上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

这是一份上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.下列函数中，一定为二次函数的是（ ）
A.B.C.D.
2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A.如果，那么
B.如果，，那么
C.已知是单位向量，如果，那么
D.如果，，其中是非零向量，那么
5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ）
A.B.
C.D.
6.已知在中，点D、E分别在边AB和AC上，联结CD、BE交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7.已知，且，那么_______.
8.抛物线与y轴的交点坐标为_______.
9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.
10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是_______.
11.如图，已知在中，，CD是边AB上的高，如果，，那么_______.
12.如图，在中，，点D和点E在边BC上，，，那么_______.
13.如图，已知，且，那么_______.
14.如图，在中，点D在边BC上，线段AD经过重心G，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）
15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.
16.如图，在中，点D在边AB上，，点E和F分别在边BA和CA的延长线上，且，如果，那么_______.
17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A的“简朴点”，已知抛物线上一点B的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.
18.如图，在矩形ABCD中，，在边CD上取一点E，将沿直线BE翻折，使点C恰好落在边AD上的F处，的平分线与边AD交于点M，如果，那么_______.
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19.（本题满分10分）
如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）
20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知点在二次函数的图像上.
（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；
（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值.
21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.
（1）求二次函数的解析式；
（2）如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），联结OP、AP，试判断的形状并说明理由.
22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）
如图，已知在中，点D在边AC上，过点A作，交BD的延长线于点E，点F是BE延长线上一点，联结CF，如果.
（1）求证：；
（2）如果，，求的值.
23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，在中，CD是AB边上的高，点E是边AC的中点，联结ED并延长交CB的延长线于点F，且.
（1）求证：；
（2）如果，求证：.
24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD、BD，求的面积；
（3）如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标.
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
如图，在矩形ABCD中，，，点E是射线DA上的一点，点F是边AB延长线上的一点，且.联结CE、EF，分别交射线DB于点O、点P，联结CF、CP.
（1）当点E在边AD上时，
①求证：；
②设，，求y关于x的函数解析式；
（2）过点E作射线DB的垂线，垂足为点Q，当时，请直接写出DE的长.
2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10
参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.B；2.A；3.C；4.D；5.D；6.C.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.；8.；9.；10.；11.；12.；
13.；14.；15.；16.；17.；18.
三、解答题：
（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19.解： ，
20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，
∴把，代入，得.
解得.
∴二次函数的解析式为.
∴对称轴为直线.
顶点的坐标为.
（2）二次函数的解析式化为.
∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位，
∴平移后新二次函数的解析式为.
∵平移后图像经过点，
∴把，代入，得.
解得.
21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为.
∵二次函数的图像经过原点，
∴把，代入得..
解得.
∴这个二次函数的解析式为.
（2）∵二次函数的图像与x轴交于点A，
∴把，代入得，（舍去）.
得点A的坐标为.
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴是等腰直角三角形.
22.解：（1）∵，∴.
∵，∴.
∴∴.
（2）∵，，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴.
23.证明：（1）∵，∴.
∵CD是AB边上的高，点E是边AC的中点，
∴在中.
又∵，∴.∴.
∵，∴.
∴.
（2）∵，∴.∴.
∵，∴
∴∴.
∵，∴.
∴.∴.
24.解：（1）∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点，
得
解得.
∴二次函数的解析式为.
（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，
又∵二次函数图像的对称轴为直线.
∴，点D坐标为.
设直线AB的表达式为.
∵直线AB经过，，得，解得，
∴直线AB的表达式为.
设抛物线的对称轴与直线AB交于点E，得点E坐标为.
∴.
∴.
（3）过点P作轴，垂足为H.
设点.
∴，.
∵，
又∵，∴.
∵，∴.
∴.∴.
∴（舍去），.
即点P的横坐标是.
25.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴.∴.
∴.
（2）∵，∴.
即.
∵，∴.
∴.
∴.
∵，∴.∴.
又∵且，
∴.∴.
∵，∴.
∴.
∴.
∵在中，，，∴.
同理可得.
∴∴.
（3）
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