2020-2021学年江西省南昌市第十中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2020-2021学年江西省南昌市第十中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列是古典概型的个数有（ ）
①已知且，从中任取一个数，则满足的概率
②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；
③近一周中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根据古典概型依次判断即可.
【详解】
因为古典概型的两个特点，一是结果有限个，二是每个结果等可能.
所以①为几何概型，②③④为古典概型.
故选：C
【点睛】
本题主要考查古典概型，属于简单题.
2．下面说法正确的是（ ）
A．一条直线和轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的斜率为，则其倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则斜率为
D．每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率
【答案】D
【解析】根据直线倾斜角和斜率的概念逐一判断即可.
【详解】
一条直线向上的方向和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，
故A错误；
直线的斜率为，因为直线的倾斜角范围是，不一定在这个范围内，故B不正确；
若直线的倾斜角为，斜率不存在，故C不正确；
每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率，故D正确；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的概念及其关系，属于基础题.
3．下图的算法语句输出的结果为（ ）
A．17B．19C．21D．23
【答案】A
【解析】计算循环语句，直到不成立时，输出对应的即可
【详解】
由题不妨设，则；；
；；不成立，输出
故选：A
【点睛】
本题考查循环语句，属于基础题
4．已知，，，，且直线与平行，则的值为（ ）
A．1B．0或1C．2D．1或2
【答案】B
【解析】按照直线斜率是否存在讨论，结合直线的斜率公式和平行直线的斜率关系得到关于的方程，解方程即得解.
【详解】
当直线与的斜率均不存在时，由可得，
此时，，，，符合题意；
当直线与的斜率均存在时，，
此时，，所以，解得，
此时，，，，符合题意；
综上，的值为0或1.
故选：B.
【点睛】
本题考查了由直线的位置关系求参数，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于基础题.
5．在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据已知条件求出总的基本事件个数，再求出使得被3整除的基本事件的个数，根据古典概型的计算公式求解即可.
【详解】
根据题意可知，有如下基本事件：
；；；；
；；；；
；；；；
；；；；
共16个，其中满足被3整除的基本事件有1个，
故被3整除的概率为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率计算，属于基础题.
6．圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意结合轴与圆相切可设圆心，则圆的半径为，再由弦长即可列方程，求得n后即可得解.
【详解】
因为圆的圆心在直线上，且与轴的正半轴相切，
所以可设圆心，则圆的半径为，
又圆截轴所得弦的长为，所以，
所以，所以圆的圆心，半径为，
所以圆的标准方程为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
7．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】点在直线上，则过点且垂直于已知直线的直线为所求
∴点的轨迹方程为
故选B
点睛：本题考查动点轨迹的求法，两直线互相垂直斜率关系，注意本题与抛物线定义的区别，定点落在直线外是抛物线，而本题落在直线上.
8．下面程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的为（ ）
A．0B．1C．3D．15
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，，不满足，则变为；由，则变为；由，则变为；由，则变为；由，则变为，由，则输出的，故选C.
【考点】程序框图.
9．已知变量，满足则的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【解析】由题意作出可行域，转化目标函数为可行域内的点与点连线的斜率，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图，
目标函数，即可行域内的点与点连线的斜率，
直线的斜率为，
由可得点，则，
数形结合可得，或.
故选：A.
【点睛】
本题考查了简单线性规划的应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于基础题.
10．甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过100米的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设甲、乙两人跑的路程分别为米，米，根据条件列出甲、乙路程的约束条件及在任一时刻两人在跑道上相距不超过100米的约束条件，画出对应的区域，根据几何概型的计算公式求解即可.
【详解】
设甲、乙两人跑的路程分别为米，米，则有 ，表示区域如图正方形，面积为平方米，
相距不超过米满足，表示的区域如图阴影部分，面积为平方米，
所以，在任一时刻两人在跑道上相距不超过米的概率为，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了几何概型概率计算，属于中档题.解决此类问题的关键是熟练掌握几何概型的使用条件，以及几何概型的计算公式.
11．若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．
【详解】
解：作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，
且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
又圆上有4个点到直线的距离为1，
两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．
由此可得圆的半径，
即，实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】
本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
12．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
【考点】抛物线定义.
二、填空题
13．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．
（1）至少有1个白球；都是白球；
（2）至少有1个白球；至少有1个红球；
（3）恰有1个白球；恰有2个白球；
（4）至少有1个白球；都是红球
【答案】（3）（4）
【解析】根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.
【详解】
（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；
（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；
（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；
（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.
故答案为：（3）（4）.
【点睛】
本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.
14．函数的最小值为________．
【答案】
【解析】根据题意，其几何意义为点到点，两点的距离之和，故，再根据距离公式求解即可.
【详解】
解：因为，
几何意义为点到点，两点的距离之和，
关于轴的对称点，
，
当且仅当三点共线时的值最小为
故答案为：
【点睛】
本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题.
15．两圆和的公共弦长为________．
【答案】
【解析】两圆方程作差得到公共弦方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长；
【详解】
解：即①圆心为，半径；
②
①②得，即两圆公共弦方程为，圆心到直线的距离
所以公共弦长为
故答案为：
【点睛】
本题考查两圆公共弦的计算，属于基础题.
16．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ．
【答案】5
【解析】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
三、解答题
17．已知的顶点坐标为，，．
（Ⅰ）求边上的高线所在的直线方程；
（Ⅱ）求的面积．
【答案】（Ⅰ）x+6y﹣22=0；（Ⅱ）16.
【解析】试题分析：（1）由题意可得AB的斜率，可得AB边高线斜率，进而可得方程；（2）由（1）知直线AB的方程，可得C到直线AB的距离为d，由距离公式可得|AB|，代入三角形的面积公式可得．
试题解析：
（I）由题意可得，
∴AB边高线斜率k=，
∴AB边上的高线的点斜式方程为，
化为一般式可得x+6y﹣22=0；
（II）由（Ⅰ）知直线AB的方程为y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，
∴C到直线AB的距离为d=，
又∵|AB|==，
∴三角形ABC的面积S=
18．已知直线及点
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】（1）首先根据题意得到，再根据即可得到答案.
（2）首先根据题意得到当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大，再求直线方程即可.
【详解】
（1）直线方程可化为：
由，解得且，
∴直线恒过定点.
（2）因为直线恒过定点，
∴当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大，
∵，∴直线的斜率
由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，
即.
【点睛】
本题第一问考查直线横过定点问题，第二问考查直线方程，属于简单题.
19．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求被选中的概率；
（2）求和不全被选中的概率．
【答案】（1）;（2）.
【解析】【详解】
（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，因而．
（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
20．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．

（）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【答案】（1）；（2）3.5
【解析】试题分析：（1）建立直角坐标系，设圆一般方程，根据三点E,F,M坐标解出参数（2）根据题意求出圆上横坐标等于c点横坐标的纵坐标，再根据要求在竖直方向上的高度之差至少要有得车辆通过隧道的限制高度
试题解析：（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则，，，由于所求圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为，在圆上，所以，解得，，所以圆的方程为．
（2）设限高为，作，交圆弧于点，则，将的横坐标代入圆的方程，得，得或（舍），所以（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是米
21．已知圆C过点P（1，1），且与圆M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称．
⑴求圆C的方程；
⑵设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
⑶过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
【答案】（1）；（2）－4；（3）平行．
【解析】试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C与圆M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x0,y0），进而写出圆C的方程，再由圆C过点P（1，1）就可求出半径r的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x0,y0）这样进行：因为圆M的圆心M(-2,-2),所以有MC的中点在直线x+y+2=0上，且MC与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x0,y0的方程组，解此方程组就可求得x0,y0的值；（2）设出点Q的坐标,则可用点Q的坐标表示出来,再由点Q在圆C上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA和直线PB的倾斜角互补且PA与PB是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA的斜率为k，则PB的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C的方程结合起来就可用k的式子表示出A，B两点的从标，从而就可求出直线AB的斜率，又OP的斜率可求，从而就可判断直线OP和AB是否平行了．
试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x0,y0）,由于圆M的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C的方程为:,又因为圆C过点P（1，1）,所以有,故知:⊙C的方程为：
（2）设Q（x、y），则，从而可设
则
所以的最小值为-4.
（3）设PA的方程为：，则PB的方程为：
由得，同理可得：
OP∥AB．
【考点】１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系．