2023-2024学年广西北京大学南宁附属实验学校九年级（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西北京大学南宁附属实验学校九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一元二次方程的一次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 无实数根 B. 有一个实根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

5.  若是二次函数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.  将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是
C. 顶点坐标是 D. 当时，随增大而减小

8.  三国时期的数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程，这一过程体现的数学思想(    )

A. 统计思想 B. 化归思想 C. 分类讨论思想 D. 数形结合思想

9.  如表是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  函数的最大值和最小值分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

12.  二次函数的图象如图所示，当时，随的增大而增大，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  请写出一个开口向上，并且对称轴为直线的抛物线的表达式          ．

14.  若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则______．

15.  已知点在抛物线上，则的值为______ ．

16.  如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为______ ．

17.  某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖出件，店里每周利润要达到元，若设店主把该商品每件售价降低元，则可列方程为______ ．

18.  如图，在中，，，，点从点沿向点以的速度运动，同时点从点沿向点以的速度运动点运动到点停止，在运动过程中，四边形的面积最小值为______ ．

三、解答题（本大题共3小题，共34.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解下列方程：
；
．

20.  本小题分
某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度单位：与到池中心的水平距离单位：满足的关系式近似为．
在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表：

根据表格中的数据，解答下列问题：
水管的长度是______ ；
求出与满足的函数解析式；
安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
不改变喷水头的角度，将水管长度增加，水柱落地时与池中心的距离为；
不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．
则比较与的大小关系是： ______ 填“”或“”或“”

21.  本小题分
已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．
判断：和；和；和，其中为关于的对称函数的是______ 填序号；
若和为关于的对称函数求、的值．
若和为关于的对称函数，令，当函数与函数有且只有一个交点时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、，是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
．
故选：．
把代入方程得到一个关于的方程，求出方程的解即可．
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程是解此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
方程无实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

5.【答案】 

【解析】解：是关于的二次函数，
，且，
．
故选：．
利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可．
本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．

6.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为直线，故B正确；
顶点坐标为，故C不正确；
对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D不正确．
故选：．
由抛物线表达式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标、及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．

8.【答案】 

【解析】解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想．
故选：．
根据构图的方法解方程，体现数形结合思想．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握数学思想方法是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：时，；时，；
抛物线与轴的一个交点在和点之间，
方程有一个根在之间．
故选：．
观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围．
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．

10.【答案】 

【解析】解：二次函数为，
，
二次函数的开口方向向上，
排除选项．
一次函数，
，
一次函数经过轴正半轴，
排除选项．
当时，则，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过轴正半轴，
排除选项．
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过轴负半轴，
选项符合题意．
故选：．
根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案．
本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线的对称轴为，时有最小值，
，
时，是最大值．
函数的最大值为，最小值为．
故选：．
先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．

12.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
又当时，随的增大而增大，
，
故选：．
结合函数图象和函数的性质进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想和函数的性质是解题关键．

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：由题意可设，
抛物线的开口向上，并且对称轴为直线，
，，
可令，，
符合的表达式是，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
本题考查了用顶点式求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数中顶点式的性质是解此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：令，
抛物线与轴只有一个交点，
，
解得，
故答案为：．
令，求时的值．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

15.【答案】 

【解析】解：因为点在抛物线的图象上，
所以．
得．
故答案为：．
将点坐标代入，计算即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：抛物线与直线相交于点，，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，
根据题意得：．
故答案为：．
当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润每件的销售利润每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
设运动时间为，则，，
，
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故答案为．
在中，利用勾股定理可得出，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得出，利用配方法即可求出四边形的面积最小值，此题得解．
本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出是解题的关键．

19.【答案】解：，
，
或，
，．
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．

20.【答案】   

【解析】解：当时，，
水管的长度是；
故答案为：；
把，；，；，，分别代入，得：
 ，
解得：，
；
不改变喷水头的角度，将水管长度增加，
向上平移个单位，
平移后的解析式为，即，
当时，，
解得，不合题意，舍去，
；
对于，
当时，，
解得：，不合题意，舍去，
，
，
故答案为：．
根据当时，即可求解；
根据待定系数法求解即可；
先求出调试的抛物线解析式，然后令可求出求出，，然后比较大小即可．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

21.【答案】 

【解析】解：，
和关于对称，
，
和关于对称，
，，
和不关于对称，
故答案为：．
和为关于的对称函数，
，
，
解得．
和为关于的对称函数，
，
，
解得，
，
函数的开口向上，对称轴为直线，与轴的交点为，
函数与函数有且只有一个交点，
，
解得．
根据中点公式可得，然后逐个函数进行判断；
根据，将函数解析式代入求解；
根据，求出，，的值，然后由得到，根据开口方向、对称轴及与轴的交点，结合函数与函数有且只有一个交点列出不等式组求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握函数关于对称的特征，掌握二次函数与方程及不等式的关系．