2022-2023学年江西省南昌市第十中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年江西省南昌市第十中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知角，则的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限.

【详解】因为，而，

所以的终边在第三象限.

故选：C.

2．如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数定义求解即可.

【详解】根据三角函数定义，.

故选：A

3．已知扇形的圆心角，弧长为，则该扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得扇形的半径，进而求得扇形的面积.

【详解】扇形的半径为，

所以扇形的面积为.

故选：C

4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（    ）

A．甲与丁相互独立 B．乙与丁相互独立

C．甲与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】C

【分析】根据独立事件的概念分别判断.

【详解】由题意得，，，，，，，，

根据独立事件的乘法公式可得甲与丙相互独立，

故选：C.

5．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充要条件的定义进行判断即可．

【详解】充分性：当时，符合“”，但是不存在，即“”不能推出“”，故充分性不满足；

必要性：当时，符合，此时不满足 “”，即“”不能推出“”，故充分性不满足；

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D．

6．要得到的图象，只需将的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【分析】将利用诱导公式化为，再根据函数图象的平移，即可选择和判断.

【详解】只需将的图象向左平移个单位长度，

即可得到的图象，

故选：C．

7．科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （    ）

A．智力曲线处于最低点

B．情绪曲线与体力曲线都处于上升期

C．智力曲线与情绪曲线相交

D．情绪曲线与体力曲线都关于对称

【答案】D

【分析】由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项．

【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，

A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误；

B项，情绪曲线E处于最高点，即将开始下降，故B错误；

C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误；

D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确，

故选：D．

8．已知函数的图象关于点对称，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得出，可得出关于的等式，由此可解得实数的值.

【详解】，，

所以，，

因为函数的图象关于点对称，则，

因此，.

故选：B.

【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化：

①函数的图象关于点对称，则；

②函数的图象关于直线对称，则.

二、多选题

9．下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.

【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；

最小正周期为，在区间上单调递增；

最小正周期为，在区间上单调递减；

不是周期函数，在区间上单调递减；

故选：AC

10．若集合，，则正确的结论有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据正弦函数可得集合，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.

【详解】由，

又，

显然集合

所以，

则成立，所以选项A正确.

成立，所以选项B正确，选项D不正确.

，所以选项C不正确.

故选：AB

【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.

11．关于函数有下述四个结论中正确的是（          ）

A．是偶函数 B．在区间上递减

C．为周期函数 D．的值域为

【答案】AC

【解析】根据奇偶性的定义判断出为偶函数，正确；通过时解析式，可知不满足单调递减定义，错误；通过分类讨论的方式去掉解析式的绝对值，得到分段函数的性质，可确定函数最小正周期，知正确；根据余弦函数值域可确定值域，知错误.

【详解】

为偶函数，正确；

当时，，不满足单调递减定义，错误；

当，时，；

当，时，

是以为最小正周期的周期函数，正确；

当，时，，故值域为，错误.

故选：

【点睛】本题考查与余弦型函数有关的函数的性质及值域的相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性、单调性、周期性和值域的求解；关键是能够通过分类讨论的方式确定函数在不同区间内的解析式，进而研究函数性质.

12．函数的图象为，则以下结论中正确的是（    ）

A．图象关于直线对称 B．图象关于点对称

C．函数在区间内是增函数 D．是偶函数

【答案】BC

【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，故图象不关于直线对称，A错；

对于B选项，因为，故图象关于点对称，B对；

对于C选项，当时，，

所以，函数在区间内是增函数，C对；

对于D选项，为奇函数，D错.

故选：BC.

三、填空题

13．函数的定义域为_____________________．

【答案】

【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．

【详解】解：依题意可得，

可得，解得，，

所以函数的定义域为.

故答案为：．

14．若，则______________．

【答案】##

【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求值．

【详解】解：∵，

，

．

故答案为：．

15．如果将函数的图象向左平移个单位所得的图象关于轴对称，那么________．

【答案】

【分析】先判断函数图像平移后的解析式，再由正弦函数的对称轴性质求得的取值集合，最后根据题干中给定的范围确定的值.

【详解】将函数的图象向左平移个单位得

，

由题意知的图象关于轴对称，

则有，

即，

则，

即，

又因为，

所以.

故答案为：.

16．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米．

【答案】85

【分析】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度与时间的关系，利用待定系数法求得对应系数，写出的解析式，再计算的值．

【详解】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度与时间的关系为：，，,，

由题意可知，，，

，即，

又，即，故，

，

．

∴第7分钟时他距离地面的高度大约为85米.

故答案为：85.

四、解答题

17．已知是方程的根，且是第二象限的角，求的值．

【答案】

【分析】以同角三角函数基本关系和诱导公式解之即可.

【详解】方程的两根分别为与1，

由于是第二象限的角，则，，

故

故答案为：

18．已知函数．

(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合；

(2)判断函数的奇偶性．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是.

(2)函数为奇函数，理由见解析.

【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法求解函数单调区间及函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.

【详解】（1），令，，即，，令，，即，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

令，，即，时，函数取得最大值；令，，即，时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是

（2）函数定义域为R，且，故函数为奇函数.

19．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式，并求单调递减区间；

(2)若，，求的取值范围．

【答案】(1)，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）由图可求得及周期，从而可得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间；

（2）根据正弦函数的性质结合整体想即可得出答案.

【详解】（1）由图可得：

，，解得，故，

当时，，

所以，即，

由于，所以，

故，

令，得，

故函数的单调递减区间为；

（2），

由于，所以，故，

即．

20．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；

(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

【答案】(1)

(2)

(3)从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大

【分析】（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；

（2）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案；

（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．

【详解】（1）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天．

由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气重度污染的概率．

（2）此人在该市停留期间两天的空气质量指数、、、、、、、、、、、、共13种情况．

其中只有1天空气重度污染的是、、、共4种情况，所以此人在该市久留期间只有1天空气重度污染的概率．

（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．

21．已知函数在区间上的最大值为3．

(1)求使成立的的取值集合；

(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据三角函数的性质结合条件可得，再根据正弦函数的性质解不等式即可；

（2）由三角函数的图象变换可得，求出在上的对称轴，从而可求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以，

所以，

因为函数在区间上的最大值为3，

所以，解得，

所以，由，可得，

故，解得，

故使成立的x的取值集合为；

（2）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得，

再向右平移一个单位长度，可得，

因为，所以，

令，得，

令，可得，

故在上的对称轴为，

因为，所以，

所以.

令，可得，

故在上的对称轴为．

因为，所以．

所以，

综上，的值为．

22．已知函数

(1)求f(x)的定义域；

(2)若，求f(x)的值域;

(3)设，函数，，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.

（2）求出函数在上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.

（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.

【详解】（1）函数有意义，有，即，解得，

所以函数f(x)的定义域为.

（2）当时，，则，，，

所以f(x)的值域是.

（3）由（2）知，，，函数图象对称轴，

而，当，即时，显然，

因为任意，总存在唯一的，使得成立，

则必有，解得或，显然无解，

当，即或时，函数在上单调递减，，

因为任意，总存在唯一的，使得成立，则，

于是得，解得或，满足或，因此或，

所以a的取值范围是.

【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集 ．