北京大学南宁附属实验学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试题（解析版）

这是一份北京大学南宁附属实验学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．
2. 一元二次方程的一次项系数是( )
A. 2B. C. D. －3
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
3. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A. 4B. 3C. D. 3或
【答案】D
【解析】
【分析】把代入方程，可得：，然后解方程即可．
【详解】解：把代入方程得：，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有一个实根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先算根的判别式，然后利用Δ0可判断方程根的情况．
【详解】∵Δ＝32﹣4×1×7＝-190，
∴方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
5. 若是二次函数，则m的值是（ ）
A. 4B. 2C. D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数定义可得：，且，再计算出m的值即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
6. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：．
故选：B．
7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是
C. 顶点坐标是D. 当时，随增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数的解析式可知，结合二次函数的图象与性质可直接进行排除选项．
【详解】解：由二次函数可知：，（开口向上），对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，随增大而增大，
∴A、C、D错误，B正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是（ ）

A. 统计思想B. 化归思想C. 分类讨论思想D. 数形结合思想
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，一元二次方程的几何解法，构造图形解方程，体现的熟悉思想是数形结合，据此即可求解．
【详解】解：依题意，造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想是数形结合思想,
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程与图形面积，数形结合是解题的关键．
9. 如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围．
【详解】解：∵时，；
时，；
∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，
∴方程有一个根在之间．
故选：A．
【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.
【详解】解：二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，
排除C选项.
一次函数，
，
一次函数经过轴正半轴，
排除A选项.
当时，则，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过轴正半轴，
排除B选项.
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过轴负半轴，
D选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.
11. 函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（ ）
A. 4和－3B. －3和－4C. 5和－4D. －1和－4
【答案】C
【解析】
【详解】解：将二次函数y＝x ²＋2x－3(－2≤x≤2)配方可得：
根据二次函数图像性质：该二次函数开口方向向上，
当时，函数有最小值，最小值是，
再将和分别代入二次函数求函数值进行比较
可以求出当，函数有最大值，最大值是5，
故选：C
12. 二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大，
又∵当时，随的增大而增大，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合思想和性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____．
【答案】（x﹣1）2．
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c=0即可．
【详解】符合的表达式是y=（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
14. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：1．
15. 已知点，在抛物线上，则的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】将点坐标代入即可．
【详解】解：因为点在抛物线的图象上，
所以．
得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
16. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
【详解】抛物线与直线相交于点，，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键．
17. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为元，
根据题意得：．
故答案为：．
18. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
当时，四边形面积取最小值，最小值为．
故答案为：15．
三.解答题（共3小题，共34分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：，．
20. 某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．

（1）在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表：
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是______m；
②求出与满足的函数解析式（）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是：______（填“”或“”或“”）
【答案】（1）①2.25；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据当时，即可求解；
②根据待定系数法求解即可；
（2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令可求出求出，，然后比较大小即可．
小问1详解】
解：①当时，，
∴水管的长度是2.25m；
②把，；，；，，分别代入，
得，
解得，
∴
【小问2详解】
解∶∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，
∴向上平移1个单位，
∴平移后的解析式为，即，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
对于，
当时， ，
解得，（不符合题意，舍去）
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21. 已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．
（1）判断：①和；②和；③和，其中为关于的对称函数的是______（填序号）；
（2）若和为关于的对称函数，求k、b的值；
（3）若和为关于的对称函数，令，当函数w与函数有且只有一个交点时，求n的取值范围．
【答案】（1）①② （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中点公式可得 ， 然后逐个函数进行判断；
（2）根据 ， 将函数解析式代入求解；
（3）根据 ， 求出 值，然后由 得到 ， 根据开口方向、对称轴及与 轴的交点，结合函数 与函数 有且只有一个交点列出不等式组求解即可；
【小问1详解】
①，
∴ 和 关于 对称，
②∵，
∴ 和 关于 对称，
③∵，
∴ 和 不关于对称，
故答案为：①②
【小问2详解】
∵ 和 为关于 的对称函数，
解得
【小问3详解】
∵ 和 为 关于 的对称函数，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴函数 的开口向上，对称轴为直线 ，与 轴的交点为 ，
∴函数 与函数 有且只有一个交点，
解得
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握函数关于 对称的特征，掌握二次函数与方程及不等式的关系
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
0.04
0.59
1.16
…
水平距离
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度
2.25
2.8125
3
2.8125
2.25
1.3125
0