高考数学压轴题讲义专题1.3极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学压轴题讲义专题1.3极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题专题练习(原卷版+解析)，共10页。

例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，
招式演练：
★已知函数，正实数满足.[来源:学.科.网]
证明：.
[来源:学+科+网]
★已知函数．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.
新题试炼：
【2019福建福州质检】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
【2019北京八中期中】已知函数 f (x) = x e−x (xR)
（Ⅰ）求函数 f (x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）若x(0, 1), 求证：f (2 − x) > f (x)；
（Ⅲ）若x1(0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求证：x1 + x2 > 2.
函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
例.（2010天津理）已知函数 ，如果，且.
证明：
构造函数，
则，
所以在上单调递增，，
也即对恒成立.
由，则，
所以，
即，又因为，且在上单调递减，
所以，即证学&科网
法三：由，得，化简得…，
不妨设，由法一知，.[来源：Z+xx+k.Cm]
令，则，代入式，得，
反解出，
则，故要证，[来源：学,科,网Z,X,X,K]
即证，
又因为，等价于证明：…，
构造函数，则，
故在上单调递增，，
从而也在上单调递增，，学&科网
构造，
则，
又令，则，
由于对恒成立，故，
在上单调递增，
所以，从而，
故在上单调递增，[来源：学*科*网Z*X*X*K]
由洛比塔法则知：，
即证，即证式成立，也即原不等式成立.
【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.学科*网
例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时，[来源：ZXXK]
【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减. 学&科网
招式演练：
★已知函数，正实数满足.
证明：.[来源：]
【解析】由，得
从而，
令，构造函数，
得，可知在上单调递减，在上单调递增，学&科网
所以，也即，
解得：.
★已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若方程 有两个相异实根，，且，证明：.
【答案】（Ⅰ）在(0,1)递增， 在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析
（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足
且，
由题意可知
又有(1)可知在递减
故
所以，令

新题试炼：
【2019福建福州质检】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：.
【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析
【解析】（1）解：由已知得，
∴∴，又∵，
曲线在点处的切线方程为：.
（2）（ⅰ）令 ，
∴，
由得，；由得，易知，为极大值点，
又时，当时，
即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.
由题意，只需满足，学科*网
∴的取值范围是：
【2019北京八中期中】已知函数 f (x) = x e−x (xR)
（Ⅰ）求函数 f (x)的单调区间和极值；
（Ⅱ）若x(0, 1), 求证：f (2 − x) > f (x)；
（Ⅲ）若x1(0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求证：x1 + x2 > 2.
【答案】（1）在()内是增函数, 在()内是减函数.在处取得极大值且（2）见解析(3)见解析
【解析】=（1﹣x）e﹣x
令，则x=1
当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
∴f（x）在x=1处取得极大值；

(Ⅲ) 证明：∵
∴
由(Ⅱ)得：
∵
∴
∵在()内是减函数
∴，即
x
（﹣∞，1）
1
（1，+∞）
+
0
﹣
f（x）
↗
极大值
↘