高考数学母题题源解密(全国通用)专题07计数原理(理科)专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题07计数原理(理科)专题练习(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了排列与组合，二项式定理等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【试题解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B
【命题意图】本题主要考查利用捆绑法和插空法求出排列总数，利用排列组合与计数原理即可得解..
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，题型多样，思路灵活，试题难度较大，是历年高考的必考题型．
常见的命题角度有：
（1）捆绑法；（2）插空法；（3）排列求幂法；（4）标号排位法.
【得分要点】
（1）有限制条件的可以采用特殊位置优先安排的方法；
（2）要求几个元素必须在一起的，可以采用捆绑法；
（3）要求元素不相离的，可以采用插空法
考向二 二项式定理
【母题来源】2021年高考北京卷
【母题题文】若，则（ ）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【试题解析】令，则，
令，则，故，故选：B.
【命题意图】利用赋值法求二项式的参数值.
【命题方向】这类试题在通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
求二项式展开式中的某一项或几项的系数；（2）二项式的性质和各系数的和；（3）利用二项式定理的性质求参数.
【得分要点】
首先求二项式展开的通项；
根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
得出结论.
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种B．72种C．90种D．144种
2．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ）
A．28B．24C．20D．16
3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（ ）
A．17B．29C．56D．13
4．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
5．（2022·河南安阳·模拟预测（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种B．64种C．72种D．80种
6．（2022·全国·模拟预测（理））在北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队成功夺冠，为中国体育代表团夺得本届冬奥会首金.短道速滑男女接力赛要求每队四名运动员，两男两女，假设男女队员间隔接力，且每位队员只上场一次，则不同的上场次序的种数为（ ）
A．8B．16C．18D．24
7．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））二项式的展开式中，其中是无理项的项数共有（ ）
A．项B．项C．项D．项
8．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知，则（ ）
A．280B．35C．D．
9．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知，则关于的展开式，以下命题错误的是（ ）
A．展开式中系数为负数的项共有3项 B．展开式中系数为正数的项共有4项
C．含的项的系数是 D．各项的系数之和为
二、填空题
11．（2022·浙江温州·三模）勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有___________种.（用数字作答）
12．（2022·辽宁·育明高中一模）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答）
13．（2022·上海长宁·二模）将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．
14．（2022·江西·模拟预测（理））随着乡村的发展，很多乡村融合本地的特点发展旅游业，某县运用本地特点和风俗习惯打造了多个特色乡村，有4名游客打算去该县的A，B，C三个特色乡村旅游，每人只选择一个乡村旅游，则这4人恰好选择了两个乡村旅游的概率为___．
15．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知的展开式中第二项的系数为8，则展开式中所有项的系数和为___________.
16．（2022·上海徐汇·三模）已知多项式，则___________.
专题07 计数原理
考向一 排列与组合
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
【答案】B
【试题解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B
【命题意图】本题主要考查利用捆绑法和插空法求出排列总数，利用排列组合与计数原理即可得解..
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，题型多样，思路灵活，试题难度较大，是历年高考的必考题型．
常见的命题角度有：
（1）捆绑法；（2）插空法；（3）排列求幂法；（4）标号排位法.
【得分要点】
（1）有限制条件的可以采用特殊位置优先安排的方法；
（2）要求几个元素必须在一起的，可以采用捆绑法；
（3）要求元素不相离的，可以采用插空法
考向二 二项式定理
【母题来源】2021年高考北京卷
【母题题文】若，则（ ）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【试题解析】令，则，
令，则，故，故选：B.
【命题意图】利用赋值法求二项式的参数值.
【命题方向】这类试题在通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
求二项式展开式中的某一项或几项的系数；（2）二项式的性质和各系数的和；（3）利用二项式定理的性质求参数.
【得分要点】
首先求二项式展开的通项；
根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
得出结论.
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（ ）
A．48种B．72种C．90种D．144种
【答案】D
【解析】
【分析】
依题可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步计数原理即可解出．
【详解】
由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．
故选：D．
2．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是（ ）
A．28B．24C．20D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解
【详解】
显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．
最大数为5的情况：
①，此时共有种情况；最大数为4的情况：
②，此时共有种情况；
③，此时共有种情况．
当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组的个数是．故选：A
3．（2022·江西·上高二中模拟预测（理））2022年第24届冬季奥林匹克运动会（即2022年北京冬季奥运会）的成功举办，展现了中国作为一个大国的实力和担当，“一起向未来”更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求.该届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区，甲、乙、丙、丁四名学生分别去这三个赛区担任志愿者，每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排1人.学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者且乙不被安排到延庆赛区做志愿者的方法数为（ ）
A．17B．29C．56D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出所有可能安排的方法数，再应用间接法求甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数.
【详解】
由题意，任意安排的方法数有种，
甲被安排到张家口有种，同理乙被安排到延庆有种，
甲被安排到张家口，同时乙被安排到延庆有种，
所以甲不被安排到张家口且乙不被安排到延庆的方法数为种.
故选：A
4．（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
【答案】C
【解析】
【分析】
分单循环赛和淘汰赛：单循环赛共需要场比赛，淘汰赛依次分别计算，在求总和即可．
【详解】
第一轮分成6个组进行单循环赛共需要场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要场比赛
故选：C．
5．（2022·河南安阳·模拟预测（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种B．64种C．72种D．80种
【答案】A
【解析】
【分析】
按照间接法，先计算3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况，然后减去3名校长选的3家企业完全相同的安排方法数，即可求得所需安排情况种数.
【详解】
解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：种
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有种，
则不同的安排方法共有：种.故选：A.
6．（2022·全国·模拟预测（理））在北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队成功夺冠，为中国体育代表团夺得本届冬奥会首金.短道速滑男女接力赛要求每队四名运动员，两男两女，假设男女队员间隔接力，且每位队员只上场一次，则不同的上场次序的种数为（ ）
A．8B．16C．18D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意把问题分类为：（1）以男运动员排第一位的的上场次序；（2）以女运动员排第一位的上场次序；然后求和，即可求解.
【详解】
把问题分类：（1）以男运动员排第一位，上场次序的种数为：；（2）以女运动员排第一位，上场次序的种数为：；总的上场次序种数合计为：
故选：A
7．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））二项式的展开式中，其中是无理项的项数共有（ ）
A．项B．项C．项D．项
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，可考虑求有理项，根据二项展开式的通项公式，由的指数值为整数，即可解出有理项的项数，进而得到无理项的项数即可
【详解】
二项式的展开式中，通项公式为，
，时为有理项共6项，故无理项的项数共有
故选：D.
8．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知，则（ ）
A．280B．35C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将化为
，利用展开式的通项求解即可.
【详解】
，
令，则，
展开式的通项为：，
令，可得，所以.故选：A.
9．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求出求出二项式展开式有3项是有理项，再利用古典概型求出恰有两项有理项相邻的概率.
【详解】
展开式通项为，
由题意．
所以当时为整数，相应的项为有理项，
因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，
所求恰有两项有理项相邻的概率为．故选：B．
10．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知，则关于的展开式，以下命题错误的是（ ）
A．展开式中系数为负数的项共有3项 B．展开式中系数为正数的项共有4项
C．含的项的系数是 D．各项的系数之和为
【答案】C
【解析】
【分析】
写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC的真假；求出各项的系数之和即可判断选项D的真假.
【详解】
解：原式=，所以的系数为1，是正数；的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，常数项为，所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB正确，选项C错误.
设，所以.所以各项的系数之和为，所以选项D正确.
故选：C
二、填空题
11．（2022·浙江温州·三模）勠力同心，共克时艰!近日，某地因出现新冠疫情被划分为“封控区”“管控区”和“防范区”，现有6位专家到这三个“区”进行一天的疫情指导工作，每个“区”半天安排一位专家，每位专家只安排半天的工作，其中专家甲只能安排在上午，专家乙不安排在“防范区”，则不同的安排方案一共有___________种.（用数字作答）
【答案】240
【解析】
【分析】
根据题意分两类：甲安排在“防范区”上午和甲不安排在“防范区”上午，分别求出其方法数，再根据分类加法原理求解即可
【详解】
甲安排在“防范区”上午时，则专家乙有4种可能，其余4位专家有种可能，，
甲不安排在“防范区”上午时，甲有2种可能，乙有3种可能，其余4位专家有种可能，，
所以共有种安排方案.
故答案为：240
12．（2022·辽宁·育明高中一模）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答）
【答案】330
【解析】
【分析】
法1：先选后排，进行求解；法2：用消序法进行求解.
【详解】
法1：
第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法；
第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为，
由分步计数原理可得共有种方法.
法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种，
其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为.故答案为：330
13．（2022·上海长宁·二模）将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．
【答案】18
【解析】
【分析】
先把4个小球分为一组，其中2个不连号小球的种类有，，为一组，再全排列即可，
【详解】
解：先把4个小球分为一组，其中2个不连号小球的种类有，，为一组，
分组后分配到三个不同的盒子里，故共有种不同的放法；
故答案为：18．
14．（2022·江西·模拟预测（理））随着乡村的发展，很多乡村融合本地的特点发展旅游业，某县运用本地特点和风俗习惯打造了多个特色乡村，有4名游客打算去该县的A，B，C三个特色乡村旅游，每人只选择一个乡村旅游，则这4人恰好选择了两个乡村旅游的概率为___．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出基本事件总数，再按照分组分配方法求出满足条件的事件数，最后按照古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：这4名游客去A，B，C三个乡村旅游，共有种结果．
这4人恰好选择了两个乡村，有两种分组方法：1，3和2，2，有种结果，
再将这两组分配给两个乡村，则有种结果，
故所求概率．故答案为：
15．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知的展开式中第二项的系数为8，则展开式中所有项的系数和为___________.
【答案】30
【解析】
【分析】
根据的展开式中第二项的系数为8，求出，再令，即可得出答案.
【详解】
解：的展开式中第二项为，
则，所以，
令，则，
即展开式中所有项的系数和为30.故答案为：30.
16．（2022·上海徐汇·三模）已知多项式，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可求得的值.
【详解】
因为的展开式通项为，的展开式通项为，
由，可得，所以，.故答案为：.