广东省韶关市名校2024年数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份广东省韶关市名校2024年数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、（4分）关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣x+m2﹣1＝0的一个根是0，则它的另一个根是( )
A．0B．C．﹣D．2
3、（4分）已知，则下列不等式一定成立的是( )
A．B．
C．D．
4、（4分）一次函数不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5、（4分）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连结EF，若AB＝6，BC＝4，则FD的长为( )
A．2B．4C．D．2
6、（4分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75°B．60°C．55°D．45°
7、（4分）已知三个数为3，4，12，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8、（4分）如图，直角坐标系中有两点A（5，0），B（0，4），A，B两点间的距离为（ ）
A．3B．7C．D．9
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）函数自变量的取值范围是 _______________ .
10、（4分）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只要填写一种情况）
11、（4分）已知一组数据3、x、4、8、6，若该组数据的平均数是5，则x的值是______．
12、（4分）若实数、满足，则以、的值为边长的等腰三角形的周长为
。
13、（4分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝___________cm．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）甲、乙两名自行车爱好者准备在段长为3500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面.他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s(米)，比赛时间为t(秒)，图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s(米)与t(秒)的函数关系根据图中信息，回答下列问题：
(1)乙的速度为多少米/秒；
(2)当乙追上甲时，求乙距起点多少米；
(3)求线段BC所在直线的函数关系式.
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，过线段的中点作的垂线，交轴于点．
（1）填空：线段，，的数量关系是______________________；
（2）求直线的解析式．
16、（8分）如图所示，中，，、分别为、的中点，延长到，使.
求证：四边形是平行四边形.
17、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E.F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G.
求证：(1)四边形AECF是平行四边形．(2)EF与GH互相平分．
18、（10分）如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．
（1）依题意补全图1；
（2）猜想AG和DH的数量关系并证明；
（3）若∠DAB=70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小．
20、（4分）若,则分式_______.
21、（4分）如图，身高1.6米的小明站在处测得他的影长为3米，影子顶端与路灯灯杆的距离为12米，则灯杆的高度为_______米．
22、（4分）如图（1），已知小正方形的面积为1，把它的各边延长一倍得新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形如图（2）；以此下去⋯⋯，则正方形的面积为_________________．
23、（4分）已知 ，，则=______。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，+=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
25、（10分）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性
笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，
水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．
26、（12分）甲、乙两名射击选示在10次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示：
根据以上信息，请解答下面的问题；
（1）补全甲选手10次成绩频数分布图．
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（3）教练根据两名选手手的10次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？（至少从两个不同角度说明理由）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意;
故选D.
点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
2、C
【解析】
把代入方程得出，求出，代入方程，解方程即可求出方程的另一个根．
【详解】
解：把x＝0代入方程(m﹣1)x2﹣x+m2﹣1＝0得：m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵方程(m﹣1)x2﹣x+m2﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得：m≠1，
∴m＝﹣1，
代入方程得：﹣2x2﹣x＝0，
﹣x(2x+1)＝0，
x1＝0，x2＝﹣，
即方程的另一个根为﹣，
故选：C．
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义的应用，关键是求出m的值．
3、C
【解析】
根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：A、因为， 不知道是正负数或者是0，不能得到，则A选项的不等式不成立；
B、因为，则，所以B选项的不等式不成立；
C、因为，则，所以C选项的不等式成立；
D、因为，则，所以D选项的不等式不成立．
故选C．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是知道不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
4、A
【解析】
由于k=-1<0，b=-1，由此可以确定函数的图象经过的象限．
【详解】
∵y=-x-1，
∴k=-1＜0，b=-1＜0，
∴它的图象经过的象限是第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选A．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
5、B
【解析】
试题分析：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，∵ED=EG，EF=EF，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，，解得x=3．故选B．
考点：3．翻折变换（折叠问题）；3．综合题．
6、B
【解析】
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7、A
【解析】
根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．
【详解】
解：1：3＝4：12，
故选：A．
此题主要考查了比例线段，正确把握比例线段的定义是解题关键．
8、C
【解析】
根据勾股定理求解即可．
【详解】
∵A（5，0），B（0，4），
∴OA=5，OB=4，
∴AB===，
故选：C．
本题考查了勾股定理，掌握知识点是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x＞-3
【解析】
根据题意得：x+3＞0,即x＞-3.
10、AD=BC（答案不唯一）．
【解析】
根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：
∵AB=CD，∴当AD=BC时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
当AB∥CD时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
当∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°时，四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图形．
故答案为AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等（答案不唯一）．
11、1
【解析】
根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】
解：由题意得：
解得：．
故答案为1．
此题考查算术平均数的意义和求法，掌握计算方法是解决问题的关键．
12、20。
【解析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解：
根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8。
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8，∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20。
所以，三角形的周长为20。
13、6
【解析】
根据三角形的中位线性质可得，
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)14；（2）乙距起点2100米；（3）BC所在直线的函数关系式为s=2t-300.
【解析】
（1）设乙的速度为x米/秒，根据图象得到300＋150×12＝150x，解方程即可；
（2）由图象可知乙用了150秒追上甲，用时间乘以速度即可；
（3）先计算出乙完成全程所需要的时间为＝250（秒），则乙追上甲后又用了250−150＝100秒到达终点，所以这100秒他们相距100×（14−12）米，可得到C点坐标，而B点坐标为（150，0），然后利用待定系数法求线段BC所在直线的函数关系式即可．
【详解】
解：(1)设乙的速度为x米/秒，
则300+150×12=150x，
解得x=14，
故答案为：14.
(2)由图象可知乙用了150秒追上甲，14×150=2100(米).
∴当乙追上甲吋，乙距起点2100米.
(3)乙从出发到终点的时间为=250(秒)，
此时甲、乙的距离为：(250-150)(14-12)=200(米)，
∴C点坐标为 (250，200)，B点坐标为(150，0)
设BC所在直线的函数关系式为s=kt+b(k0，k，b为常数)，
将B、C两点代入，得，
解得
∴BC所在直线的函数关系式为s=2t-300.
本题考查了一次函数的应用及待定系数法求一次函数的解析式：先设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），然后把一次函数图象上的两点的坐标分别代入，得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，从而确定一次函数的解析式．也考查了从函数图象获取信息的能力．
15、（1）；（2）
【解析】
（1）连接BC，根据线段垂直平分线性质得出BC=AC，然后根据勾股定理可得，进而得出；
（2）根据一次函数解析式求出点A坐标，从而得出OA=6.设OC=x，在Rt△BOC中利用勾股定理建立方程求出OC的长，进而得出CA长度，然后利用三角形面积性质求出点M到x轴的距离，从而进一步得出M的坐标，之后根据M、C两点坐标求解析式即可.
【详解】
（1）如图所示，连接BC，
∵MC⊥AB，且M为AB中点，
∴BC=AC，
∵△BOC为直角三角形，
∴，
∴；
（2）∵直线与坐标轴交于两点，
∴OA=6，OB=4，
设OC=x，则BC=，
∴，
解得，
∴△BCA面积==，
设M点到x轴距离为n，
则：，
∴n=.
∴M坐标为（3,2），
∵C坐标为（，0）
设CM解析式为：，
则：，，
∴，，
∴CM解析式为：.
本题主要考查了一次函数与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16、证明见解析.
【解析】
由题意易得，EF与BC平行且相等，即可证明四边形BCFE是平行四边形
【详解】
证明：∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE= BC且DE//BC
∵EF//BC
∴2DE=BC=EF
∴BC=EF
∴四边形BCFE为平行四边形.
此题考查平行四边形的判定，解题关键在于判定定理
17、见解析
【解析】
(1)根据四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形的性质可得:,,
根据,利用平行四边形的判定定理可得:四边形AECF是平行四边形,
由得四边形AECF是平行四边形,根据平行四边形的性质可得:,
根据,,,可得:,,根据平行四边形的判定定理可得:四边形BFDE是平行四边形,再根据平行四边形的性质可得:,根据平行四边形的判定定理可得:四边形EGFH是平行四边形,由平行四边形的性质可得:
与GH互相平分.
【详解】
四边形ABCD是平行四边形,
,,
,
四边形AECF是平行四边形,
由得:四边形AECF是平行四边形,
,
,,,
,,
四边形BFDE是平行四边形,
,
四边形EGFH是平行四边形,
与GH互相平分.
本题主要考查平行四边形的判定定理和平行四边形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理和平行四边形的性质.
18、 (1)见解析;(2) AG=DH,理由见解析;(3) 不存在．理由见解析.
【解析】
【分析】(1)依题意画图；
（2）根据菱形性质得，∥，；由点为点关于的对称点，得垂直平分，故，，所以，再证，
由，，得．可证△≌△．
（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
证得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等边三角形．
【详解】
（1）补全的图形，如图所示．
（2）AG=DH．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，∥，．
∵点为点关于的对称点，
∴垂直平分．
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
∴△≌△．
∴．
（3）不存在．
理由如下：
由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．
∴△ADP不可能是等边三角形．
【点睛】本题考核知识点：菱形，轴对称,等边三角形. 解题关键点：此题比较综合，要熟记菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等边三角形判定.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、3
【解析】
根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系，求得最小值．
【详解】
设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，
则有：S=S△ABC﹣S△PBQ==4t2﹣24t+144=4（t﹣3）2+1．
∵4＞0 ∴当t=3s时，S取得最小值．
考点：二次函数的应用．
20、
【解析】
先把化简得到，然后把分式化简，再把看作整体，代入即可.
【详解】
∵，化简可得：，
∵，
把代入，得：
原式=；
故答案为：.
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是利用整体代入的思想进行解题.
21、
【解析】
根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【详解】
解：如图： ∵AB∥DE， ∴CD：BC=DE：AB，
∴1.6：AB=3：12， ∴AB=6.1米，
∴灯杆的高度为6.1米．
答：灯杆的高度为6.1米．
故答案为：6.1．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．
22、1
【解析】
根据条件计算出图(1) 正方形A1B1C1D1的面积,同理求出正方形A2B2C2D2的面积,由此找出规律即可求出答案．
【详解】
图(1)中正方形ABCD的面积为1,把各边延长一倍后,每个小三角形的面积也为1,
所以正方形A1B1C1D1的面积为5,
图(2)中正方形A1B1C1D1的面积为5,把各边延长一倍后,每个小三角形的面积也为5,
所以正方形A2B2C2D2的面积为52=25,
由此可得正方形A5B5C5D5的面积为55=1．
本题考查图形规律问题,关键在于列出各图形面积找出规律．
23、60
【解析】
=2ab（a+b），将a+b=3，ab=10，整体带入即可.
【详解】
=2ab（a+b）=2×3×10=60.
本题主要考查利用提公因式法分解因式，整体带入是解决本题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°-2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；
②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
试题解析：（1）∠ADE =．
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴．
由（1）知，∠ADE =，
∴．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD．
②证明：
∵AB=AC，∠ABC =，
∴．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF,AE=BF．
∴．
由（1）知，，
∴．
∴．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
考点：1．平行四边形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
解：
(1)设按优惠方法①购买需用y1元,按优惠方法②购买需用y2元
y1=(x−4)×5+20×4=5x+60，
y2=(5x+20×4)×0.9=4.5x+72.
(2)分为三种情况：①∵设y1=y2，
5x+60=4.5x+72，
解得：x=24，
∴当x=24时，选择优惠方法①，②均可；
②∵设y1>y2，即5x+60>4.5x+72，
∴x>24.当x>24整数时,选择优惠方法②;
③当设y1∴x<24
∴当4⩽x<24时,选择优惠方法①.
(3) 因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12<24，
购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=1元；
购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包，
需要4×20=80元，同时获赠4支水性笔；
用优惠方法②购买8支水性笔，需要元．
共需80+36=116元．显然116<1．
最佳购买方案是：
用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔．
26、（1）4；（2）8、1.2、7.5；（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定．
【解析】
（1）根据甲的成绩频数分布图及题意列出10﹣（1+2+2+1），计算即可得到答案；
（2）根据平均数公式、中位数的求法和方差公式计算得到答案；
（3）从平均数和方差进行分析即可得到答案.
【详解】
解：（1）甲选手命中8环的次数为10﹣（1+2+2+1）＝4，
补全图形如下：
（2）a＝＝8（环），
c＝×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.2，
b＝＝7.5，
故答案为：8、1.2、7.5；
（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数和方差，解题的关键是读懂频数分布直方图，掌握平均数、中位数和方差的求法.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
选手
A平均数
中位数
众数
方差
甲
a
8
8
c
乙
7.5
b
6和9
2.65