陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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（试卷共150分，时间为120分钟）
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 抛物线的焦点到准线的距离为
A. 1B. 2
C 3D. 4
2. 已知向量和的夹角为120°，且，则（ ）
A. 12B. C. 4D. 13
3. 过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 直线D. 抛物线
4. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（ ）
A. B. 2C. 2D. 4
5. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相切或相交
6. 是过抛物线焦点的弦，且,则线段的中点横坐标为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
8. 已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题为真命题是（ ）
A. 若空间向量满足，则
B. 在正方体中，必有
C. 若空间向量满足，则
D. 空间中，，则
10. 椭圆的焦距是2，则m的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 不存在
11. 已知曲线C：，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则C为双曲线
B. 若且，则C为焦点在x轴上椭圆
C. 若，则C不可能表示圆
D. 若，则C为两条直线
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若为空间夹角是60°的两个单位向量，则=____.
13. 抛物线的焦点坐标为____准线方程为____
14. 已知椭圆弦的中点M的坐标为，则的方程为________.
四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程．
16. 如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
17. 已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
18. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A横坐标为3，且点A到准线l的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．
19. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求：
（1）动点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由.