高考数学压轴题讲义专题1.1初识极值点偏移专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学压轴题讲义专题1.1初识极值点偏移专题练习(原卷版+解析)，共9页。试卷主要包含了极值点偏移的含义，极值点偏移问题的一般题设形式，新题展示[来源，问题初现，形神合聚，招式演练等内容，欢迎下载使用。
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.[来源:学.科.网]
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；[来源:Z*xx*k.Cm]
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.
三、新题展示[来源:学.科.网]
【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = －ax(a > 0).
(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；
(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.
四、问题初现，形神合聚
★函数有两极值点，且.
证明：.
★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.
五、招式演练
★过点作曲线的切线．
（1）求切线的方程；
（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．
五、新题试炼
【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = －ax(a > 0).
(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；
(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.
极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！
一、极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：学科*网
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.
三、新题展示
【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数 f(x) = －ax(a > 0).
(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；
(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
（2）∵函数y＝f（x）恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值
∴x1，x2是方程f′（x）＝0的两个实数根，不妨设x1＜x2，[来源:学_科_网]
∵f′（x）＝ex﹣ax﹣a，f″（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）单调递增，f′（x）＝0至多有一个实数解，不符合题意，
当a＞0时，f″（x）＜0的解集为（﹣∞，lna），f″（x）＞0的解集为（lna，+∞），
∴f′（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
∴f′（x）min＝f′（lna）＝﹣alna，
由题意，应有f′（lna）＝﹣alna＜0，解得a＞1，
此时f′（﹣1）0，
∴存在x1∈（﹣1，lna）使得f′（x1）＝0，
易知当时，f(x).
∴存在x2∈（lna，）使得f′（x2）＝0，
∴a＞1满足题意，
设g（t）＝（2t﹣et）et+1，
∴g′（t）＝2（t+1﹣et）et，
由（1）可知，g′（t）＝2（t+1﹣et）et＜0恒成立，
∴g（t）单调递减，
∴g（t）＜g（0）＝0，
即f″（）＜0，
∴
∴lna．
四、问题初现，形神合聚
★函数有两极值点，且.
证明：.
所以，
所以，
因为，，在上单调递减
所以，即.[来源:学*科*网]
★已知函数的图象与函数的图象交于，过的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.
五、招式演练
★过点作曲线的切线．
（1）求切线的方程；
（2）若直线与曲线交于不同的两点，，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式求切线方程．
因为，不妨设，．
设，则，
当时，，在单调递增，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
所以，所以当时，．
因为，所以，
从而，因为，在单调递减，所以，即．
极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！[来源:Z。xx。k.Cm]