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精品解析：江西省南昌市第十九中学2024届高三上学期第二次月考数学试题
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考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A B. C. D. 2
3. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 先增后减函数D. 与，有关，不能确定
5. 若命题是命题的充分不必要条件，下列说法正确的是（ ）
A. 命题：；命题：恒成立
B. 命题：；命题：
C. 命题：；命题：恒成立
D. 命题：；命题：，使得
6. 在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B. 数列的通项为，若为单调递增数列，则
C. 等比数列中，，是方程的两根，则
D. 等差数列，前n项和为分别为，，若，则
10. 已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 的图象关于点对称
C. 在上是增函数D. 当时，函数的值域是[1，2]
11. 已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是______.
14. 以函数的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则__________.
15. 实数x满足，则=___________.
16. 小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第______层住宅.
（参考公式及数据：，，，）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，设所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若的内切圆半径，求的面积．
18. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，求证：.
19. 如图，在棱长和高均为4的正三棱柱中，，两点分别为，两边的四等分点，为中点，为边上的动点（含端点）.
（1）求证：；
（2）求当点在边移动时，与平面所成线面角的正弦值的取值范围.
20. 某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.
（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；
（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望.
21. 如图，已知双曲线的一条渐近线与轴夹角为，点在上，过的两条直线的斜率分别为，且交于交于，线段与的中点分别为
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：存在点，使为定值.
22. 已知函数，.
（1）讨论的单调性并求极值.
（2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A B. C. D. 2
3. 已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 先增后减函数D. 与，有关，不能确定
5. 若命题是命题的充分不必要条件，下列说法正确的是（ ）
A. 命题：；命题：恒成立
B. 命题：；命题：
C. 命题：；命题：恒成立
D. 命题：；命题：，使得
6. 在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B. 数列的通项为，若为单调递增数列，则
C. 等比数列中，，是方程的两根，则
D. 等差数列，前n项和为分别为，，若，则
10. 已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 的图象关于点对称
C. 在上是增函数D. 当时，函数的值域是[1，2]
11. 已知，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是______.
14. 以函数的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则__________.
15. 实数x满足，则=___________.
16. 小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第______层住宅.
（参考公式及数据：，，，）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，设所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若的内切圆半径，求的面积．
18. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，求证：.
19. 如图，在棱长和高均为4的正三棱柱中，，两点分别为，两边的四等分点，为中点，为边上的动点（含端点）.
（1）求证：；
（2）求当点在边移动时，与平面所成线面角的正弦值的取值范围.
20. 某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.
（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；
（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望.
21. 如图，已知双曲线的一条渐近线与轴夹角为，点在上，过的两条直线的斜率分别为，且交于交于，线段与的中点分别为
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：存在点，使为定值.
22. 已知函数，.
（1）讨论的单调性并求极值.
（2）设函数（为的导函数），若函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.
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