D正确．故选ABD．
12．或 设在轴、轴上的截距均为，若，即直线过原点，设直线为，代入（3，1），可得，所以直线方程为，即；若，则直线方程为，代入，则，解得4，所以此时直线方程为；综上所述：所求直线方程为或．
13．6 不妨设点为，则，则．
设圆的圆心为，则坐标为，
则的最大值即为的最大值与圆的半径1之和．
又，
当时，取最大值，最大值为5，则的最大值为．
14． 不妨设点在第二象限，双曲线的左、右焦点分别为．
如图，是的三等分点，，
过点作轴的垂线，可得垂足为双曲线的右焦点．
在中，，
则在中，．
根据双曲线的定义可知，即，则离心率．
15．解：（1）方程可化为，
此方程表示圆，
，即；
（2）由（1）可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
由于，则有，
，解得．
16．解：（1）点是双曲线的一个焦点，，
又且，解得双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为；
（2）设直线的方程为，且，
联立可得，
则，即，
，
解得，即由可得，
故双曲线的离心率．
17．（1）证明：，
根据余弦定理得，
，
以点为坐标原点，所在直线为轴，经过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，
又平面；
（2）解：，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，可得，
设平面的一个法向量，
由令，得，可得，
．
18．解：（1）由椭圆长轴长得，
以为直径的圆过可得半径为，
所以椭圆的方程是；
（2）设，直线的方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得，
所以．
若平分，则直线的倾斜角互补，所以．
设，则有．
将代入上式，
整理得，
所以．
将代入上式，
整理得．由于上式对任意实数都成立，所以．
综上，存在定点，使平分．
19．（1）解：抛物线的焦点坐标为，
因为此抛物线上到焦点距离最近的点就是坐标原点，
所以，所以抛物线方程为；
（2）证明：设直线，
由可得，
则，解得，
则，解得，
不妨令直线，直线，则，
设，设直线，
由可得，
由，可得或（舍），
则，直线．
由解得即，
故为定值．