上海市九年级上学期数学期中模拟试卷02（测试范围：相似三角形）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
1．若，则的值是
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，，则的值是
A．B．C．D．
3．下列两个三角形一定相似的是
A．两个直角三角形B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形
4．已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为
A．B．C．D．
5．如图，已知，，，那么的长等于
A．B．C．D．
6．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是
A．①正确②错误B．①错误②正确C．①、②皆正确D．①、②皆错误
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
7．已知，满足，则的值为 ．
8．点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 ．
9．如图中，点在上，且．设，，那么 （结果用、表示）
10．已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 ．
11．在中，，已知的正弦值是，那么的正弦值是 ．
12．如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于 ．
13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 ．
14．已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么 ．
15．如图，在中，，是内一点，且，若，，那么 ．
16．如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是 ．
17．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ．
18．如图，在中，，，，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，联结，那么的正切值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分，10+10+10+10+12+12+14）
19．计算：．
20．如图，已知平行四边形，点、是边、的中点，设，．
（1）求向量（用向量、表示）；
（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
21．如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，．
（1）求的面积；
（2）求．
22．已知：如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求：
（1）坡顶到地面的距离；
（2）古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，
23．如图，在中，，平分，作交于点，垂足为．作，垂足为．
（1）求证：．
（2）求证：．
24．如图，分别交轴、轴于、两点．
（1）求出、两点的坐标；
（2）已知点的坐标为，过点和点作直线，联结，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
25．（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点．点是上任意一点．连结交于点，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值；
（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．