四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系中，，点关于轴的对称点为，则（ ）
A．B．C．3D．
2．空间中有三点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．3D．
3．三棱锥中，点面，且，则实数（ ）
A．B．C．1D．
4．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知为随机事件，A与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.9
6．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥ǁ表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面是的中点，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知事件满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．如果，那么
C．如果A与互斥，那么D．如果A与相互独立，那么
10．已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的有（ ）
A．当点是中点时，直线平面；
B．直线到平面的距离是；
C．存在点，使得；
D．面积的最小值是
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．
13．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为______．
14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为______．
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知向量，且．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16．（15分）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
17．（15分）第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，通过初赛后，甲、乙、丙3位选手通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．其中，甲乙两人都能代表社区参加市亚运知识竞赛的概率为，乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为．
（1）求的值；
（2）求这3人至少一人参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，通过了初赛并参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
18．（17分）某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战．点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球．若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜．设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为，假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以2∶0领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率．
19．（17分）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若，点在棱上，且二面角的大小为．
①求证：；
②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
嘉陵一中高2023级高二上期第一次月考
数学试卷答案
参考答案：
8．易得，
因为平面平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，所以平面平面．
因为平面，所以为线段上的点．
由平面平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面．
因为，
所以．
所以
．
因为，所以．
故选：B．
二、12． 13．
14．
以原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
因为，所以，
所以，
当时，最小，此时，为中点，则，
取的中点，连接，则，
因为，所以，
所以是平面与平面的夹角或其补角，
因为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值是，
所以平面与平面夹角的正弦值是．
15．（1）解：因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以；
（2）解：，
，
，
设向量与夹角为，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．
16．（1）证明：因为分别为的中点，所以，
又平面平面，
故平面；
（2）由于平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
17．（1）甲能代表社区参加市亚运知识竞赛的概率为；
乙能代表社区参加市亚运知识竞赛的概率为；
丙能代表社区参加市亚运知识竞赛的概率为；
由于他们之间通过与否互不影响，
所以甲乙两人都能代表社区参加市亚运知识竞赛的概率，
解得：，
乙丙都不能代表A社区参加市亚运知识竞赛的概率为，解得：，
（2）结合（1）问可知：这3人都不能代表社区参加市知识竞赛的概率：
，
所以这3人至少一人参加市知识竞赛的概率为：．
（3）由题意可得：要使奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲，乙，丙三人获得的奖金之和为1200元”为事件，
则．
18．（1）设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A，未罚进点球的事件为；乙队球员罚进点球的事件为，未罚进点球的事件为．
设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，
则，
故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为．
（2）因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或．
①比分为的概率为
．
②比分为的概率为．
③比分为的概率为
．
综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为．
19．（1）在四棱锥中，
因为底面为矩形，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，且，
所以平面．
（2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，所以，
因为点在棱上，所以设（或显然不满足题设），
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则，即，取，则，
所以，又是平面的一个法向量，
所以，
因为二面角的大小为，所以，
即，解得，
此时，，
又，所以，
所以，即．
②因为是直线上的点，所以设，
由①可得，所以，平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，则．
则，
当时，，
当时，，
由对勾函数的性质可知，
所以当，即时，取最大值，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
B
B
C
B
B
BCD
BD
AC