陕西省渭南市尚德中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份陕西省渭南市尚德中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．C．D．
3．（5分）直线l过圆C：（x+3）2+y2＝4的圆心，并且与直线x+y+2＝0垂直，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0
4．（5分）如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则＝（ ）
A．﹣+B．﹣++
C．D．
5．（5分）点M（5，3）到抛物线y＝ax2（a＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A．y＝12x2B．C．y＝﹣36x2D．
6．（5分）已知AB是x2+y2﹣6x+2y＝1圆内过点E（2，1）的最短弦，则|AB|＝（ ）
A．2B．C．4D．
7．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆（a＞b＞0）的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．若圆（x﹣3）2+（y﹣b）2＝9与椭圆+y2＝1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．3B．4C．5D．2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（ ）
A．与是共线向量
B．与夹角的余弦值是
C．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
D．P（3，0，5）到平面ABC的距离是
（多选）10．（5分）已知椭圆C：的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则（ ）
A．|PF1|+|PF2|＝4B．
C．D．|PF1||PF2|≤25
（多选）11．（5分）下列四个说法错误的是（ ）
A．直线l的斜率k∈[﹣1，1]，则直线l的倾斜角
B．直线l：y＝kx+1与以A（﹣1，5）、B（4，﹣2）两点为端点的线段相交，则k≤﹣4或
C．如果实数x、y满足方程（x﹣2）2+y2＝3，那么的最大值为
D．直线y＝kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是m≥1
（多选）12．（5分）对平面上两点A、B，满足（λ≠1）的点P的轨迹是一个圆，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关．在平面直角坐标系xOy，A（﹣1，0），B（1，0），点P满足，则（ ）
A．轨迹C的方程为
B．
C．轨迹C的周长为π
D．轨迹C上的点到x+y﹣1＝0的最小距离为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知直线l过定点A（2，3，1），且方向向量为，则点P（4，3，2） ．
14．（5分）双曲线4x2﹣y2+64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于 ．
15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水位下降1米后，水面宽 米．
16．（5分）点P是椭圆+＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|＝12，则∠F1PF2的大小 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线x﹣2y+3＝0和直线x+y﹣3＝0的交点为P，求过P且与A（2，3）和B（4，﹣5）
18．（12分）已知直线l：y＝kx+1与双曲线C：x2﹣y2＝1，分别求出满足下列条件的k的值或者范围．
（1）l与C没有公共点；
（2）l与C有一个公共点；
（3）l与C有两个公共点．
19．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，且圆C与x轴相切，点P（﹣5，﹣2），点Q（﹣4，﹣5）在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点（﹣2，﹣4）的直线l交圆C于A，B两点，求直线l的方程．
20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4．
（1）证明：AF⊥平面A1ED；
（2）求二面角A﹣ED﹣F正弦值．
21．（12分）已知抛物线y2＝4x．其焦点为F．
（1）求以M（1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
（2）若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，求四边形ABCD面积的最小值．
22．（12分）设椭圆方程＝1（a＞b＞0），离心率为，B两点，AB＝2．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足＝+2，其中M，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求证：x02+2y02为定值．
2023-2024学年陕西省渭南市尚德中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出直线的斜率tanθ 的值，根据倾斜角θ 的范围求出θ的大小．
【解答】解：直线x+y﹣3﹣2的斜率等于﹣，
设此直线的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣，
又 0≤θ＜π，∴θ＝，
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，已知三角函数值求角是解题的难点．
2．（5分）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．C．D．
【分析】对a分类可得双曲线的实半轴长与虚半轴长，代入渐近线方程得答案．
【解答】解：若a＞0，则双曲线的焦点在x轴上，虚半轴长为，
渐近线方程为y＝；
若a＜3，双曲线方程为，此时实半轴长为，
渐近线方程为y＝±＝．
∴双曲线的渐近线方程为．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．
3．（5分）直线l过圆C：（x+3）2+y2＝4的圆心，并且与直线x+y+2＝0垂直，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣2＝0B．x﹣y+2＝0C．x+y﹣3＝0D．x﹣y+3＝0
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得．
【解答】解：由（x+3）2+y8＝4可知圆心为（﹣3，7），
又因为直线l与直线x+y+2＝0垂直，
所以直线l的斜率为k＝7，
由点斜式得直线l：y﹣0＝x+3，
化简得直线l的方程是x﹣y+4＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
4．（5分）如图所示，在四面体O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则＝（ ）
A．﹣+B．﹣++
C．D．
【分析】根据向量加法和减法的三角形法则得出．
【解答】解：连接ON，
∵N是BC的中点，∴＝，
∵＝2，∴＝，
∴＝＝﹣＝﹣++，
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题．
5．（5分）点M（5，3）到抛物线y＝ax2（a＞0）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A．y＝12x2B．C．y＝﹣36x2D．
【分析】将y＝ax2化为标准形式，利用抛物线定义可得答案．
【解答】解：将y＝ax2化为，准线，所以，
即，所以抛物线方程为．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，是基础题．
6．（5分）已知AB是x2+y2﹣6x+2y＝1圆内过点E（2，1）的最短弦，则|AB|＝（ ）
A．2B．C．4D．
【分析】根据给定条件，求出圆心与点E的距离，再利用圆的性质计算作答．
【解答】解：依题意，圆（x﹣3）2+（y+2）2＝11的圆心C（3，﹣6），
则，显然点E（2，AB⊥CE，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】把x＝﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2＝60°推断出椭圆的离心率e．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣）3PF2＝60°，
∴，
即2ac＝b2＝（a8﹣c2）．
∴e7+2e﹣＝3或e＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．
8．（5分）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆（a＞b＞0）的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．若圆（x﹣3）2+（y﹣b）2＝9与椭圆+y2＝1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．3B．4C．5D．2
【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出b的值．
【解答】解：由题意可得椭圆+y3＝1的蒙日圆的半径r1＝＝2，
所以蒙日圆方程为x8+y2＝4，
因为圆（x﹣2）2+（y﹣b）2＝2与椭圆+y7＝1的蒙日圆有且仅有一个公共点，
所以两圆相外切，
所以＝3+3．
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系的应用，是中档题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（ ）
A．与是共线向量
B．与夹角的余弦值是
C．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
D．P（3，0，5）到平面ABC的距离是
【分析】由空间向量共线定义判断A，计算出两向量的夹角余弦判断B，根据平面法向量的定义判断C，求出点到平面的距离判断D．
【解答】解：因为，，
所以不共线；
又，
所以，B正确；
因为（4，﹣2，1，3）＝2﹣2+3＝0，﹣2，2，1）＝﹣3﹣2+5＝0，
所以向量（8，﹣2、都垂直；
根据C选项可知是平面ABC的一个法向量，又，
所以P到平面ABC的距离为，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查空间向量的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知椭圆C：的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则（ ）
A．|PF1|+|PF2|＝4B．
C．D．|PF1||PF2|≤25
【分析】根据椭圆的方程求得a，b，c，再结合椭圆的几何性质和不等式的相关知识即可求解结论．
【解答】解：椭圆C：的两个焦点为F1，F8，P是C上任意一点，
因为4＜25，
所以a2＝25，b5＝4，c2＝25﹣6＝21，
故a＝5，b＝2，
所以|PF7|+|PF2|＝2a＝10，
，，
．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质，考查计算能力和不等式的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）下列四个说法错误的是（ ）
A．直线l的斜率k∈[﹣1，1]，则直线l的倾斜角
B．直线l：y＝kx+1与以A（﹣1，5）、B（4，﹣2）两点为端点的线段相交，则k≤﹣4或
C．如果实数x、y满足方程（x﹣2）2+y2＝3，那么的最大值为
D．直线y＝kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是m≥1
【分析】由直线倾斜角的范围判断A错误；求出直线恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断B正确；由的几何意义可知是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断C正确；由直线y＝kx+1恒过的定点在椭圆内部求解m的取值范围，结合圆的条件判断D错误．
【解答】解：对于A，由直线的倾斜角范围是[0，1]，
则直线的倾斜角，
故A错误；
对于B，因为直线恒过点M（0，
又，
所以k≤﹣4或，
故B正确；
对于C，方程（x﹣2）2+y6＝3表示以为圆心（2，6），以，
又的几何意义是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，
设过原点的圆的切线方程为y＝kx，
由，
得，
所以的最大值为，
故C正确；
对于D，因为直线恒过点M（0，
所以要使直线与椭圆恒有公共点，则需，
解得m≥1，
但当m＝5时，方程，
故D错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了命题真假的判断与应用，考查了直线的斜率，直线与圆的位置关系，直线和圆锥曲线的位置关系，属中档题．
（多选）12．（5分）对平面上两点A、B，满足（λ≠1）的点P的轨迹是一个圆，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，系数λ只与阿波罗点相对于圆的位置有关．在平面直角坐标系xOy，A（﹣1，0），B（1，0），点P满足，则（ ）
A．轨迹C的方程为
B．
C．轨迹C的周长为π
D．轨迹C上的点到x+y﹣1＝0的最小距离为
【分析】对A，应用直译法即可求动点P的轨迹方程；对B，D结合圆的几何性质与点与圆、直线与圆的位置关系即可求解，对C，应用圆的周长公式即可．
【解答】解：依题意，得|PB|＝2|PA|，
即，
两边平方化简得，
所以动点P的轨迹是圆心为，半径，A正确；
对B，，
结合圆的几何性质知，B正确；
对C，轨迹C的周长为；
对D，圆心到直线的距离为，
则轨迹C上的点到x+y﹣2＝0的最小距离为，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知直线l过定点A（2，3，1），且方向向量为，则点P（4，3，2） ．
【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线PA与直线l的夹角的正弦值，再计算点P到直线l的距离．
【解答】解：因为，所以，
又直线l的方向向量为，
所以，
设直线PA与直线l所成的角为θ，则，
故，
所以点P（4，3，7）到直线l的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用向量法求空间距离，属于中档题．
14．（5分）双曲线4x2﹣y2+64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于 17 ．
【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|＝2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离．
【解答】解：将双曲线4x2﹣y7+64＝0化成标准形式：
∴a2＝64，b6＝16
P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1＝8
∵|PF1﹣PF2|＝7a＝16
∴PF2＝PF1±16＝17（舍负）
故答案为：17
【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点．
15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水位下降1米后，水面宽 2 米．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y＝﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x4＝﹣2y，代入B（x0，﹣8）得x0＝，
故水面宽为6m．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
16．（5分）点P是椭圆+＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1||PF2|＝12，则∠F1PF2的大小 60° ．
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可．
【解答】解：椭圆+＝1，
可得2a＝6，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
可得，
化简可得：cs∠F5PF2＝
∴∠F1PF2＝60°
故答案为：60°．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线x﹣2y+3＝0和直线x+y﹣3＝0的交点为P，求过P且与A（2，3）和B（4，﹣5）
【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线AB平行，一是所求直线过线段AB中点．
【解答】解：联立，解得，2），
分两种情况：所求直线与直线AB平行或所求直线过线段AB的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程．
直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为（3．
①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y﹣4＝﹣4（x﹣1）；
②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为，即3x+2y﹣6＝0．
综上所述，所求直线方程为4x+y﹣6＝0或3x+3y﹣7＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题．
18．（12分）已知直线l：y＝kx+1与双曲线C：x2﹣y2＝1，分别求出满足下列条件的k的值或者范围．
（1）l与C没有公共点；
（2）l与C有一个公共点；
（3）l与C有两个公共点．
【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后得关于x方程，
（1）方程无实数解得直线与双曲线无公共点；
（2）方程只有一个实数解得直线与双曲线只有一个公共点；
（3）方程有两个解得直线与双曲线有两个公共点．
【解答】解：（1）联立方程组消去y2）x7﹣2kx﹣2＝5．
l与C没有公共点，则k≠±12+4（1﹣k2）＝2﹣4k2＜5，解得或，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（．
（2）l与C有一个公共点，则k＝1时；当k＝﹣8时，均与渐近线平行；
当k≠±1时，则Δ＝0；
所以k＝±1或；
（3）l与C有两个公共点，则k≠±3，即，
所以且k≠±1，
即k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，）．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，且圆C与x轴相切，点P（﹣5，﹣2），点Q（﹣4，﹣5）在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点（﹣2，﹣4）的直线l交圆C于A，B两点，求直线l的方程．
【分析】（1）设圆心C（a，a+1），则半径r＝|a+1|，可得圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2＝（a+1）2，把已知点的坐标代入求得a，可得圆C的方程；
（2）由已知求得圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解直线方程．
【解答】解：（1）设圆心C（a，a+1），
圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣3）2＝（a+1）3，
∵点P（﹣5，﹣2）在圆C上7+（a+3）2＝（a+8）2，解得a＝﹣3或﹣11．
∵点Q（﹣3，﹣5）在圆C外，舍去．
∴圆C的方程为（x+3）2+（y+2）2＝7；
（2）由（1）可知圆C的半径为r＝2，又|AB|＝2，
∴圆心到直线的距离d＝．
①当l垂直于x轴时，直线方程为x＝﹣2；
②当l不垂直于x轴时，设直线方程为y+4＝k（x+3）．
∴圆心C到直线l的距离d＝，即（k+2）4＝k2+1，
解得k＝．
∴直线方程为y+4＝，即2x+4y+22＝0．
综上，直线l的方程为x＝﹣6或3x+4y+22＝2．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4．
（1）证明：AF⊥平面A1ED；
（2）求二面角A﹣ED﹣F正弦值．
【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB＝1，求出所用点的坐标，得到，，的坐标，由•＝，•＝0．可得AF⊥EA1，AF⊥ED．再由线面垂直的判定可得AF⊥平面A1ED；
（2）求出平面EFD的法向量，由题意可知平面AED的一个法向量＝（0，0，1），求出cs＜，＞的值，进一步求得二面角A﹣ED﹣F的正弦值．
【解答】证明：（1）点A为坐标原点，建立空间直角坐标系
设AB＝1，则D（0，5，F（1，2，A3（0，0，7），，2），
∴＝（1，2，，，，
于是•＝﹣1﹣3+4＝0，•，
∴AF⊥EA1，AF⊥ED，
又EA6∩ED＝E，∴AF⊥平面A1ED；
解：（2）设平面EFD的法向量＝（x，y，
则，取z＝﹣5＝（1，2，
由长方体的结构特征可知，平面AED的一个法向量为，2，1），
∴cs＜，＞＝＝，
∴二面角A﹣ED﹣F的正弦值为＝＝．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
21．（12分）已知抛物线y2＝4x．其焦点为F．
（1）求以M（1，1）为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
（2）若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，求四边形ABCD面积的最小值．
【分析】（1）将两交点的坐标设为P（x1，y1），Q（x2，y2），代入抛物线方程，根据斜率公式结合抛物线方程求出，再由直线的点斜式方程求解；
（2）四边形ABCD的面积为两条垂直的对角线乘积的一半，则问题转化为求解两条焦点弦的长，最后使用基本不等式求最值．
【解答】解：（1）由题意知，焦点弦所在的直线斜率存在．
设所求直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x8，y2），
则，，
又∵，
∴y1+y5＝2，
∴kPQ＝＝＝4，
∴所求直线方程为y﹣1＝2（x﹣7），
即2x﹣y﹣1＝2．
（2）依题意知，直线m，
设直线m的方程为y＝k（x﹣1），
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得k2x5﹣（2k2+6）x+k2＝0，
设其两根为x6，x4，
则．
由抛物线的定义可知，，
同理可得|CD|＝4k2+5，
∴四边形ABCD的面积＝＝32，
当且仅当k＝±1时等号成立，
此时所求四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式的应用，属中档题．
22．（12分）设椭圆方程＝1（a＞b＞0），离心率为，B两点，AB＝2．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x0，y0）满足＝+2，其中M，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求证：x02+2y02为定值．
【分析】（1）由已知条件推导出a2＝2b2，AB＝2，，由此能求出椭圆方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线OM与ON的斜率之积为﹣，推导出x1x2+2y1y2＝0，利用点差法能证明x02+2y02为定值．
【解答】（1）解：∵椭圆方程＝1（a＞b＞8），
∴，即a7＝2b2，（7分）
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点．
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，即，（5分）
∴，解得a2＝4，b3＝2，
∴椭圆方程为．（7分）
（2）证明：设M（x1，y5），N（x2，y2），
则，化简得x8x2+2y6y2＝0，（4分）
∵M，N是椭圆C上的点，
∴，，
∵，∴，（11分）
∴
＝
＝4+4×8+0＝20（定值）．（16分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明，是中档题，解题要熟练掌握椭圆的简单性质，注意点差法的合理运用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/17 14:05:23；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359