高考数学母题题源解密(全国通用)专题18坐标系与参数方程专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题18坐标系与参数方程专题练习(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了极坐标与参数方程等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考浙江卷
【母题题文】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【试题解析】【小问1详解】
因为，，所以，即的普通方程为．
【小问2详解】
因为，所以，即的普通方程为，
由，即的普通方程为．
联立，解得：或，即交点坐标为，；
联立，解得：或，即交点坐标为，．
【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．
【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．
常见的命题角度有：
（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.
【得分要点】
(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；
(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；
1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，为常数且），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：．
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)点，直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率．
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
(1)求的极坐标方程，判断，的位置关系；(2)求经过曲线，交点的直线的斜率．
3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为：(t为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．
4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）.曲线的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若曲线，的交点为A，B，已知，求.
5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中为直线的倾斜角，t为参数），在以为O极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
(1)当直线的斜率k=2时，求曲线C上的点A与直线上的点B间的最小距离；
(2)如果直线与曲线C有两个不同交点，求直线的斜率k的取值范围.
6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．
(1)求的参数方程；
(2)判断与的位置关系．
7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点，求的值.
8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线，相交于、两点，曲线经过伸缩变换后得到曲线.
(1)求曲线的普通方程和线段的长度；
(2)设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线和曲线除极点外的交点的极坐标；
(2)若，分别为曲线和上的异于极点的两点，且，求面积的最大值．
10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；
(2)已知点M的直角坐标为，曲线和圆相交于A，B两点，求．
专题18坐标系与参数方程
考向一 极坐标与参数方程
【母题来源】2022年高考浙江卷
【母题题文】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
【试题解析】【小问1详解】
因为，，所以，即的普通方程为．
【小问2详解】
因为，所以，即的普通方程为，
由，即的普通方程为．
联立，解得：或，即交点坐标为，；
联立，解得：或，即交点坐标为，．
【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．
【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．
常见的命题角度有：
（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.
【得分要点】
(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；
(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；
1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，为常数且），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：．
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)点，直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率．
【答案】(1)；(2)±1
【解析】
【分析】
（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解，进而可求.
(1)，
；
(2)将代入得，，因为点 在圆内，故 在点两侧，由题意知，，因此，即，
故，解得，进而 因此斜率为±1．
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
(1)求的极坐标方程，判断，的位置关系；(2)求经过曲线，交点的直线的斜率．
【答案】(1)，，相交.(2)
【解析】
【分析】
（1）先求解的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解的极坐标方程，再根据的直角坐标方程，分析，圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；
（2）根据，均过极点，联立极坐标方程，求解即可
(1)由题意，的标准方程为，即，故的极坐标方程为，即，又，的极坐标方程为，即，.因为， ，半径相等，半径和为，且，故，相交.
故的极坐标方程，，相交.
(2)由（1）：，：均经过极点且相交，联立有，显然，故，即，即经过曲线，交点的直线的斜率为
3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为：(t为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．
【答案】(1)当时，直线的普通方程为；当时，直线的普通方程为； (2)或
【解析】
【分析】
（1）因为直线的参数方程为（为参数），讨论和时，消去参数，即可求出直线的普通方程，因为，即可求出曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的方程整理，．因为，可设该方程的两个根为，所以，代入即可求出直线的倾斜角.
(1)因为直线的参数方程为（为参数），
当时，直线的普通方程为．
当时，直线的普通方程为．
因为，，
因为，所以．
所以的直角坐标方程为．
(2)曲线的直角坐标方程为，
将直线的参数方程代入曲线的方程整理，
得．
因为，可设该方程的两个根为，
则，．
所以
．
整理得，
故．
因为，所以或，
解得或或，
综上所述，直线的倾斜角为或．
4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）.曲线的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若曲线，的交点为A，B，已知，求.
【答案】(1)（或，），ρ＝4. (2)12
【解析】
【分析】
（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；
（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.
(1)由曲线（t为参数），消去参数t得，
化成极坐标方程得.化简极坐标方程为（或，）.
曲线（θ为参数）消去参数θ得.化简极坐标方程为ρ＝4.
(2)由已知得P在曲线上，将曲线化为标准参数方程（t为参数）代入的直角坐标方程，得，
即，即A，B所对应的参数分别为，，所以.
5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中为直线的倾斜角，t为参数），在以为O极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
(1)当直线的斜率k=2时，求曲线C上的点A与直线上的点B间的最小距离；
(2)如果直线与曲线C有两个不同交点，求直线的斜率k的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C的平面直角坐标方程为，设出曲线上点，求出直线方程，利用点到直线距离公式，得到曲线C上的点A与直线上的点B间的最小距离；（2）直线的普通方程为：，与曲线C：联立消去后用根的判别式得到不等式，求出斜率k的取值范围.
(1)
两边同乘以得：，
所以曲线C的平面直角坐标方程为，设曲线上的一点坐标为，
当直线的斜率k=2时，直线方程为，即，
则点到直线距离为，
当时，取得最小值，最小值为，
故曲线C上的点A与直线上的点B间的最小值为；
(2)直线的普通方程为：，
与曲线C：联立得：，
由得：或，
解得：
6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．
(1)求的参数方程；
(2)判断与的位置关系．
【答案】(1)（为参数）(2)直线与圆相切.
【解析】
【分析】
（1）先将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；
（2）将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可.
(1)解：因为圆的极坐标方程为，则，
则其直角坐标方程为，
即，圆心为，半径为1,
则圆的参数方程为（为参数）.
(2)解：因为直线的极坐标方程为，
则，整理得，
所以直线的直角坐标方程为，
由（1）得圆的直角坐标方程为，圆心为，半径为1,
则圆心到直线的距离为，
故直线与圆相切.
7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点，求的值.
【答案】(1)曲线；直线 (2)
【解析】
【分析】
（1）消去参数t即可得C的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；
（2）写出直线l参数方程的标准形式，再与C的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.
(1)曲线C的参数方程为（t为参数），
转化为直角坐标方程为，可得；
直线l的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为；
(2)把直线l的方程换成参数方程，得（t为参数），代入.
得，∴，显然异号.
由，
∴.
8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），曲线，相交于、两点，曲线经过伸缩变换后得到曲线.
(1)求曲线的普通方程和线段的长度；
(2)设点是曲线上的一个动点，求的面积的最小值．
【答案】(1)， (2)
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出的普通方程，求出的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出的长度，
（2）由伸缩变换可求出曲线的方程为，设点，求出点到直线的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出的面积的最小值
(1)由，得，又，，所以．
由（为参数），消去参数得，
的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为
，所以.
(2)曲线经过伸缩变换后得到曲线，则，即曲线的方程为，设点，则点到直线的距离为
（其中，），
故当时，取得最小值，且，
因此，当点到直线的距离最小时，的面积也最小，
所以的面积的最小值为．
9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线和曲线除极点外的交点的极坐标；
(2)若，分别为曲线和上的异于极点的两点，且，求面积的最大值．
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）求出曲线的普通方程，进而求出极坐标方程，与的极坐标方程联立，求出曲线和曲线除极点外的交点的极坐标；（2）设出两点的极坐标方程，表达出的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.
(1)曲线的普通方程为，
化为极坐标方程为：，化简得到：，
与联立，得：，
即，
因为，所以，所以，或，
解得：或，
当时，此时，
当时，此时
所以曲线和曲线除极点外的交点的极坐标为与；
(2)因为，①设，
则
，
因为，所以当时，面积取得最大值，最大值为；
②设，
则
，
因为，所以当时，面积取得最大值，最大值为；
因为，所以面积最大值为.
10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．
(1)求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；
(2)已知点M的直角坐标为，曲线和圆相交于A，B两点，求．
【答案】(1)；(2)3
【解析】
【分析】
（1）由已知，可根据题意直接写出的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P的直角坐标，写出所在圆的直角坐标方程即可；
（2）由已知，设A，B对应的参数分别为，将曲线的参数方程带入圆，并根据根与系数关系，求解即可.
(1)因为，，所以的极坐标方程：，
因为点P的直角坐标是，
所以所在圆的直角坐标方程为．
（注：的极坐标方程不标明的取值范围或写错扣1分）
(2)设A，B对应的参数分别为，
将代入得：
所以
因为，由t的几何意义得：