高考数学压轴题讲义专题2.13交点零点有没有，极最符号异与否专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学压轴题讲义专题2.13交点零点有没有，极最符号异与否专题练习(原卷版+解析)，共42页。
导数研究函数图象交点及零点问题
利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.
【典例指引】
例1．已知函数，．
（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；
（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)
（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）
例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数的零点个数．
例4．已知函数，．
（Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．
【新题展示】
1．【2019黑龙江大庆二模】已知函数.
（Ⅰ）当时，点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；
（Ⅱ）讨论函数零点的个数，并说明理由.
2．【2019北京房山区上学期期末】已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
3．【2019浙江名校新高考研究联盟联考】设，已知函数，．
Ⅰ若恒成立，求的范围
Ⅱ证明：存在实数，使得有唯一零点．
4．【2019甘肃、青海、宁夏上学期期末】已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的零点个数.
5．【2019安徽芜湖上学期期末】已知函数，.
（1）求的极值点；
（2）若函数在区间内无零点，求的取值范围.
6．【2019山东济南上学期期末】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【同步训练】
1．已知函数．
（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证：
2．已知函数 ．
（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．
3．已知函数
(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；
(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；
4．已知函数，其中是自然数的底数， ．
（Ⅰ）求实数的单调区间．
（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．
5．已知函数， ．[来源:学&科&网]
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程．
（Ⅱ）求的单调区间．
（Ⅲ）设，其中，证明：函数仅有一个零点．
6．设函数
（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；
（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的取值范围．
7．已知函数．
（1）若，求函数的极值；[来源:学|科|网Z|X|X|K]
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
8．已知， ．
（1）求函数的增区间；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；
（3）设正实数，满足当时，求证：对任意的两个正实数，总有
．
(参考求导公式： )
9．已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）令，讨论函数的零点的个数；
（3）若，正实数满足，证明
10．已知函数（）．
（1）判断函数在区间上零点的个数；
（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
11．已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
12．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数．
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围．
14．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数．
15．已知函数．
（1）求函数的极值；[来源:学_科_网]
（2）若，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由．
【题型综述】
导数研究函数图象交点及零点问题
利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.
【典例指引】
例1．已知函数，．
（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；
（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．
【思路引导】
（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负， ，故只有一个公共点．
当时，，在（）单调递减；
当时，，在（0，1）单调递增．学科*网
又，所以在（0，1）（）恒负
因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）．
例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)
（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）
【思路引导】
（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；
（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.
当且仅当故实数的取值范围为
∴存在，使得，即，则，………9分
∴当时， 单调递减；
当时， 单调递增，
则取到最小值 ，
∴，即在区间内单调递增
，
∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.学科*网
例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数的零点个数．
【思路引导】
（1）根据是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当时， ，，结合单调性由此可得结论．
(2)∵，
∴，令，得， ．
当变化时，，的取值变化情况如下：
当时， ，
，又因为在上单调递增，因而在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．学科*网
点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数．
例4．已知函数，．
（Ⅰ）求证：当时，；
（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．
【思路引导】
（Ⅰ）求导，得，分析单调性得当时，即得证；（Ⅱ） 对t进行讨论①，在[1，+∞)上是增函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，②若， 在[1，+∞)上是减函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，③若0