2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

2022—2023学年高二下期第一次月考

理科数学试题

考试范围：立体几何、直线与圆、圆锥曲线、导数

考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 

1．已知，则的值为（    ）

A．             B．–                C．               D．–

2．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ）

A．         B．            C．           D．

3．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ）

A．       B．         C．       D．

4．已知，是椭圆的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则的周长为（    ）

A．14            B．16                C．          D．

5．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ）

A．与                         B．与

C．与                     D．与

6．已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）

A．          B．            C．           D．不能确定

7．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

8．圆的圆心、半径是（　　）

A．，4         B．，2           C．，4        D．，2

9．过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（    ）

A．2             B．1               C．                D．

10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，有如下说法：

①双纽线关于原点中心对称；

②；

③双纽线上满足的点有两个；

④的最大值为.

其中所有正确的说法为（    ）

A．①②             B．①③            C．①②③               D．①②④

11．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（    ）

A．1             B．2                C．3                   D．4

12．已知，，，则（）

A．         B．             C．          D．

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知抛物线的焦点在直线上，则______.

14．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：），则质点M在时的瞬时速度为___________．

15．已知，则直线必过定点_______

16．已知曲线，直线，曲线上恰有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是_____________.

三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17．已知椭圆经过点，.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.

18．圆的圆心为，且过点.

(1)求圆的标准方程；

(2)直线与圆交两点，且，求.

19．如图，直三棱柱的底面为正三角形，，点分别在上，且, ，.

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

20．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上单调递减，求实数的取值范围.

21．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上.

(1)求C的方程；

(2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值.

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.

(1)求线段的长度；

(2)求顶点的轨迹方程.

23．已知二次函数.

(1)判断与的大小；

(2)判断在区间与的平均变化率的大小.

2022—2023学年高二下期第一次月考

理科数学试题参考答案

1．C

【分析】求导，再令即可得解.

【详解】，

所以.

故选：C.

2．D

【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可.

【详解】因为，所以，，

所以切线的斜率，

所以曲线在点处的切线方程为，

故选：D.

3．B

【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.

【详解】椭圆的焦点为．

因为所求双曲线的离心率，

所以其实半轴长为2，虚半轴长为，

故所求双曲线的方程为．

故选：B

4．C

【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.

【详解】由题可知，，的周长为．

故选：C

5．C

【分析】根据的范围以及曲线方程确定正确答案.

【详解】A选项，中，中，所以不是相同曲线.

B选项，中，中，所以不是相同曲线.

C选项，，是相同曲线，C选项正确.

D选项，中，中，，所以不是相同曲线.

故选：C

6．C

【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果．

【详解】记，，

由图易知，所以．

故选：C．

7．D

【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.

【详解】根据导函数的图象可知，在区间上递减，

在区间上，递增，

所以D选项正确，ABC选项错误.

故选：D

8．D

【分析】利用圆的标准方程的性质求解．

【详解】圆的圆心为半径

故选：D

9．D

【分析】根据给定条件，确定动点和两个切点为顶点的三角形形状，求出切线长即可作答.

【详解】令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，

则，而，于是，又，

因此为正三角形，，

所以连接两切点线段的长为.

故选：D

10．D

【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断,据此可求出选项.

【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，所以，

用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确；

对于②，根据三角形的等面积法可知，

即，所以，所以②正确；

对于③，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，

所以，得，所以这样的点只有一个，所以③错误；

对于④，因为，

所以，

由余弦定理得，

所以，

所以的最大值为，所以④正确，

故选：D

11．B

【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相似建立方程，解方程得到结果.

【详解】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由可得，

如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，

设，则，，故．

因为，所以．

在直角三角形中，，，，所以，所以，解得．

设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以，

即，解得，

故选：B．

【点睛】思路点睛：求解本题的关键是观察两个三角形间的关系，将三角形的面积间的关系转化为线段长之间的关系，并利用抛物线的定义及平面几何的知识求解．

12．C

【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，从而得到；再直接计算，从而得到，进而得到；由此得解.

【详解】令，，

则，故在上单调递减，

所以，即，即，故；

因为，，

所以，故，即，即；

综上：.

故选：C.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．

13．6

【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.

【详解】抛物线的焦点为；

焦点在直线上

故答案为：0

14．

【分析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.

【详解】因为，所以，所以，

所以质点在时的瞬时速度为.

故答案为：.

15．

【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.

【详解】因为，所以，

整理得，

即直线必过定点．

故答案为：．

16．

【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围，由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围.

【详解】由，得曲线是以为圆心，半径为2的圆的上半部分.

在曲线中，令，得或4，将代入直线得，

将代入直线得，

当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离为2，得，

所以当或时，直线与曲线有一个公共点；

当时，直线与曲线有两个公共点.如下图所示：

记与曲线相切的直线为，

过且斜率为1的直线记为.

当直线与距离为1时，即，∴或，

取，此时曲线上有2个点到直线距离为1；

当直线与距离为1时，即，∴或，

取，此时恰有3个点到直线的距离为1.

∴.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；

（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.

【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，

把点的坐标代入方程，得，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）联立方程组消去，得.

解得或不妨设，，则.

18．(1)

(2)或

【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.

【详解】（1）设圆的半径为，则，

故圆的标准方程为：；

（2）设圆心到直线的距离为，

则，

由垂径定理得：，

即，解得：或.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取，中点设为，连接，以为原点，为轴建立坐标系，设平面的法向量为，平面的法向量为，利用即可证明平面平面；

（2）设平面的法向量，平面与平面夹角为，利用求解即可.

【详解】（1）取，中点设为，连接，

因为直三棱柱，所以平面平面，，

又为正三角形，，平面平面，面，

所以平面，因为平面，所以两两垂直，

以为原点，为轴建立如图所示坐标系，

则由题意可得，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则，取，

设平面的法向量为，

则，取，

因为，所以平面平面.

（2）由（1）得，

设平面的法向量，

则，取，

设平面与平面夹角为，

则.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可;

（2）根据导数和函数单调性之间的联系即可.

【详解】（1）因为，所以，所以.

因为，所以，

所以所求切线方程为，

即.

（2）因为在上单调递减，所以在上恒成立.

因为，

所以，即.

令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，故实数a的取值范围是.

21．(1)

(2)证明见解析，定值为

【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进而求出结果；

(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.

【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.

与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.

所以在上.

则，解得，

故的方程为.

（2）当切线的斜率不存在时，得.

当时，可得，.

，则.

当时，同理可证.

当切线的斜率存在时，设.

因为与圆相切，

所以圆心到的距离为，

即，

联立得.

设，，则，.

.

由，得，则.

综上，若圆的切线与交于点A，B，则，

所以由等面积法可得，

所以为定值，定值为.

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；

（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.

【详解】（1）椭圆的方程为，

椭圆的方程为，

分别为椭圆的左焦点和右焦点，

，

，线段的长度；

（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，

，

，

,

．

点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，

设该双曲线方程为

且，

顶点的轨迹方程为

23．(1)<

(2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率

【分析】（1）将自变量代入函数式直接运算再比较大小；（2）直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.

(1)

因为，所以，，所以<.

(2)

在区间的平均变化率为（1），

在区间的平均变化率，

所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率.