江西省南昌市第十中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省南昌市第十中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人:赵敏 审题人:程丽军
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足（其中i是虚数单位，），则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.若向量，，且，则（ ）
A.-8B.2C.-2D.8
4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
6.冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位.若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（ ）
A.584年B.574年C.554年D.564年
7.已知数列满足，对，都有，为数列的前n项乘积，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：
9.已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A.变量x，y之间呈现负相关关系B.
C.可以预测，当时，y约为2.6D.由表格数据知，该回归直线必过点
10.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则的周长可能为（ ）
A.8B. C.9D.
11.在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的底面半径为，母线长为2，点C为的中点，圆锥底面上点M在以为直径的圆上（不含A､O两点），点H在上，且，当点M运动时，则（ ）
A.三棱锥的外接球体积为定值
B.直线与直线不可能垂直
C.直线与平面所成的角可能为60°
D.
三、填空题：
12.已知随机变量，若，则实数a的值为_________.
13.圆的圆心与抛物线的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线的距离为_________.
14.对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则_________.
四、解答题：
15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值.
16.某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品.
（1）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率
（2）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，
则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率.
17.如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.已知点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，设点M的轨迹为曲线H.
（1）求曲线H的方程；
（2）若过点M的直线与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段的中点.
（i）证明：直线与曲线H有且仅有一个交点；
（ii）求的取值范围.
19.给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的泰勒展开式；
（2）用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
（3）现已知，试求的值.
参考答案
1. 【答案】B 2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】C 5. 【答案】A
6. 【答案】C 7. 【答案】A 8. 【答案】D
9. 【答案】ACD 10. 【答案】AB 11. 【答案】AD
12. 【答案】2 13. 【答案】/0.8 14. 【答案】2
15. 【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由及正弦定理得，.
因为，所以，则，即.
因为，所以.（5分）
（2）方法一：由和正弦定理，得，即.
，即，则得.
方法二：根据余弦定理得，
则.
，则角A是锐角，故，
则.（13分）
16. 【答案】（1）（2）
【分析】（1）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可；
（2）根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）设事件A表示“零件是次品”，B表示“自动检测判断零件为次品”，事件，分别表示零件是一等品、二等品，
则
，
则.
所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为.（7分）
（2）设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，D表示“人工抽检的零件为一等品”
，，
所以工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为.
17. 【答案】（1）证明见解析
（2）.
【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、已知线面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）应用面面垂直性质定理证明线面垂直；
（2）先应用空间向量法计算线面角得出参数，再计算二面角即可.
【详解】（1）由题意：，，∴，同理，
又，∴，∴.
而，即
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，∴，
又，且面，面，PCACC，∴PD平面.（6分）
（2）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，
设，有，
取面的一个法向量，
则，，
故.
令是平面的一个法向量，则，
即
令，有，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.（15分）
18. 【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，（ii）
【知识点】利用双曲线定义求方程、讨论双曲线与直线的位置关系、求双曲线中的最值问题
【分析】（1）由双曲线的定义进行求解；
（2）（i）设，，，求出，由直线与曲线H方程进行求解；
（ii）由，则利用基本不等式求解.
【详解】（1）M为的垂直平分线上一点，则，
则
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且，，
故点M的轨迹方程为：.
（2）（i）设，，，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得，，
①-②得，，
则，得
由题可知，则，，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立，可得，同理可得，，
则，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为.
19. 1.（1）
（2）0.9553
（3）
【分析】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求，
（2）由（1）可求；
（3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论.
【详解】（1），，，…，
所以，，，…，
由
所以
（2）由（1）可得
1-0.0450.00033750.9553.
（3）因为
①，
对，
两边求导可得：，
所以，
所以②，
比较①②中的系数，可得：
所以.