备战2022年高考数学压轴题专题2.12 交点零点有没有极最符号异与否

高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.12 交点零点有没有极最符号异与否

【题型综述】

导数研究函数图象交点及零点问题 

利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数；

②求导；

③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；

④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

【典例指引】

例1．已知函数，．

（I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求a的值；

（II）当时，试问曲线与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．

【思路引导】

（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负， ，故只有一个公共点．

当时，，在（）单调递减；

当时，，在（0，1）单调递增．

又，所以在（0，1）（）恒负

因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1）．

例2．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数)

（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）

【思路引导】

（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；

（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.

        当且仅当故实数的取值范围为

       ∴存在，使得，即，则，………9分

          ∴当时， 单调递减；

         当时， 单调递增，

       则取到最小值 ，

       ∴，即在区间内单调递增

       ，

       ∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.

例3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数的零点个数．

【思路引导】

（1）根据是二次函数，且关于的不等式的解集为，设出函数解析式，利用函数的最小值为，可求函数的解析式；（2）求导数，确定函数的单调性，可得当时， ，，结合单调性由此可得结论．

(2)∵，

∴，令，得， ．

当变化时，，的取值变化情况如下：

当时， ，

，又因为在上单调递增，因而在上只有1个零点，故在上仅有1个零点．

点睛：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，即一元二次不等式的解集区间的端点值即为对应二次函数的零点，同时用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，利用导数判断函数的单调性，根据零点存在性定理与单调性相结合可得零点个数．

例4．已知函数，．

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．

【思路引导】

（Ⅰ）求导，得，分析单调性得当时，即得证；（Ⅱ） 对t进行讨论①，在[1，+∞)上是增函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，②若， 在[1，+∞)上是减函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，③若0<t<1时分析单调性借助于第一问，找到，则当时，即成立；取，则当时， ，即，说明存在，使得，即存在唯一零点．

（Ⅱ）   

①若，则当时， ，所以在[1，+∞)上是增函数，

所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．

②若，则当时，，所以在[1，+∞)上是减函数，

所以当时，，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．

点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性，最值；考查了分类讨论的思想；处理0<t<1时，注意前后问间的联系，找到，使得，根据单调性说明唯一存在，这是本题的难点所在；

【同步训练】

1．已知函数．

（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求证：

【思路引导】

本题考查导数的几何意义及导数在研究函数单调性、极值中的应用．（Ⅰ）根据函数在处取极值可得，然后根据导数的几何意义求得切线方程即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，令，可得在上单调递减，在上单调递增．结合函数的单调性和函数值可得在上有唯一零点，设为，证明即可得结论．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

令，则

由，可得

在上单调递减，在上单调递增．

又，故当时， ；

又，故在上有唯一零点，设为，

从而可知在上单调递减，在上单调递增，

因为有唯一零点，故且

2．已知函数 ．

（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）讨论、两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数恰有一个零点时实数的取值范围；（2）对任意，有成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果．

②当时，令，解得．

当时， ，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增．

要使函数有一个零点，则即．

综上所述，若函数恰有一个零点，则或．

（2）因为对任意，有成立，

所以在上单调递增，故，所以．

从而 ．

所以即，

设 ，则．

当时， ，所以在上单调递增．

又，所以，即为，解得．

因为，所以的取值范围为．

3．已知函数

(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；

(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；

【思路引导】

（1）根据函数的极值的概念得到， ，根据函数的单调性得到函数的最值．（2）研究函数的单调性，找函数和轴的交点，使得函数和轴没有交点即可；分和，两种情况进行讨论．

（2），由于．

①当时，是增函数，

且当时，．

当时，，，取，

则，所以函数存在零点．

②当时， ．

在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值．

函数不存在零点，等价于，

解得．

综上所述：所求的实数的取值范围是．

点睛：这个题目考查的是另用导数研究函数的极值和最值问题，函数的零点问题；对于函数有解求参的问题，常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根的问题．

4．已知函数，其中是自然数的底数， ．

（Ⅰ）求实数的单调区间．

（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由．

【思路引导】

（Ⅰ）， 令，解出， ，解出，

即可得的单调区间（Ⅱ），当时， ，

现考虑函数的零点，令，则，令，考虑函数与的交点，两者相切，解得，此时，所以，故函数与无交点，即可得结果．

点睛：本题考查了利用导数研究函数单调区间，研究函数零点问题，第二问中对进行这样处理，很容易确定一个零点0，考虑函数的零点时使用换元法，简化函数式，很容易利用初等函数即可解决．

5．已知函数， ．

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程．

（Ⅱ）求的单调区间．

（Ⅲ）设，其中，证明：函数仅有一个零点．

【思路引导】

（Ⅰ）求导，所以，又可得在处的切线方程（Ⅱ）令，解出，令，解出，可得的单调区间．（Ⅲ） ，

在单调递增在单调递减，在单调递增，且极大值，极小值可得在无零点，在有一个零点，所以有且仅有一个零点．

点睛：本题考查了利用导数求函数在某点处的切线，考查了函数的单调区间，考查了利用导数研究零点问题，注意处理时采用因式分解很容易得出的根，考查了学生推理运算的能力，属于中档题．

6．设函数

（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；

（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极值（2）先化简，再利用参变分离法得，利用导数研究函数，由图像可得存在唯一零点时的取值范围

试题解析：

（1）由题设，当时，，则，由，得．

∴当，，在上单调递减，

当，，在上单调递增，

又，结合的图象（如图），可知

当时，函数有且只有一个零点；

当时，函数有且只有一个零点．

所以，当或时，函数有且只有一个零点．

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．

7．已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）函数求导得，讨论导数的单调性即可得极值；

（2）函数求导得，讨论， ， 和时函数的单调性及最值即可下结论．

（2），

当时，易知函数只有一个零点，不符合题意；

当时，在上， ， 单调递减；

在上， ， 单调递增；

，且， →， →，

所以函数有两个零点．

当时，在和上， ， 单调递增；在上， 单调递减；

，函数至多有一个零点，不符合题意．

当时，在和上， 单调递增；在上， 单调递减；

，函数至多有一个零点，不符合题意．

综上：实数的取值范围是．

点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．

8．已知， ．

（1）求函数的增区间；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；

（3）设正实数，满足当时，求证：对任意的两个正实数，总有．

(参考求导公式： )

【思路引导】

 (1)求导，对进行分类讨论，可得函数的增区间；

（2）由（1）知：若函数在的上为增函数，函数有至多有一个零点，不合题意．

若 可知，要使得函数有两个零点，则 ，以下证明函数有两个零点即可

（3）证明：不妨设，以为变量，令，则可以证明 ，所以在单调递增；因为所以，这样就证明了

而，所以在存在惟一零点；

又

令  所以在上递增，

所以的 所以在也存在惟一零点；

综上： 函数有两个零点

方法2：(先证： 有)

而

，所以在也存在惟一零点；

综上： ，函数有两个零点．

（3）证明：不妨设，以为变量

令，

则

令，则

因为，所以；即在定义域内递增．

又因为且所以即，所以；又因为，所以

所以在单调递增；因为所以

即

【点睛】本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等．

9．已知函数，．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）令，讨论函数的零点的个数；

（3）若，正实数满足，证明

【思路引导】

（1）求出的解析式，求出切点坐标，再求出，由出的值，可得切线斜率，利用点斜式求出切线方程即可；（2）求导数，分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，分别结合函数单调性判断出函数的零点的个数；（3），化为 ，设 ，构造函数 ，然后结合函数单调性得到，解不等式可得结论．

（3）证明：当

所以

即为：

所以

令

所以

所以

所以

因为

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程．

10．已知函数（）．

（1）判断函数在区间上零点的个数；

（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

【思路引导】

令， ，得，记， ，求得导数，利用函数单调性可以求得函数极值点以此判断函数在上的零点个数；本题不宜分离，因此作差构造函数，利用分类讨论法求函数最小值，由于，所以讨论与的大小，分三种情况，当，的最小值为，，的最小值为，当， 的最小值为，解对应不等式即可．

②当，即时， 在区间上单调递增，所以的最小值为，

由，可得．　

③当，即时，可得的最小值为，

∵，∴， ，

此时不成立．

综上所述，实数的取值范围是．

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．

11．已知函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数．

【思路引导】

（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0的关系明确零点个数．

试题解析：

12．已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数．

【思路引导】

（1）求出， 求得 的范围，可得函数增区间， 求得 的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数恒成立，即证明在定义域内无零点．

试题解析：

（1）当时， ，

当时， ，所以，则单调增，

当时， ，所以，则单调减，

所以是的极大值点，极大值是．

（2）由已知，当时， ，所以，

【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题．求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值．

13．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围．

【思路引导】

利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围．

试题解析：

【点睛】求函数的单调区间，先求出函数的定义域，在对函数求导，在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与x轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围．

14．已知函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数．

【思路引导】

（1）求导数得，又，所以，由此可得函数的单调性，进而可求得极值；

（2）由，得．因此分和两种情况判断函数的单调性，然后根据零点存在定理判断函数零点的个数．

试题解析：

（1）∵，

∴，

因为，所以，

当x变化时， 的变化情况如下表：

由表可得当时， 有极大值，且极大值为，

当时， 有极小值，且极小值为．

当时， 在上有且只有一个零点．

点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的方法

研究方程根（函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

15．已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若，试讨论关于的方程的解的个数，并说明理由．

【思路引导】

（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而写出函数的极值；（2）令，，问题等价于求函数的零点个数，通过讨论m的范围，判断即可．

（2）令，，问题等价于求函数的零点个数．

易得

当时， ，函数为减函数，因为， ，所以有