2025届广东省潮州市名校九上数学开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2025届广东省潮州市名校九上数学开学学业水平测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）对于函数y＝-x＋1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象不经过第四象限B．y的值随x的增大而增大
C．它的图象必经过点（0，1）D．当x＞2时，y＞0
2、（4分）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）点，，若将线段平移到线段，使点到达点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5、（4分）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，方格纸中小正方形的边长为1，，两点在格点上，要在图中格点上找到点，使得的面积为2，满足条件的点有（ ）
A．无数个B．7个C．6个D．5个
7、（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）已知点（，）在第二象限，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于x的分式方程无解． 则常数n的值是______．
10、（4分）已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是_________.
11、（4分）农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后，得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同，而甲、乙两个品种产量的方差分别为，，则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）．
12、（4分）如图是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角(∠O)为60°，△ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为______．
13、（4分）某公司招聘考试分笔试和面试两项，其中笔试按，面试按计算加权平均数作为总成绩.马丁笔试成绩85分，面试成绩90分，那么马丁的总成绩是______分.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，有一度数为 60°的∠MAN 绕点 A 旋转．
（1）如图①，若∠MAN 的两边 AM、AN 分别交 BC、CD 于点 E、F，则线段 CE、DF的大小关系如何？请证明你的结论．
（2）如图②，若∠MAN 的两边 AM、AN 分别交 BC、CD 的延长线于点 E、F，则线段CE、DF 还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．
15、（8分）已知，如图，A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，C点坐标是(1，1)
(1)求△ABC的面积是____；
(2)求直线AB的表达式；
(3)一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，求k的取值范围；
(4)y轴上有一点P且△ABP与△ABC面积相等，则P点坐标是_____．
16、（8分）如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC．点E、F分别为AC、BC的中点，连结EF、DE．
（1）请在图1中找出长度相等的两条线段？并说明理由．（AB＝AC除外）
（2）如图2，当AC平分∠BAD，∠DEF＝90°时，求∠BAD的度数．
（3）如图3，四边形CDEF是边长为2的菱形，求S四边形ABCD．
17、（10分）为了解某中学学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）x ，a ，b ；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生5000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名.
18、（10分）（1）如图①所示，将绕顶点按逆时针方向旋转角，得到，，分别与、交于点、，与相交于点．求证：；
（2）如图②所示，和是全等的等腰直角三角形，，与、分别交于点、，请说明，，之间的数量关系．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF的面积为________
20、（4分）当a=______时，最简二次根式与是同类二次根式．
21、（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是_____．
22、（4分）若关于的一元二次方程有一个根为 ，则________.
23、（4分）计算：3-2= ；
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=3，CD=，DA=5，∠B=90°，求∠BCD的度数
25、（10分）计算下列各题
（1）
（2）
26、（12分）在梯形中，，点在直线上，联结，过点作的垂线，交直线与点，

（1）如图1，已知，：求证：；
（2）已知：，
① 当点在线段上，求证：；
② 当点在射线上，①中的结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，简述理由.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据一次函数的图象及性质逐一进行判断即可．
【详解】
A，函数图象经过一、二、四象限，故该选项错误；
B，y的值随x的增大而减小，故该选项错误；
C，当时，，故该选项正确；
D，当时，，故该选项错误；
故选：C．
本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
2、C
【解析】
设袋中红色幸运星有x个，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数，再根据频率的定义求解可得．
【详解】
解：设袋中红色幸运星有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝35，
经检验：x＝35是原分式方程的解，
则袋中红色幸运星的个数为35个，
若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，
则摸到黄色幸运星的频率为，
故选：C．
本题考查了频率的计算，解题的关键是设出求出红色幸运星的个数并熟记公式．
3、C
【解析】
因为A和C是平移的对应点，根据平移的性质和点B的坐标可得结果.
【详解】
解：∵经过平移，A到达C，A（-4，-3），C（1，-1），
∴线段AB平移到线段CD是向左平移5个单位，再向上平移2个单位，
∵ B（-1，2），
∴点D的坐标是（4，4）.
故选C.
本题考查了图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键.
4、D
【解析】
根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题．
【详解】
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故选D．
本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形．
5、C
【解析】
根据不等式的性质分析判断．
【详解】
A、在不等式的两边同时减去1，即a-1>b-1．故本选项错误；
B、在不等式的两边同时乘以1，即1a>1b．故本选项错误；
C、在不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向发生改变，即-1a<-1b；故本选项正确；
D、在不等式的两边同时减去b，原不等式仍然成立，即a-b>2．故本选项错误.
本题主要考查了不等式的基本性质．在解答不等式的问题时，应密切关注符号的方向问题．
6、C
【解析】
如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外两个点C2 、C3，然后同理可找出C4、C5 、C6，从而得出结论．
【详解】
解：设如下图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D
根据勾股定理可得C1D=AD=BD=，AB=
∵C1A= C1B，点D为AB的中点
∴C1D⊥AB
∴S△C1AB=AB·C1D=2
∴此时点C1即为所求
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2 、C3，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2 、C3也符合题意；
同理可得：S△C4AB=2，
∴点C4即为所求，过点C4作AB的平行线，交如图所示的格点于C5 、C6，根据平行线之间的距离处处相等，此时C4 、C5也符合题意．
满足条件的点C共有6个
故选C．
此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握用勾股定理解直角三角形和三线合一的性质是解决此题的关键．
7、B
【解析】
根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8、B
【解析】
根据象限的定义以及性质求出的取值范围即可．
【详解】
∵点（，）在第二象限
∴
解得
故答案为：B．
本题考查了象限的问题，掌握象限的定义以及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1或
【解析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解，使原方程的分母等于1．
【详解】
解：两边都乘（x−3），得3−2x＋nx−2＝−x＋3，
解得x＝，
n＝1时，整式方程无解，分式方程无解；
∴当x＝3时分母为1，方程无解，
即＝3，
∴n＝时，方程无解；
故答案为：1或．
本题考查了分式方程无解的条件，掌握知识点是解题关键．
10、1.
【解析】
解：∵1，3，x，1，5，它的平均数是3，
∴（1+3+x+1+5）÷5=3，
∴x=4，
∴S1=[（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（1﹣3）1+（5﹣3）1]=1；
∴这个样本的方差是1．
故答案为1．
11、乙
【解析】因为S甲2≈0.01＞S乙2≈0.002，方差小的为乙，所以本题中比较稳定的是乙．
12、
【解析】
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，求出AE即可.
【详解】
解：如图，连接EA，EC，
∵菱形的边长为1，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
∴AE即为△ACB的BC边上的高，
∴AE＝，
故答案为．
本题考查菱形的性质，特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
13、1
【解析】
根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
【详解】
小明的总成绩为85×60%+90×40%=1（分）．
故答案为：1．
本题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）CE=DF，证明见解析；（2）仍然有CE=DF，理由见解析.
【解析】
（1）CE=DF；连接AC，易得△ABC、△ACD为正三角形，再根据等边三角形的性质，利用ASA可判定△AEC≌△AFD，即得CE=DF；
（2）结论CE=DF仍然成立，同（1）类似证明△ACE≌△ADF，即得结论．
【详解】
解：（1））CE=DF；
证明：如图③，连接AC，
在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△ACD为正三角形．
∵AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°，∠CAE=∠DAF=60°－∠CAF，
∴△AEC≌△AFD（ASA）．
∴CE=DF．
（2）结论CE=DF仍然成立，如图④，连接AC，
在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△ACD为正三角形．
∵AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°，
∴∠ACE=∠ADF=120°．
∵∠CAE=∠DAF=60°－∠DAE，
∴△ACE≌△ADF（ASA）．
∴CE=DF．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解此题的关键是正确添加辅助线，熟知全等三角形判定的方法和等边三角形的性质.
15、 (1)1；(2)y＝﹣x+；(3)2＜k≤1或﹣≤k＜2；(1)(2，)或(2，)．
【解析】
(1)根据A、B、C三点的坐标可得AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝1，∠C＝92°，再利用三角形面积公式列式计算即可；
(2)设直线AB的表达式为y＝kx+b．将A(1，3)，B(5，1)代入，利用待定系数法即可求解；
(3)由于y＝kx+2是一次函数，所以k≠2，分两种情况进行讨论：①当k＞2时，求出y＝kx+2过A(1，3)时的k值；②当k＜2时，求出y＝kx+2过B(5，1)时的k值，进而求解即可；
(1)过C点作AB的平行线，交y轴于点P，根据两平行线间的距离相等，可知△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，面积相等．根据直线平移k值不变可设直线CP的解析式为y＝﹣x+n，将C点坐标代入，求出直线CP的解析式，得到P点坐标；再根据到一条直线距离相等的直线有两条，可得另外一个P点坐标．
【详解】
解：(1)∵A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，C点坐标是(1，1)，
∴AC＝3﹣1＝2，BC＝5﹣1＝1，∠C＝92°，
∴S△ABC＝AC•BC＝×2×1＝1．
故答案为1；
(2)设直线AB的表达式为y＝kx+b．
∵A点坐标是(1，3)，B点坐标是(5，1)，
∴，解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+；
(3)当k＞2时，y＝kx+2过A(1，3)时，
3＝k+2，解得k＝1，
∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则2＜k≤1；
当k＜2时，y＝kx+2过B(5，1)，
1＝5k+2，解得k＝﹣，
∴一次函数y＝kx+2与线段AB有公共点，则﹣≤k＜2．
综上，满足条件的k的取值范围是2＜k≤1或﹣≤k＜2；
(1)过C点作AB的平行线，交y轴于点P，此时△ABP与△ABC是同底等高的两个三角形，所以面积相等．
设直线CP的解析式为y＝﹣x+n，
∵C点坐标是(1，1)，
∴1＝﹣+n，解得n＝，
∴直线CP的解析式为y＝﹣x+，
∴P(2，)．
设直线AB：y＝﹣x+交y轴于点D，则D(2，)．
将直线AB向上平移﹣＝2个单位，得到直线y＝﹣x+，与y轴交于点P′，此时△ABP′与△ABP是同底等高的两个三角形，所以△ABP与△ABC面积相等，易求P′(2，)．
综上所述，所求P点坐标是(2，)或(2，)．
故答案为(2，)或(2，)．
本题考查了三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，直线平移的规律等知识，直线较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
16、（1）DE＝EF，见解析；（2）∠BAD＝60°；（3）S四边形ABCD＝6．
【解析】
（1）利用直角三角形斜边的中线性质和三角形的中位线性质可得结论；
（2）先证明∠CEF=∠BAD，∠DEC=∠BAD，根据∠DEF=90°列方程得∠BAD的度数；
（3）由四边形CDEF是菱形，说明△CDE是等边三角形，再根据等底同高说明△CDE与△DEA间关系，根据相似说明△CAB与△CEF间关系，由DE=2得AB=4，得等边△DEC的面积，利用三角形的面积间关系得结论．
【详解】
（1）DE＝EF，
在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF∥AB，且EF＝AB，
在Rt△ACD中，点E为AC的中点，
∴DE＝AC，
∵AB＝AC，
∴DE＝EF；
（2）∵AC平分∠BAD，EF∥AB，
DE＝AC＝AE＝EC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠CEF＝∠BAC，∠DEC＝2∠DAC＝∠BAD，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF+∠DEC＝∠BAC+2∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝60°；
（3）四边形ABCD的面积为：
∵四边形CDEF是菱形，EC＝DE，
∴△CDE与△CEF都是等边三角形，
∵EF＝DE＝CD＝CF＝2，
∴AB＝4，
∴S△DCE＝S△DEA＝S△CEF；
∵EF∥AB，
∴，
∴S△ABC＝4S△CEF＝4
∴S四边形ABCD＝S△DCE+S△DEA+S△ABC＝2×+4＝6．
本题考查了四边形的综合问题，解题的关键是掌握三角形的中位线定理、直角三角形斜边的中线的性质、菱形的性质及等边三角形的面积等知识．题目难度中等，由题目原型到探究再到结论，步步深入，符合认知规律．
17、（1）50；20；30；（2）图见解析；（3）2000人。
【解析】
（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；
（2）根据a的值，补全条形统计图即可；
（3）由中国诗词大会的百分比乘以5000即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，；
故答案为：50；20；30；
（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：5000×40%=2000（名）.
则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有2000名．
此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键．
18、（1）见解析；（1）FG1=BF1+GC1．理由见解析
【解析】
（1）利用ASA证明△EAF≌△BAH，再利用全等三角形的性质证明即可；
（1）结论：FG1=BF1+GC1．把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，根据勾股定理进而可以证明BF、FG、GC之间的关系．
【详解】
（1）证明：如图①中，
∵AB=AC=AD=AE，∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠EAF=∠BAH，∠E=∠B=45°，
∴△EAF≌△BAH（ASA），
∴AH=AF；
（1）解：结论：GF1=BF1+GC1．
理由如下：如图②中，把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，
∵∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，
∵∠DAE=45°
∴∠1+∠3=45°，
∴∠4+∠3=45°，
∴∠1=∠4+∠3=45°，
∵AG=AG，AF=AP，
∴△AFG≌△AGP（SAS），
∴FG=GP，
∵∠ACP+∠ACB=90°，
∴∠PCG=90°，
在Rt△PGC中，∵GP1=CG1+CP1，
又∵BF=PC，GP=FG，
∴FG1=BF1+GC1．
本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、24
【解析】
首先证明四边形ABEF是菱形，由勾股定理求出OA，得出AE的长，即可解决问题．
【详解】
连接AE，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∵BF为∠ABE的平分线，∴∠FBE=∠AFB，∴四边形ABEF为平行四边形
∵AB=AF，
∴根据勾股定理，即可得到AE=2=8.
∴四边形ABEF的面积=×AE×BF=24.
本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．
20、1．
【解析】
同类二次根式是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
【详解】
解： ∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a﹣2=10﹣2a， 解得：a=1
故答案为：1．
本题考查同类二次根式．
21、1
【解析】
阴影部分的面积等于正方形的面积减去和的面积和．而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积正方形面积的一半即可．
【详解】
解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去和的面积．
而点到的距离与点到的距离的和等于正方形的边长，
即和的面积的和等于正方形的面积的一半，
故阴影部分的面积．
故答案为：1．
本题考查正方形的性质，正方形的面积，三角形的面积公式灵活运用，注意图形的特点．
22、4
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入x2+mx+2m-4=0得到关于m的一次方程2m-4=0，然后解一次方程即可．
【详解】
把代入，
得2m-4=0
解得m=2
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握计算法则是解题关键.
23、
【解析】
根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
解：3-2=．故答案为．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、135°.
【解析】
由于∠B=90°，AB=BC=3，利用勾股定理可求AC，并可求∠BCA=45°，而CD=，AD=5，易得AC2+AD2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠ACD=90°，从而易求∠BCD．
【详解】
解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴AC===3 ，，∠BAC=∠BCA=45°，
又∵CD=，DA=5，
∴AC2+CD2=18+7=25，AD2=25，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=45°+90°=135°．
本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ACD是直角三角形．
25、 (1)1;(2) -12+4．
【解析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；
(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.
【详解】
(1)原式=(4 -2)÷2
=2÷2
=1；
(2)原式=5-3-(12-4+2)
=2-14+4
=-12+4．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
26、（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②结论仍然成立，证明见解析.
【解析】
（1）过F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M，通过AAS证明△ABE≌△EMF，根据全等三角形的性质即可得出AB＝AD；
（2）①在AB上截取AG＝AE，连接EG．通过ASA证明△BGE≌△EDF，根据全等三角形的性质即可得出BE＝EF；
②
【详解】
（1）如图：
过F作FM⊥AD，交AD的延长线于点M，
∴∠M=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+MEF=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠MEF=∠ABE，
在△ABE和△EMF中，
，
∴△ABE≌△EMF(AAS)
∴AB=ME，AE=MF，
∵AM∥BC，∠C=45°，
∴∠MDF=∠C=45°，
∴∠DFM=45°，
∴DM=FM，
∴DM=AE，
∴DM+ED=AE+ED，
即AD=EM，
∴AB=AD；
（2）①证明：如图，
在AB上截取AG＝AE，连接EG，则∠AGE＝∠AEG，
∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°，
∴∠AGE＝45°，
∴∠BGE＝135°，
∵AD∥BC，
∴∠C＋∠D＝180°，
又∵∠C＝45°，
∴∠D＝135°，
∴∠BGE＝∠D，
∵AB＝AD，AG＝AE，
∴BG＝DE，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∠A＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
在△BGE与△EDF中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE＝EF；
②结论仍然成立，证明如下，
如图：
延长BA到点G，使BG=ED，连接EG，
则△EAG是等腰直角三角形，
∴∠EGB=45°，
∵ED∥BC，∠C=45°，
∴∠FDE=45°，
∴∠FDE=45°，
∴∠EGB=∠FDE，
∵∠A=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥EB，
∴∠FED+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠FED，
在△BGE与△EFD中，
，
∴△BGE≌△EDF（ASA），
∴BE＝EF.
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的性质，全等三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人