甘肃省兰州市第五十五中学2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份甘肃省兰州市第五十五中学2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．明天会下雨是必然事件
B．不可能事件发生的概率是0
C．在水平的桌面上任意抛掷一枚图钉，一定针尖向下
D．投掷一枚之地近月的硬币1000次，正面朝下的次数一定是500次
2、（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．矩形的邻边不能相等B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直D．平行四边形的对角线可以互相垂直
3、（4分）京津冀都市圈是指以北京、天津两座直辖市以及河北省的保定、廊坊、唐山、邯郸、邢台、秦皇岛、沧州、衡水、承德、张家口和石家庄为中心的区域.若“数对”(190,43°) 表示图中承德的位置，“数对”(160,238°) 表示图中保定的位置，则与图中张家口的位置对应的“数对”为
A．(176,145°)B．(176,35°)C．(100,145°)D．(100,35°)
4、（4分）若点A(-3，)，B(1，)都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．D．无法比较大小
5、（4分）龙华地铁4号线北延计划如期开工，由清湖站开始，到达观澜的牛湖站，长约10.770公里，其中需修建的高架线长1700m．在修建完400m后，为了更快更好服务市民，采用新技术，工效比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成高架线的修建任务．设原计划每天修建xm，依题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）某校八年级有452名学生，为了了解这452名学生的课外阅读情况，从中抽取50名学生进行统计．在这个问题中，样本是（ ）
A．452名学生B．抽取的50名学生
C．452名学生的课外阅读情况D．抽取的50名学生的课外阅读情况
7、（4分）某班抽6名同学参加体能测试，成绩分别是1，90，75，75，1，1．则这组同学的测试成绩的中位数是（ ）
A．75B．1C．85D．90
8、（4分）下列分解因式正确的是（ ）
A．－a＋a3=－a(1＋a2)B．2a－4b＋2=2(a－2b)
C．a2－4=(a－2)2D．a2－2a＋1=(a－1)2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，菱形ABCD的边长是4 cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为__________.
10、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.
11、（4分）若点A、B在函数的图象上，则与的大小关系是________．
12、（4分）如下图,用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是__________．
13、（4分）反比例函数与一次函数的图像的一个交点坐标是，则 =________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在平面直角坐标系xOy中,边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C．D都在第一象限。
(1)当点A坐标为(4,0)时，求点D的坐标；
(2)求证：OP平分∠AOB；
(3)直接写出OP长的取值范围(不要证明).
15、（8分）如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全下表：
（2）填空：
由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S记为S(α)．例如：当α＝30°时，；当α＝135°时，．由上表可以得到( ______°)；( ______°)，…，由此可以归纳出．
（3） 两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．
16、（8分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
（1）①中的描述应为“ 6分m% ”，其中的m值为_________；扇形①的圆心角的大小是______；
（2）求这40个样本数据平均数、众数、中位数；
（3）若该校九年级共有160名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人．
17、（10分）如图，平行四边形AEFG的顶点G在平行四边形ABCD的边CD上，平行四边形ABCD的顶点B在平行四边形AEFG的边EF上.求证：□ABCD=□AEFG
18、（10分）如图，线段与相交于点，，，，，且，求线段的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）化简：＝__________．
20、（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则四边形MABN的面积是___________.
21、（4分）若＝．则＝_____．
22、（4分）有一块田地的形状和尺寸如图，则它的面积为_________.
23、（4分）若关于的分式方程有解,则的取值范围是_______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，为长方形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处.将边沿折叠，使点落在上的点处。
求证：四边形是平行四边形；
若，求四边形的面积。
25、（10分）如图，菱形的对角线和交于点，，，求和的长．
26、（12分）如图所示，在□ABCD中，点E，F在它的内部，且AE＝CF，BE＝DF，试指出AC与EF的关系，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据确定事件，不确定事件的定义；随机事件概率的意义；找到正确选项即可．
【详解】
A.每天可能下雨，也可能不下雨，是不确定事件，故该选项不符合题意，
B.不可能事件发生的概率是0，正确，故该选项符合题意，
C.在水平的桌面上任意抛掷一枚图钉，一定针尖向上，故该选项不符合题意，
D.投掷一枚之地近月的硬币1000次，正面朝下的次数不一定是500次，故该选项不符合题意，
故选B.
本题主要考查了事件的可能性的大小，掌握事件的类型及发生的概率是解题的关键．
2、D
【解析】
根据矩形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据平行四边形的性质对D进行判断．
【详解】
A、矩形的邻边能相等，若相等，则矩形变为正方形，故A错误；
B、菱形的对角线不一定相等，若相等，则菱形变为正方形，故B错误；
C、矩形的对角线不一定相互垂直，若互相垂直，则矩形变为正方形，故C错误；
D、平行四边形的对角线可以互相垂直，此时平行四边形变为菱形，故D正确．
故选D．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、A
【解析】
根据题意，画出坐标系，再根据题中信息进行解答即可得.
【详解】
建立坐标系如图所示，
∵“数对”(190，43°) 表示图中承德的位置，“数对”(160，238°) 表示图中保定的位置，
∴张家口的位置对应的“数对”为(176，145°)，
故选A.
本题考查了坐标位置的确定，解题的关键是明确题意，画出相应的坐标系．
4、A
【解析】
先根据直线y=x+1判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【详解】
∵直线y=x+1，k=＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵-3＜1，
∴y1＜y1．
故选A．
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
5、C
【解析】
设原计划每天修建xm，则实际每天修建（1+25%）xm，根据题意可得，增加工作效率之后比原计划提前4天完成任务，据此列方程.
【详解】
解：设原计划每天修建xm，则实际每天修建（1+25%）xm，由题意得：

故选C.
6、D
【解析】
根据样本是总体中所抽取的一部分个体，可得答案．
【详解】
解：为了了解这452名学生的课外阅读情况，从中抽取50名学生进行统计，在这个问题中，样本是从中抽取的50名学生的课外阅读情况．
故选：D．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7、B
【解析】
中位数是指将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．
【详解】
解：将这组数据从小到大的顺序排列为：75，75，1，1，1，90，
中位数是（1+1）÷2＝1．
故选：B．
考查了确定一组数据的中位数的能力．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8、D
【解析】
根据因式分解的定义进行分析.
【详解】
A、-a+a3=-a（1-a2）=-a（1+a）（1-a），故本选项错误；
B、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误；
C、a2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误；
D、a2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确．
故选D．
考核知识点：因式分解.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、8
【解析】
∵在菱形ABCD的边长为4，点E是AB边的中点，DE⊥AB，
∴AE=AB=2，AD=4，∠AED=90°，
∴DE=，
∴S菱形ABCD=AB·DE=.
故答案为：.
10、
【解析】
根据分式有意义的条件即可解答.
【详解】
因为在实数范围内有意义，所以，即.
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是知道要使得分式有意义，分母不为0.
11、
【解析】
将点A、B分别代入函数解析式中，求出m、n的值，再比较与的大小关系即可．
【详解】
点A、B分别代入函数解析式中
解得
∵
∴
故答案为：．
本题考查了一次函数的问题，掌握一次函数的性质和代入求值法是解题的关键．
12、东偏北20°方向，距离仓库50km
【解析】
根据方位角的概念，可得答案．
【详解】
解：火车站相对于仓库的位置是东偏北20°方向，距离仓库50km，
故答案为：东偏北20°方向，距离仓库50km．
本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是注意是火车站在仓库的什么方向．
13、-6
【解析】
根据题意得到ab=2，b-a=3，代入原式计算即可．
【详解】
∵反比例函数与一次函数y=x+3的图象的一个交点坐标为(m,n)，
∴b=，b=a+3，
∴ab=2，b-a=3，
∴= =2×（-3）=-6，
故答案为：-6
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于得到ab=2，b-a=3
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）D(7,4);（2）见解析；（3） 【解析】
（1）作DM⊥x轴于点M，由A（4，0）可以得出OA=4，由勾股定理就可以求出OB=3，再通过证明△AOB≌△DMA就可以求出AM=OB，DM=OA，从而求出点D的坐标．
（2）过P点作x轴和y轴的垂线，可通过三角形全等，证明OP是角平分线．
（3）因为OP在∠AOB的平分线上，就有∠POA=45°，就有OP= PE，在Rt△APE中运用三角函数就可以表示出PE的范围，从而可以求出OP的取值范围.
【详解】
(1)作DM⊥x轴于点M，
∴∠AMD=90°.
∵∠AOB=90°，
∴∠AMD=∠AOB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠DAM=90∘.
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA.
在△DMA和△AOB中，
，
∴△DMA≌△AOB，
∴AM=OB，DM=AO.
∵A(4,0)，
∴OA=4，
∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：
OB= =3.
∴AM=3，MD=4，
∴OM=7.
∴D(7,4);
(2)证明：作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点
∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴点P都在∠AOB的平分线上.
(3)作PE⊥x轴交x轴于E点，作PF⊥y轴交y轴于F点，则PE=h，设∠APE=α.
在直角△APE中,∠AEP=90°,PA=.
∴PE=PA⋅csα=csα.
∵顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，
∴0°⩽α<45°，
∴ ∴ ∵OP= PE，
∴ 此题考查角平分线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线
15、（1）；；；；（2）120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等，证明见解析.
【解析】
分析：（1）过D作DE⊥AB于点E，当α=45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α=60°时S的值，当α=120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α=135°时S的值；
（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；
（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．
详解：（1）当α=45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，
则DE=AD=，
∴S=AB•DE=，
同理当α=60°时S=，
当α=120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
则∠DAE=60°，
∴DF=AD=，
∴S=AB•DF=，
同理当α=150°时，可求得S=，
故表中依次填写：；；；；
（2）由（1）可知S（60°）=S（120°），
S（150°）=S（30°），
∴S（180°-α）=S（α）
故答案为：120；30；α；
（3）两个带阴影的三角形面积相等．
证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．
∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴S△AOB=S菱形AMBO=S（α）
S△CDO=S菱形OCND=S（180°-α）
由（2）中结论S（α）=S（180°-α）
∴S△AOB=S△CDO．
点睛：本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．
16、（1）10；；（2）8.3；9；8；（3）28
【解析】
（1）所占百分比=所求人数与总人数之比，即可求出m的值；再用乘以①所占的百分比，计算即可得解；
（2）先计算出H的值，用总人数减去其他分数段的人数即可；根据平均数的定义求出平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数进行解答；
（3）用九年级总学生人数乘以满分的人数所占的分数即可．
【详解】
解：（1），即m=10；
故答案为：10；．
（2）（人）
平均数：（分）；
∵9出现了12次，次数最多，
∴众数：9分；
∵将40个数字按从小到大排列，中间第20、21两个数都是8，
∴中位数：=8（分）；
故答案为：平均数8.3分，众数9分，中位数8分；
（3）（人）
故该校理化实验操作得满分的学生有28人．
本题属于基础题，考查了统计图、扇形统计图、平均数、确定一组数据的中位数和众数的能力．从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键；找中位数的时候一定要注意先排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找到中间两位数的平均数．
17、证明见解析.
【解析】
分析：连接BG，作AM⊥EF，垂足M，作AN⊥CD，垂足N.根据三角形的面积公式证明ABCD=△ABG，AEFG=ABG 即可证明结论.
详解：连接BG，作AM⊥EF，垂足M，作AN⊥CD，垂足N.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD.
∵ ,
,
∴,
∴ABCD=△ABG，
同理可证：AEFG=ABG，
∴□ABCD=□AEFG.
点睛：本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形面积相等，正确作出辅助线，证明ABCD=△ABG，AEFG=ABG是解答本题的关键.
18、
【解析】
结合BD=CD，AD=ED，以及对顶角∠BDE=∠ADC，可证得△ADC和△EDB全等，再利用全等三角形的性质，易得∠E=∠DAC=90°；
根据∠1=30°，∠E=90°，利用直角三角形30°所对的边的性质，易得BE和AB的关系；结合AB=4cm，即可得到BE的长.
【详解】
在和中，，,
，
在中，
，，
本题主要考查了全等三角形的判定及性质和直角三角形的性质．三角形全等的判定定理有:边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)．全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)、周长、面积相等，以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半．掌握全等三角形的判定和性质及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2x
【解析】
根据分式的除法法则进行计算即可．
【详解】
故答案为：．
本题考查了分式除法运算，掌握分式的除法法则是解题的关键．
20、18
【解析】
如图，连接CD，与MN交于点E，根据折叠的性质可知CD⊥MN，CE=DE.再根据相似三角形的判定可知△MNC∽△ABC,再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由图可知四边形ABNM的面积等于△ABC的面积减去△MNC的面积.
【详解】
解:连接CD，交MN于点E.
∵△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，
∴CD⊥MN，CE=DE.
∵MN∥AB，
∴△MNC∽△ABC, CD⊥AB，
∴===4.
∵=MCCN=62=6,
∴=24,
∴四边形ACNM=-
=24-6
=18
故答案是18.
本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键.
21、1．
【解析】
直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系，进而得出答案．
【详解】
解：∵＝，
∴2y＝x+y，
故y＝x，
则＝1．
故答案为：1．
本题考查了比例的性质，正确将原式变形是解题的关键．
22、1．
【解析】
先连接AC，求出AC的长，再判断出△ABC的形状，继而根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
连接AC，
∵△ACD是直角三角形，
∴，
因为102+122=132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×24×10-×6×8
=120-24
=1，
故答案为：1．
本题考查了勾股定理及其逆定理，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
23、
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可．
【详解】
解：，
去分母，得：，
整理得：，
显然，当时，方程无解，
∴；
当时，，
∴，
解得：；
∴的取值范围是：；
故答案为：.
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明过程见解析；（2）四边形的面积为30.
【解析】
（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；
（2）由可得BC=8，由折叠性质可设BE=EM=x，根据，可以求出x的值，进而求出四边形的面积.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，AD∥CB，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA
由翻折性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA
∴∠EAB=∠DCF
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF
∴BE=DF
∴AF=CE
又AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：∵
∴BC=8
由翻折性质可知：BE=EM
可设BE=EM=x
且
即：
解得x=3
∴CE=BC-BE=8-3=5
∴
本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形以及直角三角形，是一个比较综合性的题目.
25、
【解析】
依据菱形的性质可得Rt△ABO中∠ABO=30°，则可得AO和BO长，根据AC=2AO和BD=2BO可得结果．
【详解】
解：菱形中，，
又，
所以，三角形为等边三角形，
所以，；
，
本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度问题一般转化为在直角三角形中利用勾股定理求解．
26、AC与EF互相平分，见解析.
【解析】
由题意可证△ABE≌△DCF，可得∠BAE＝∠DCF，即可得∠CAE＝∠ACF，可证AE∥CF即可证AECF是平行四边形，可得AC与EF的关系．
【详解】
AC与EF互相平分
∵▱ABCD
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BAC＝∠ACD
∵AB＝CD，AE＝CF，BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴∠BAE＝∠FCD且∠BAC＝∠ACD
∴∠EAC＝∠FCA
∴CF∥AE且AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AC与EF互相平分
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证AECF是平行四边形是本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
S
1