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2023-2024学年陕西省渭南市尚德中学高二上学期第二次（期中）质量检测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年陕西省渭南市尚德中学高二上学期第二次（期中）质量检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，计算题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把直线方程化成斜截式方程，求出斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角.
【详解】由化简得：，
所以得直线的斜率为（为倾斜角），
又因为，所以可得直线的倾斜角为，故C项正确.
故选：C.
2．曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析双曲线焦点的位置，然后求双曲线的实半轴，虚半轴，即可得到渐近线方程.
【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为，故双曲线的渐近线方程为：.
故选：C
3．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【详解】由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故选：D．
4．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案.
【详解】由题意.
故选：C
5．点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将化为标准形式，利用抛物线定义可得答案.
【详解】将化为，准线，由已知得：，所以，
即，所以抛物线方程为.
故选：D
6．已知AB是圆内过点的最短弦，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出圆心与点的距离，再利用圆的性质计算作答.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，
则，显然点在圆内，，
所以.
故选：B
7．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.
【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：
设，轴，，，
，，
由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.
8．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到蒙日圆的方程为，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意得，椭圆的蒙日圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆的方程为：，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
可得两圆外切，所以，解得.
故选：B.
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量B．与夹角的余弦值是
C．平面的一个法向量是D．到平面的距离是
【答案】BCD
【分析】由空间向量共线定义判断A，计算出两向量的夹角余弦判断B，根据平面法向量的定义判断C，求出点到平面的距离判断D．
【详解】，，因此不共线，A错；
，，B正确；
，，
所以向量与、都垂直，C正确；
记，，
到平面的距离为，D正确．
故选：BCD．
10．已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.
【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，
因为，所以，，，
所以，，故A错误，B正确；
设，，，
则，
即，当时取得最大值，故C正确；
由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．
故选：BCD
11．下列四个说法错误的是（ ）
A．直线的斜率，则直线的倾斜角；
B．直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；
C．如果实数、满足方程，那么的最大值为；
D．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.
【答案】AD
【分析】由直线倾斜角的范围判断A错误；求出直线恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断B正确；由的几何意义可知是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断C正确；由直线恒过的定点在椭圆内部求解的取值范围，结合圆的条件判断D错误.
【详解】对于A，由直线的倾斜角范围是知直线的斜率，则直线的倾斜角，故A错误；
对于B，因为直线恒过点，，所以或，故B正确；
对于C，方程表示以为圆心，以为半径的圆，的几何意义是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，设过原点的圆的切线方程为，由得，所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为直线恒过点，所以要使直线与椭圆恒有公共点则需，解得，但当时，方程不是椭圆，故D错误.
故选：AD
【点晴】本题主要考查了命题真假的判断与应用，考查了直线的斜率，直线与圆的位置关系，直线和圆锥曲线的位置关系.
12．对平面上两点、，满足（）的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点，是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关.在平面直角坐标系，，，点满足.设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．
C．轨迹的周长为
D．轨迹上的点到的最小距离为
【答案】ABD
【分析】对A，应用直译法即可求动点的轨迹方程；对B，D结合圆的几何性质与点与圆、直线与圆的位置关系即可求解，对C，应用圆的周长公式即可.
【详解】依题意,得,
即,
两边平方化简得,
所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，A正确；
对B，，
结合圆的几何性质知，B正确；
对C，轨迹的周长为，C错误；
对D，圆心到直线的距离为，
则轨迹上的点到的最小距离为，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为
【答案】
【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．
【详解】解：因为，所以，
又直线的方向向量为，
所以，
设直线与直线所成的角为，则，
故，
点到直线的距离为．
故答案为：
14．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为 .
【答案】17.
【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.
【解析】双曲线的定义.
四、单空题
15．如图（单位：m）是抛物线形拱桥，当水面处于位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水面下降1m后，水面宽增加 m.
【答案】
【分析】依题意建立适当的直角坐标系，从而求得抛物线方程，由此得解.
【详解】如图建立直角坐标系，则，设抛物线方程为，
将代入，得，解得，
所以抛物线方程为，代入得，解得，
则此时水面宽为米，所以水面宽增加米.
故答案为：．
五、填空题
16．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小 .
【答案】
【分析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．
【详解】椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
六、计算题
17．已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；
【答案】或
【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点．
【详解】联立，解得，交点为，
分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
18．已知直线：与双曲线：，分别求出满足下列条件的的值或者范围.
(1)与没有公共点；
(2)与有一个公共点；
(3)与有两个公共点；
【答案】(1)或
(2)或
(3)且．
【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后得关于方程，
（1）方程无实数解得直线与双曲线无公共点；
（2）方程只有一个实数解得直线与双曲线只有一个公共点；
（3）方程有两个解得直线与双曲线有两个公共点．
【详解】（1）联立方程组消去，整理的.
与没有公共点，则，且，解得或.
（2）与有一个公共点，则时，；当时，，均与渐近线平行；
当时，则，此时；
所以或；
（3）与有两个公共点，则，且，即，
所以且．
七、问答题
19．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
20．如图，在长方体中，、分别是棱、上的点，，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，依题意得、、、，
则，，，
所以，，，所以，，，
又因为，、平面，因此，平面.
（2）解：设平面的法向量为，
因为，，则，
不妨令，可得，
由（1）可知，为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的角的大小为，由图可知为锐角，
则，
所以，，
因此，二面角的平面角的正弦值为.
21．已知抛物线.其焦点为F.
(1)求以为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)2x－y－1＝0
(2)32
【分析】（1）将两交点的坐标设为，代入抛物线方程，根据斜率公式结合抛物线方程求出，再由直线的点斜式方程求解；
（2）四边形的面积为两条垂直的对角线乘积的一半，则问题转化为求解两条焦点弦的长，最后使用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题意知，焦点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于,
则,
又,
所求直线方程为,
即.
（2）
依题意知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,
与抛物线方程联立,得，
消去,整理得,设其两根为,
则.
由抛物线的定义可知，,
同理可得,
四边形的面积.
当且仅当时等号成立,此时所求四边形面积的最小值为32.
八、证明题
22．设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率得，由得椭圆过点，代入椭圆方程结合求得得椭圆方程；
（2）设，，由斜率之积得这两点坐标关系，两点在椭圆上，代入椭圆方程，由向量的坐标运算可用用表示，然后计算可得．
【详解】（1）由，得，
因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，且，
所以椭圆的对称性知，椭圆过点，即，
即，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，化简得.
因为，是椭圆上的点，所以，，即有，，
由，得，
所以
.
即为定值．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把直线方程化成斜截式方程，求出斜率，再根据直线斜率与直线倾斜角之间的关系，结合特殊角的正切值，求出直线的倾斜角.
【详解】由化简得：，
所以得直线的斜率为（为倾斜角），
又因为，所以可得直线的倾斜角为，故C项正确.
故选：C.
2．曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析双曲线焦点的位置，然后求双曲线的实半轴，虚半轴，即可得到渐近线方程.
【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为，故双曲线的渐近线方程为：.
故选：C
3．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【详解】由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故选：D．
4．空间四边形中，设，，，点在棱上，且，是棱的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的运算结合基底可得答案.
【详解】由题意.
故选：C
5．点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将化为标准形式，利用抛物线定义可得答案.
【详解】将化为，准线，由已知得：，所以，
即，所以抛物线方程为.
故选：D
6．已知AB是圆内过点的最短弦，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出圆心与点的距离，再利用圆的性质计算作答.
【详解】依题意，圆的圆心，半径，
则，显然点在圆内，，
所以.
故选：B
7．过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，设，可得，，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.
【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：
设，轴，，，
，，
由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.
8．19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到蒙日圆的方程为，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意得，椭圆的蒙日圆的半径，
所以椭圆的蒙日圆的方程为：，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
可得两圆外切，所以，解得.
故选：B.
二、多选题
9．已知空间中三点，，，则（ ）
A．与是共线向量B．与夹角的余弦值是
C．平面的一个法向量是D．到平面的距离是
【答案】BCD
【分析】由空间向量共线定义判断A，计算出两向量的夹角余弦判断B，根据平面法向量的定义判断C，求出点到平面的距离判断D．
【详解】，，因此不共线，A错；
，，B正确；
，，
所以向量与、都垂直，C正确；
记，，
到平面的距离为，D正确．
故选：BCD．
10．已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.
【详解】设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，
因为，所以，，，
所以，，故A错误，B正确；
设，，，
则，
即，当时取得最大值，故C正确；
由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．
故选：BCD
11．下列四个说法错误的是（ ）
A．直线的斜率，则直线的倾斜角；
B．直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；
C．如果实数、满足方程，那么的最大值为；
D．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.
【答案】AD
【分析】由直线倾斜角的范围判断A错误；求出直线恒过的定点M，再求出MA和MB所在直线的斜率判断B正确；由的几何意义可知是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，求出过原点的圆的切线的斜率判断C正确；由直线恒过的定点在椭圆内部求解的取值范围，结合圆的条件判断D错误.
【详解】对于A，由直线的倾斜角范围是知直线的斜率，则直线的倾斜角，故A错误；
对于B，因为直线恒过点，，所以或，故B正确；
对于C，方程表示以为圆心，以为半径的圆，的几何意义是连接圆上的动点和原点的连线的斜率，设过原点的圆的切线方程为，由得，所以的最大值为，故C正确；
对于D，因为直线恒过点，所以要使直线与椭圆恒有公共点则需，解得，但当时，方程不是椭圆，故D错误.
故选：AD
【点晴】本题主要考查了命题真假的判断与应用，考查了直线的斜率，直线与圆的位置关系，直线和圆锥曲线的位置关系.
12．对平面上两点、，满足（）的点的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点，是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关.在平面直角坐标系，，，点满足.设点的轨迹为，则（ ）
A．轨迹的方程为
B．
C．轨迹的周长为
D．轨迹上的点到的最小距离为
【答案】ABD
【分析】对A，应用直译法即可求动点的轨迹方程；对B，D结合圆的几何性质与点与圆、直线与圆的位置关系即可求解，对C，应用圆的周长公式即可.
【详解】依题意,得,
即,
两边平方化简得,
所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，A正确；
对B，，
结合圆的几何性质知，B正确；
对C，轨迹的周长为，C错误；
对D，圆心到直线的距离为，
则轨迹上的点到的最小距离为，D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为
【答案】
【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离．
【详解】解：因为，所以，
又直线的方向向量为，
所以，
设直线与直线所成的角为，则，
故，
点到直线的距离为．
故答案为：
14．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为 .
【答案】17.
【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.
【解析】双曲线的定义.
四、单空题
15．如图（单位：m）是抛物线形拱桥，当水面处于位置时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水面下降1m后，水面宽增加 m.
【答案】
【分析】依题意建立适当的直角坐标系，从而求得抛物线方程，由此得解.
【详解】如图建立直角坐标系，则，设抛物线方程为，
将代入，得，解得，
所以抛物线方程为，代入得，解得，
则此时水面宽为米，所以水面宽增加米.
故答案为：．
五、填空题
16．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小 .
【答案】
【分析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．
【详解】椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
六、计算题
17．已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；
【答案】或
【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点．
【详解】联立，解得，交点为，
分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
18．已知直线：与双曲线：，分别求出满足下列条件的的值或者范围.
(1)与没有公共点；
(2)与有一个公共点；
(3)与有两个公共点；
【答案】(1)或
(2)或
(3)且．
【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后得关于方程，
（1）方程无实数解得直线与双曲线无公共点；
（2）方程只有一个实数解得直线与双曲线只有一个公共点；
（3）方程有两个解得直线与双曲线有两个公共点．
【详解】（1）联立方程组消去，整理的.
与没有公共点，则，且，解得或.
（2）与有一个公共点，则时，；当时，，均与渐近线平行；
当时，则，此时；
所以或；
（3）与有两个公共点，则，且，即，
所以且．
七、问答题
19．已知圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴相切，点在圆C上，点在圆C外．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l交圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由题意设圆的方程为，再将点的坐标代入方程中可求出的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上，
所以，解得或．
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为．
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离．
当k不存在时，直线方程，符合题意；
当k存在时，设直线方程为，整理得
所以圆心C到直线l的距离，即，解得，
所以，所以直线l的方程为．
∴综上，直线方程为或．
20．如图，在长方体中，、分别是棱、上的点，，.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得二面角的平面角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，依题意得、、、，
则，，，
所以，，，所以，，，
又因为，、平面，因此，平面.
（2）解：设平面的法向量为，
因为，，则，
不妨令，可得，
由（1）可知，为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的角的大小为，由图可知为锐角，
则，
所以，，
因此，二面角的平面角的正弦值为.
21．已知抛物线.其焦点为F.
(1)求以为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)2x－y－1＝0
(2)32
【分析】（1）将两交点的坐标设为，代入抛物线方程，根据斜率公式结合抛物线方程求出，再由直线的点斜式方程求解；
（2）四边形的面积为两条垂直的对角线乘积的一半，则问题转化为求解两条焦点弦的长，最后使用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题意知，焦点弦所在的直线斜率存在.设所求直线交抛物线于,
则,
又,
所求直线方程为,
即.
（2）
依题意知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,
与抛物线方程联立,得，
消去,整理得,设其两根为,
则.
由抛物线的定义可知，,
同理可得,
四边形的面积.
当且仅当时等号成立,此时所求四边形面积的最小值为32.
八、证明题
22．设椭圆的方程为（），离心率为，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点满足，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率得，由得椭圆过点，代入椭圆方程结合求得得椭圆方程；
（2）设，，由斜率之积得这两点坐标关系，两点在椭圆上，代入椭圆方程，由向量的坐标运算可用用表示，然后计算可得．
【详解】（1）由，得，
因为过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于A，两点，且，
所以椭圆的对称性知，椭圆过点，即，
即，解得，，所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，化简得.
因为，是椭圆上的点，所以，，即有，，
由，得，
所以
.
即为定值．
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