广西北京大学南宁附属实验学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷

这是一份广西北京大学南宁附属实验学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．
2．（4分）一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2B．C．D．﹣3
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．4B．3C．﹣3D．3或﹣3
4．（4分）一元二次方程x2+3x+7＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．（4分）若y＝（m﹣2）﹣x+1是二次函数，则m的值是（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣2或2
6．（4分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
7．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥1时，y随x增大而减小
8．（4分）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程x（x+2）＝15（ ）
​
A．统计思想B．化归思想
C．分类讨论思想D．数形结合思想
9．（4分）如表是二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根的取值范围是（ ）
A．1.1～1.2B．1～1.1C．1.2～1.3D．1.3～1.4
10．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．（4分）函数y＝x2+2x﹣3（﹣2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和﹣3B．﹣3和﹣4C．5和﹣4D．﹣1和﹣4
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大（ ）
A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝ ．
15．（3分）已知点A（﹣1，t）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则t的值为 ．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集为 ．
17．（3分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 cm2．
三.解答题（共3小题，共34分）
19．（12分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
20．（10分）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 m；
②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．
则比较d1与d2的大小关系是：d1 d2（填“＞”或“＝”或“＜”）
21．（12分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，和为关于y＝x的对称函数．
（1）判断：①y1＝3x和y2＝﹣x；②y1＝x+1和y2＝x﹣1；③和，其中为关于y＝x的对称函数的是 （填序号）；
（2）若y1＝3x+2和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数．求k、b的值．
（3）若和为关于y＝x的对称函数，令w＝y2﹣y1，当函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点时，求n的取值范围．
2023-2024学年广西北京大学南宁附属实验学校九年级（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+y＝1D．
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、2x+1＝4，故本选项不符合题意；
B、x2﹣3x+3＝0，是一元二次方程；
C、x2+y＝4，不是一元二次方程；
D、，不是一元二次方程．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．
2．（4分）一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．2B．C．D．﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．4B．3C．﹣3D．3或﹣3
【分析】把x＝0代入方程x2﹣2x+a2﹣9＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣6x+a2﹣9＝7得：a2﹣9＝3，
∴a＝±3．
故选：D．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a2﹣9＝0是解此题的关键．
4．（4分）一元二次方程x2+3x+7＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个实根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断根的情况即可．
【解答】解：∵Δ＝32﹣8×1×7＝﹣19＜4，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（4分）若y＝（m﹣2）﹣x+1是二次函数，则m的值是（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣2或2
【分析】利用二次函数定义可得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，再计算出m的值即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）x是关于x的二次函数，
∴m2﹣8＝2，且m﹣2≠2，
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
6．（4分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移8个单位，再向下平移2个单位2﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
7．（4分）对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥1时，y随x增大而减小
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标、及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，故A不正确；
对称轴为直线x＝1，故B正确；
顶点坐标为（1，4）；
对称轴为直线x＝1，当x≥1时，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为（h，k）．
8．（4分）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何角法，例如可构造如图所示的图形求解方程x（x+2）＝15（ ）
​
A．统计思想B．化归思想
C．分类讨论思想D．数形结合思想
【分析】根据构图的方法解方程，体现数形结合思想．
【解答】解：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握数学思想方法是解题关键．
9．（4分）如表是二次函数y＝ax2+bx﹣5的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2+bx﹣5＝0的一个根的取值范围是（ ）
A．1.1～1.2B．1～1.1C．1.2～1.3D．1.3～1.4
【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx﹣5＝0一个根的取值范围．
【解答】解：∵x＝1.1时，y＝ax2+bx﹣5＝﹣0.49；x＝7.2时2+bx﹣6＝0.04；
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（2.1，0）和点（4.2，
∴方程ax2+bx+c＝3有一个根在1.1～3.2之间．
故选：A．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
10．（4分）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的b＝1和二次函数的a＝1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，
∴a＝1＞5，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y＝﹣mx+1，
∴b＝1＞8，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m＞0时，则﹣m＜0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y＝x6+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m＜0时，则﹣m＞0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y＝x8+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．
11．（4分）函数y＝x2+2x﹣3（﹣2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和﹣3B．﹣3和﹣4C．5和﹣4D．﹣1和﹣4
【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣8（﹣2≤x≤2），
∴y＝（x+8）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣7，x＝﹣1时y有最小值﹣4，
∵﹣5≤x≤2，
∴x＝2时，y＝3是最大值．
∴函数的最大值为5，最小值为﹣4．
故选：C．
【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大（ ）
A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜2
【分析】结合函数图象和函数的性质进行判断即可．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
又∵当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，
∴﹣2＜m≤1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想和函数的性质是解题关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝ （x﹣1）2
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
【解答】解：符合的表达式是y＝（x﹣1）2，
故答案为：（x﹣4）2．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝ 1 ．
【分析】令x2﹣2x+k＝0，求Δ＝0时k的值．
【解答】解：令x2﹣2x+k＝7，
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15．（3分）已知点A（﹣1，t）在抛物线y＝﹣3x2+2上，则t的值为 ﹣1 ．
【分析】将A点坐标代入y＝﹣3x2+2，计算即可．
【解答】解：因为点A在抛物线y＝﹣3x2+4的图象上，
所以﹣3×（﹣1）6+2＝t．
得t＝﹣3+4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
16．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集为 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根据A、B两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣4），﹣2），
∴关于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集为﹣7＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键．
17．（3分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 （20﹣x）（200+8x）＝8450 ．
【分析】当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，
根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450．
故答案为：（20﹣x）（200+8x）＝8450．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 15 cm2．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣×6×5﹣2﹣6t+24＝（t﹣3）6+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值2．
故答案为15．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24是解题的关键．
三.解答题（共3小题，共34分）
19．（12分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
（x+3）（x﹣3）＝0，
x+3＝5或x﹣1＝0，
x7＝﹣3，x2＝8．
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣6），
x（x﹣4）﹣3（x﹣3）＝0，
（x﹣4）（x﹣6）＝0，
x﹣4＝4或x﹣3＝0，
x8＝4，x2＝8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
20．（10分）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 2.25 m；
②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．
则比较d1与d2的大小关系是：d1 ＜ d2（填“＞”或“＝”或“＜”）
【分析】（1）①根据当x＝0时，y＝2.25即可求解；
②根据待定系数法求解即可；
（2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令y＝0可求出求出d1，d2，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝2.25，
∴水管的长度是3.25m；
故答案为：2.25；
②把x＝0，y＝4.25，y＝3，y＝06+k，得：
 ，
解得：，
∴y＝﹣7.75（x﹣1）2+3；
（2）①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，
∴y＝﹣0.75（x﹣5）2+3 向上平移2个单位，
∴平移后的解析式为y＝﹣0.75（x﹣1）8+3+1，即 y＝﹣3.75（x﹣1）2+6，
当y＝0时，﹣0.75（x﹣5）2+4＝7，
解得x1＝+1，x2＝﹣+1（不合题意，
∴d1＝+7≈3.31；
对于y＝﹣0.3（x﹣1.5）4+3.6，
当y＝3时，﹣0.6（x﹣5.5）2+7.6＝0，
解得：x7＝+1.6，x2＝﹣+4.5（不合题意，
∴d2＝+1.5≈2.95，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21．（12分）已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y＝x的对称函数，和为关于y＝x的对称函数．
（1）判断：①y1＝3x和y2＝﹣x；②y1＝x+1和y2＝x﹣1；③和，其中为关于y＝x的对称函数的是 ①② （填序号）；
（2）若y1＝3x+2和y2＝kx+b（k≠0）为关于y＝x的对称函数．求k、b的值．
（3）若和为关于y＝x的对称函数，令w＝y2﹣y1，当函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点时，求n的取值范围．
【分析】（1）根据中点公式可得＝x，然后逐个函数进行判断；
（2）①根据＝x，将函数解析式代入求解；
（3）根据＝x，求出a，b，c的值，然后由w＝y2﹣y1得到w＝2x2﹣2x+2n，根据开口方向、对称轴及与y轴的交点，结合函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点列出不等式组求解即可．
【解答】解：（1）①∵，
∴y3＝3x和y2＝﹣x关于y＝x对称，
②∵，
∴y2＝x+1和y2＝x﹣7关于y＝x对称，
③∵，x2≠x，
∴和不关于y＝x对称，
故答案为：①②．
（2）∵y1＝7x+2和y2＝kx+b（k≠6）为关于y＝x的对称函数，
∴＝＝x，
∴，
解得．
（3）∵y1＝ax2+bx+c（a≠2）和y2＝x2+n为关于y＝x的对称函数，
∴，
∴，
解得，
∴w＝y2﹣y1＝x8+n+x2﹣2x+n＝2x2﹣2x+8n，
∴函数w的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，8n），
∴函数w与函数y＝x（0≤x≤2）有且只有一个交点，
∴，
解得﹣7≤n＜0．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握函数关于y＝x对称的特征，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/18 21:59:49；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
水平距离x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度y/m
2.25
2.8125
3
2.8125
2.25
1.3125
0
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
水平距离x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度y/m
2.25
2.8125
3
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